Wie hoch ist der Kegel? – Geometrie Rätsel
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=MNKYTMTIq-I

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Aufgabe mitgebracht die folgendermaßen lautet ein kegelförmiges Gefäß ist mit einer Flüssigkeit gefüllt
0:09 in der rechten Abbildung steht der Kegel normal in der linken Abbildung wurde er auf den Kopf gestellt wie hoch ist der Kegel wir sollen also herausfinden wie
0:20 hoch dieser Kegel ist ich nenne die Höhe einfach mal h das ist dasselbe Gefäß hier in beiden Abbildungen aber einmal steht der Kegel hier normal und wurde er
0:30 ebenenso gedreht das heißt die Flüssigkeit ist auch dieselbe die hier drin ist aber je nachdem wie der Kegel gedreht ist sieht sie natürlich
0:38 unterschiedlich aus wir bekommen hier diesen Abstand gegeben mit einer Länge von 3 und hier diesen Abstand mit einer Länge von 6 und wir sollen herausfinden
0:47 wie hoch dieser Kegel ist vielleicht gehen wir einfach mal über das Volumen dieser Flüssigkeit vor also ich nenne das
0:57 Volumen hier mal V1 und das Volumen V2 es ist dieselbe Flüssigkeit das heißt das Volumen verändert sich natürlich nicht die Form oder das Aussehen von
1:05 dieser Flüssigkeit ja das verändert sich aber das Volumen bleibt gleich also wir können über den Ansatz V1 = V2 gehen jetzt bräuchte man nur mal eine Formel
1:16 für V1 und eine Formel für V2 dann können wir mit der Gleichung hier weiterarbeiten ist ein bisschen Arbeit lasst uns mal mit V1 starten auf die
1:25 Suche nach dem Volumen dieser roten Flüssigkeit gehen nach V1 okay was haben wir hier für eine Form überhaupt von unserer roten Flüssigkeit
1:36 das ist ja selbst auch noch mal ein Kegel ein Kegel hat hier diese Grundfläche und diese Höhe das Volumen eines Kegels allgemein die Formel dafür
1:49 ist ein Drittel mal die Grundfläche was ein Kreis ist also pi mal der Radius zum Quadrat und dann wird das ganze noch mit der Höhe des Kegels multipliziert das
2:02 ist die Formel allgemein welche Angaben haben wir hier von unserem roten Kegel wir können den Radius hier mal einzeichnen den nenne ich einfach mal x
2:12 wir können die Höhe hier einzeichnen wie lange ist die wir wissen von der ganzen Höhe des Kegels die heißt h aber das Stückchen hier oben das wollen wir gar
2:24 nicht haben also würden wir von H einfach mal die dre abziehen dann ist es wirklich nur das Stück was wir hier benutzen wollen und das setzen wir jetzt
2:33 mal in die Formel ein für unser Volumen V1 also ein Drittel mal Pi mal unseren Radius zum Quadrat
2:43 unseren Radius haben wir x genannt also haben wir da x Quadrat und dann wird das mit unserer Höhe multipliziert die in unserem Fall
2:51 h-3 lang ist schöne Klammer drumrum das wäre die Formel für unser V1 da ist jetzt x und H drin ist natürlich blöd wenn da so viele Variablen drin sind was
3:06 wir vielleicht mal schauen könnten ist ob es ein Zusammenhang zwischen x und H gibt also x war ja unser Radius hier wir hätten ja hier noch ein anderen Radius
3:16 den wir auch einzeichnen können den nen ich einfach mal R und es praktisch ist dass dieser Radius ja auch bei dem zweiten Kegel vorkommen wird das ist
3:26 auch unser R es ist ja derselbe Kegel und hier oben von dem Kreis der Radius der bleibt ja unverändert das heißt wenn wir mit dem R arbeiten könnten wäre das
3:36 vielleicht ganz praktisch weil wir stellen ja gleich noch das Volumen V2 auf und da wird dann er auch eine Rolle spielen können also je weniger
3:45 unbekannte wir irgendwie haben desto besser können wir mit dem R arbeiten und so ein Zusammenhang mit unserem x herstellen ja können wir denn hier das
