Grundlagen der Fehlerrechnung | Physikalisches Praktikum TU Braunschweig
Physikalisches Praktikum TU Braunschweig
https://www.youtube.com/watch?v=h_uG-tZldjo

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem Video sollen Grundaspekte der Fehlerrechnung und Diskussion anhand von ein paar Beispielen näher gebracht werden zuerst s ich kurz damit
0:07 auseinander gesetzt werden wieso eine Fehlerrechnung überhaupt notwendig ist wann immer wir eine beliebige Größe vermessen wollen existieren hierfür
0:14 unterschiedliche Möglichkeiten beispielsweise könnte ein Abstand über ein Maßband ein geodre einen Messschieber oder auch andere Messgeräte
0:21 bestimmt werden diese Messgeräte eignen sich je nachdem zu vermessenen Abstand besser oder schlechter so wäre ein Objekt mit ein paar Millimeter in Länge
0:29 am besten mit Messchieber zu vermessen wähend sich ein Maßband hervorragend für Längen im Meterbereich eignet theoretisch kann auch ein Meter mit
0:35 einem Geodreieck vermessen werden jedoch wird dies äußerst ungenau so muss hier das geodreig mehrmals angesetzt werden wobei durch das Ansetzen an falscher
0:43 Stelle oder auch geänderte Neigung Fehler entstehen können ein solcher Fehler heißt grober Fehler und entsteht vor allem bei ungeeigneter bis falscher
0:50 Anwendung eines Messgerätes gleichzeitig lässt sich ein solcher Fehler durch vorheriges überlegen der Herangehensweise einfach vermeiden
0:56 entsprechend wichtig ist es sich auch vor einer Messung kurz Gedanken zu machen jedoch gibt es auch Fehler welche sich nicht verhindern lassen die zwei
1:03 häufigsten Fälle hierfür sind die Genauigkeit der Skala sowie die naturgegebene Streuung der Messwerte beispielsweise besitzt ein ge Millimeter
1:11 Schritte als kleinste skaleneinheit es kann also nur bis auf 1 mm genau gemessen werden und es entsteht ein Fehler von plus- 1 mm ein Messschieber
1:19 wiederum kann durch seine Nonius skalala bis auf 0,05 mm genau messen hier würde ein Fehler von +- 0,05 mm entstehen es ist ersichtlich dass ein Fehler somit
1:29 auch die Genauigkeit der Messung widerspiegeln kann die steuung der Messwerte besitzt in der Regel die Form einer gauschen standardverteilung und
1:36 kann somit durch die Standardabweichung berücksichtigt werden je öfter ein Wert vermessen wird desto kleiner wird diese Standardabweichung bei der Messung einer
1:43 Länge würde z.B durch unterschiedliches oder leichtchräges Anlegen des Messgerätes ein streuehler entstehen als extremeispiel könnte hier auch das
1:51 Schätzen einer Länge genannt werden der streuehler wäre hier immens wobei es sich offensichtlich um eine schlechte Messmethodik handelt nicht jede Größe
1:59 kann direkt essen werden oft müssen für das Bestimmen einer Größe F andere Größen X1 bis xn bestimmt werden ein Beispiel wäre das Volumen eines Körpers
2:07 für einen Würfel müssten so alle drei Kantenlängen bestimmt werden um das Volumen zu erhalten jeder einzelne dieser Kantenlängen kann jedoch nur bis
2:14 auf einen Fehler Delta XI genau bestimmt werden damit hat auch das gemessene Volumen natürlich nur eine endliche Genauigkeit dies wird durch den Fehler
2:22 Delta F berücksichtigt welcher sich gemäß der fehlerforpflanzung ergibt in der letzten Zeile ist hierbei die allgemeine Formel der gauschen
2:28 Fehlerfortpflanzung geben wir wollen nun explizit ein Beispiel durchrechnen und unter anderem diese fehlerfortfflanzung anwenden hierfür betrachten wir das
2:36 Volumen des rechts dargestellten Hohlzylinders allgemein setzt sich das Volumen eines Zylinders als Produkt aus seiner Höhe h und der kreisgrundfläche
2:44 PR qur zusammen der Hohlzylinder kann als großer vollzylinder dem im Inneren ein kleiner Zylinder fehlt betrachtet werden somit ergibt sich sein Volumen
2:52 als Differenz zweier Zylindervolumen es folgt als Formel PI gr r² - klein r² mal h das Volumen kann nun bestimmt werden indem die drei Maße groß R klein R und H
3:03 vermessen werden wir wollen das Bestimmen der Größe inklusive Fehlerrechnung am Beispiel der Höhe des Zylinders einmal explizit durchführen
3:10 die Höhe wird dabei mit einem Messschieber vermessen dies wird mehrmals wiederholt um einen Datensatz aus mehreren Werten zu erhalten hiermit
3:17 wirken wir der statistischen Streuung entgegen in dem hier gezeigten Beispiel folgen die Messwerte 55,75
3:26 mm 55,85 56,1 mm sowie
3:37 56,15 mm aus dem somit erhaltenen Datensatz müssen wir nun den Mittelwert und die Standardabweichung bilden der Mittelwert folgt als Summe der Messwerte