3:56 ist ein Strahlensatz Figur die beiden Seiten verlaufen ja parallel zueinander und die werden hier von diesen Strahlen geschnitten und da
4:07 können wir ein Strahlensatz Aufstellen der ja sagt die parallele Seite verhält sich zu der langen Seite also R verhält sich zu unserer kompletten Höhe genauso
4:20 wie das kurze Stückchen parallele Stückchen also unser X zu dem kurzen Stück hier zur Spitze laufend und das ist nur diese kurz Z Höhe dieses H- 3
4:32 Strahl ist aufgestellt hier ist jetzt R x und H drin das können wir mal nach X umstellen damit wir das hier drin ersetzen können wir wollten x mit X ja
4:43 nicht arbeiten sondern lieber mit R und mit H wenn wir das nach X umstellen wollen müssen wir hier nur mit H - 3 einmal
4:51 durchmultiplizieren damit sich dieser Bruch hier auflöst auf der anderen Seite haben wir dann R geeil dur h mal dieses H- 3 und rechts steht dann aber wie
5:02 gewünscht nur noch unser x und dieses x können wir jetzt hier in unserer Formel ersetzen hier an der Stelle also unser V1 sieht dann so aus ein dritt mal Pi
5:17 statt dem X setzen wir das ein was wir gefunden haben das X soll aber quadriert werden also muss jeder Teil hier drin quadriert werden das R muss quadriert
5:28 werden das h muss quadriert werden die Klammer muss quadriert werden also da steht dann H- 3 zum Quadrat und hinten dran kommt jetzt aber auch noch mal mal
5:40 H- 3 also können wir die Klammer nicht nur hoch 2 hinschreiben sondern sie wird noch mal mit sich selbst multipliziert da können wir dann direkt ein hoch 3
5:49 draus machen das ist unsere Formel für unser V1 die Formel habe ich jetzt immer noch mal hier hineschrieben die können wir dann an der Stelle hier einsetzen wo
5:58 wir am Anfang gestartet sind mit dieser Gleichung wir haben ja V1 gesucht V1 gefunden und jetzt gehen wir auf die Suche nach V2 wie sieht's damit aus V2
6:11 ist diesmal kein Kegel sondern ein Kegelstumpf V2 können wir berechnen indem wir das
6:22 Volumen von dem kompletten großen Kegel erstmal nehmen also nen ich mal VG und davon das Volumen von dem kleinen Kegel hier oben abziehen also V klein VK nen
6:35 ich das mal wie kann ich das Volumen von dem großen Kegel berechnen die Formel ist wieder dieselbe dieses ein Drittel mal die Kreisfläche also PR qurat mal
6:46 die Höhe welchen Radius hat mein Großer Kegel hier das wäre der Radius den wir einzeichnen wollten den hatten wir hier schon R genannt also haben wir den mit R
6:56 gegeben und meine H ist tatsächlich auch hier mein h also meine Höhe von dem großen das heißt die Formel von dem großen ist genau das hier ein dritt mal
7:07 Pi mal mein Radius also mein R zum Quadrat mal die Höhe h und davon ziehe ich jetzt den kleinen Kegel hier oben ab welchen Radius hat der denn wissen wir
7:20 nicht das ist nicht x nennen wir einfach mal y ein neuer Radius und die Höhe ist hier mit se gegeben also wieder in die Formel rein ein dr mal Pi mal den Radius
7:32 zum Quadrat also das Y zum Quadrat hier und dann mit der Höhe multiplizieren also mit der 6 das ist also unsere Formel für unser V2 da steckt jetzt R
7:43 drin was okay ist haben wir gesagt h drin was okay ist haben wir gesagt y haben wir nicht gesagt dass das okay ist also da wä es jetzt noch schön wenn wir
7:52 das Y wieder ersetzen könnten also dass wir da einen Zusammenhang finden zwischen dem y und unserem ja und unserem
8:00 h aber das kriegen wir hin denn auch hier haben wir diese strahlensatzfigur hier wenn man das hiermer so verlängern da die beiden
8:10 parallel zueinander verlaufen haben wir vom Verhältnis verhält sich das zu dem langen Stück genauso wie das kurze parallele Stück zu diesem Stückchen hier