3:46 geteilt durch die Anzahl der Messwerte die mittlere Höhe ergibt sich somit zu 55,96 mm alle Messwerte wurden mit dem Messschieber auf zwei nachkommerstellen
3:56 genau gemessen auch das Ergebnis des Mittelwerts sollte somit nur auf zwei Nachkommastellen genau gerundet und angegeben werden für die
4:03 Standardabweichung wird von jedem Messwert der Mittelwert abgezogen und quadriert anschließend wird die Summe aller so erhaltenen Werte gebildet und
4:10 durch die Anzahl der Messwerte geteilt zuletzt wird hieraus die Wurzel gezogen während der Mittelwert zum Angeben gerundet wird sollte mit dem
4:18 ungerundeten Mittelwert weitergerechnet werden im vorliegenden Fall erhalten wir eine Standardabweichung von 0,2 mm beim Runden von Fehlern muss beachtet werden
4:27 dass wirklich immer unabhängig vom Wert der Stelle aufgerundet wird die Messung wird schließlich nicht genauer nur weil die nachkommerstelle unterhalb einer 5
4:35 liegt zur Standardabweichung MSS nun noch der Fehler durch die Skala addiert werden wie zuvor motiviert hierfür wird schlichtweg der kleinste Skalenwert auf
4:42 den Fehler addiert durch die Messung mit einem Messschieber folgt eine skalenungenauigkeit von 0,05 mm der Gesamtfehler folgt somit als Summe aus
4:51 der Standardabweichung und dem skalenfehler zu 0,25 mm wir haben nun die Höhe zu 55,96 +- 0,25 mm bestimmt analog wird
5:01 für innen und Außendurchmesser des Zylinders vorgegangen das Ergebnis sowie die Einzelwerte sind hier dargestellt s dass gegebenenfalls zur eigenen Übung
5:08 nachgerechnet werden kann während wir gerade den Durchmesser bestimmt haben benötigen wir für das Volumen den Radius dieser ist die Hälfte des Durchmessers
5:18 und hängt somit von einer anderen gemessenen Größe ab dies ist ein Beispiel für eine sehr einfache Anwendung der fehlerfortflanzung unsere
5:24 zu bestimmte Größe F ist hier der Radius r und die einzelnen Messgrößen lediglich der Durchmesser d wir müssen nun die zu bestimmte Größe partiell nach den
5:32 Messgrößen ableiten partiell bedeutet hierbei dass alle anderen Größen konstant gehalten werden implizite Abhängigkeiten müssen also nicht
5:39 berücksichtigt werden in meisten Fällen des Praktikums läuft die partielle Ableitung effektiv auf eine bekannte normale Ableitung hinaus welche jedoch
5:46 anders geschrieben wird im hier vorliegenden Fall ergibt D halbe abgeleitet nach D 1/b da nur eine Messgröße vorliegt kürzt sich die Wurzel
5:53 mit dem Quadrat und der radiusfehler ergibt sich schlichtweg zum halben durchmesserfehler dies ist das zu erwartende Ergebnis in komplizierteren
6:00 Zusammenhängen beispielsweise schon quadratischen muss eine solche Rechnung dennoch explizit durchgeführt werden um akkurate Fehler zu erhalten es kann vor
6:08 allem festgehalten werden dass durch geschicktes Messen des doppelten Radius in Form des Durchmessers der Messfehler für den Radius halbiert wird die
6:15 fehlerforpflanung kann somit auch zur Minimierung der Fehler dienen ein Zusammenhang mit mehreren Messgrößen liegt beim Volumen vor auch hier müssen
6:22 wir explizit die Fehler fortpflanzen unsere zu bestimmende Größe ist das Volumen des Hohlzylinders vhohl und unsere Messgrößen x 1 bis xn sind der
6:30 Außenradius groß R Innenradius klein R sowie die Höhe h die Ableitungen lauten für den Außenradius 2π groß R mal h für den Innenradius - 2π klein R mal h und
6:42 für die Höhe pi mal in Klammern groß r² - klein R Quadrat für den Fehler des Volumens muss nun jede Ableitung mit dem Fehler der Größe nach welcher abgeleitet
6:51 wurde multipliziert werden anschließend wird jeder term quadriert und die Summe gebildet der Fehler folgt als Wurzel aus diesem Ausdruck im vorliegenden Beispiel
6:59 ergbt sich der volumenfehler somit zum term der letzten Zeile in die somit bestimmte Formel müssen nun die gemessenen Werte welche hier nochmals
7:07 oben dargestellt sind eingesetzt werden zur eigenen Kontrolle kann pausiert und selbst nachgerechnet
7:14 werden das Ergebnis ist ein Volumen von 46276,85 kubikmillim mit einem Fehler von
7:24 842,67 kubikmillim die Darstellung des Ergebnis in kubikmillimetern ist länglich und übersichtlich es bietet sich an stattdessen eine andere Einheit
7:32 hier beispielsweise Kubikzentimeter zu verwenden somit ist das Volumen zu 46,28 +- 0,9 kubikzentimet bestimmt worduren die dargestellte Fehlerrechnung
7:42 war absichtig