8:23 das heißt in einer Gleichung heißt es R geteilt durch die Höhe von diesem Kegel das ist H ist genauso groß wie das Y wenn wir das durch die Höhe Teilen durch
8:36 die SE und diese Gleichung stellen wir jetzt nach y um weil wir das hier einsetzen wollen das heißt hier multiplizieren wir einmal mit 6 damit
8:45 das Y alleine steht auf der anderen Seite haben wir R geil h was mit der 6 multipliziert wird hier löst sich der Bruch auf und nur unser y bleibt stehen
8:55 das schnappen wir uns und setzen es hier oben ein damit erhalten wir für unser V2 1 dr pi r² mal
9:07 H- wieder 1 dr PI statt dem y kommt das da rein aber auch hier muss es wieder quadriert werden also wird jeder Teil quadriert R wird quadriert h wird
9:21 quadriert die 6 wird quadriert und dann noch mit der SE hier multipliziert wow das Ding sieht an sich nicht ganz so geil aus aber wir haben
9:34 hier eine Differenz das heißt wenn sich Dinge wiederholen könnten wir was ausklammern um das ein bisschen schöner zu gestalten hier wir haben die ein
9:42 Drittel hier vorne die ein Drittel auch hier hinten das P kommt hier und hier vor sogar das R Quadrat kommt hier und hier vor das war's soweit dann können
9:52 wir die Teile aber mal ausklammern also alles was grün ist ein dritt PI r² kommt raus was bleibt in der Klammer übrig hier vorne in dem Teil wenn all das
10:03 grüne rausgezogen wird bleibt nur das H stehen dann kommt das Minus und hier haben wir 6 zum Quadrat mal 6 das könnte man mal ausrechnen das sind
10:15 216 und dann steht da 216 geeilt durch das H qurat das ist unsere Formel für unser V2 wir gehen noch mal zurück wo wir das einsetzen wollten in unsere
10:30 Gleichung das ist unser V2 was wir gefunden haben also schnappen wir es uns und setzen es an dieser Stelle ein wo es hingehört okay eine Gleichung in der R
10:44 vorkommt und H h r h h okay hier kommt wirklich nur noch h und R vor das ist noch eine Variable zu viel aber schon mal besser als gar nichts lass uns
10:55 trotzdem ein bisschen aufräumen hier und gucken was passiert ein Drittel kommt auf beiden Seiten vor also wenn wir durch ein Drittel Teilen fliegt es raus
11:03 PI genauso sogar das R Quadrat kommt den beiden vor können wir rauskürzen dann steht auf der linken Seite nur noch hier diese Klammer hoch 3 also dieses H- 3
11:15 hoch 3 was durch h² geteilt wird und auf der anderen Seite steht nur noch das was in der Klammer ST die Klammer müssen wir auch
11:25 nicht hinschreiben da steht ja sonst nichts womit das multipliziert wird hey seht ihr das dass in der Gleichung nur noch h vorkommt das R Quadrat ist
11:35 draußen das spielt gar nicht mehr mit also können wir diese Gleichung hier ohne Probleme nach H umstellen sie sieht zwar noch schlimm aus aber das kriegen
11:43 wir hin vielleicht lösen wir erstm die Brüche auf und zwar haben wir h Quadrat hier unten hier genauso wenn wir also einmal mit H Quadrat durchmultiplizieren
11:52 lösen sich die Brüche auf okay der Bruch löst sich dadurch auf dann bleibt nur das stehen was im Zähler stand und auf der anderen Seite haben wir hier aber
12:03 ein Minus das heißt jeder Teil muss mit H Quadrat multipliziert werden also das H muss damit multipliziert werden h mal h qur sind dann h hoch 3 und dieser Teil
12:14 wird auch damit multipliziert dadurch löst sich aber dieser Bruch auf und nur das was im Zähler standand bleibt dann stehen sieht schon besser aus lasst uns
12:24 diese Gleichung mal lösen vielleicht starten wir erstmal damit dieses hoch 3 hier aufzulösen das können wir auch in der Nebenrechnung hier unten
12:34 mal machen dass wir uns H- 3 hoch 3 so aufteilen dass wir zuerst hoch 2 rechnen und danach das ganze noch mal mit sich selbst multiplizieren wir starten mit
12:47 der Klammer hier vorne hoch 2 können wir so auflösen mit der zweiten binomischen Formel die lautet ja wenn wir die noch mal hier die Seite schreiben A- B in
12:57 Klammern zum Quadrat ist A a² - 2 A mal B + b² wenden wir sie an H wird quadriert das sind h² - 2 x h* 3 sind 6h + 3 zum Quadrat sind 9 dieses ganze
13:18 Ergebnis muss jetzt genommen werden und mit der zweiten Klammer multipliziert werden deswegen schön eine Klammer drum rumpacken und jetzt wird hier
13:28 multipliziert was das Zeug hält jedes Element mit jedem h² Mal h sind h H 3 h² mal -3 sind -3h² nächstes Element -6h* h sind -6h²
13:47 -6h* -3 sind + 18h und das letzte Element 9 x H sind 9h und 9* -3 sind 27 ein bisschen was können wir
14:02 zusammenfassen h hoch 3 bleibt einzeln stehen aber -3 von den H Quadraten - 6 sind -9 h² dann die HS hier zusammen sind 27
14:16 HS insgesamt und die -27 noch hinten dran und das ist das Ergebnis von unserer Klammer das schnappe ich mir jetzt mal hier zieh das hier oben hin
14:28 das ist die linke Seite gewesen und auf der rechten Seite haben wir immer noch unser H3 stehen was immer erschreckend ist in
14:37 so einer Gleichung aber H3 kommt auch auf der anderen Seite vor wenn wir es Abziehen von beiden Seiten fliegt das raus und es bleibt eine quadratische
14:47 Gleichung übrig um die zu lösen bringen wir mal alles auf eine Seite also die -216 kommt rüber mit einer + 216 dann haben wir die -9 H Quadrat da die
15:00 27 h - 27 + 216 sind 19 und auf der anderen Seite haben wir eine ull um das jetzt mit der pq Formel zu lösen ihr könnt es auch mit der ABC
15:14 Formel jetzt schon reinhauen wenn ihr wollt aber für die pq Formel muss die -9 hier vorne noch verschwinden also teilen wir alles durch -9 für die ABC Formel
15:25 ist es übrigens auch praktisch die Zahlen klein zu machen also könnte mer noch durchaus auch durch -9 Teilen bevor man in die Formel reingeht dann steht
15:34 unser h Quadrat alleine da 27 dur -9 sind -3h 189 dur -9 sind -21 und auf der anderen Seite haben wir
15:46 0 und mit diesem Ding laufen wir jetzt in die pq Formel rein pq Formel wie sieht sie noch mal aus H12 unsere variabel heißt h deswegen nicht x
15:56 sondern h ist P hal+ min Wurzel aus P Hal zum Quadrat - Q was ist mein P was ist mein Q P ist immer die Zahl vor meinem h hier in dem Fall also die
16:16 -3 und q ist die Zahl die alleine steht kein P in sich trägt das ist die -21 wir setzen alles ein und legen los P ist -3
16:29 Hal plus minus Wurzel aus P ist -3 wird halbiert und quadriert und dann -21 sind + 21 hier vorne Minus und Minus wird zu plus also wir haben drei halbe
16:46 hier hier hinten das Ding könnt ihr einfach auch in Taschenrechner reinpacken wenn ihr wollt und euch die Kommazahl insgesamt ausgeben lassen das
16:55 ist 4,82 gerundet auf 2 komm stellen die Wurzel wird nicht besonders schön ihr könnt es natürlich erstmal testen ohne
17:03 Taschenrechner wenn ihr wollt und dann erhalten wir zwei Lösung mit 3/ + 4,82 gibt mir eine Lösung von 6,32 und eine zweite Lösung wenn ich das
17:17 ganze mit dem Minus hier mache 3/be-us das da ergibt -3,32 diese Lösung kann ich schon mal einklammern die interessiert mich nicht
17:27 die ist negativ eine negative Höhe damit kann ich hier nichts anfangen das hier ist meine Höhe übrigens von meinem Kegel die wir gesucht haben wir haben sie
17:36 gefunden war ein bisschen Arbeit ich geb es zu ich bin gespannt wie ihr vorgegangen seid schreibt eure Lösungswege gerne in die Kommentare
17:43 ansonsten wünsche ich euch noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut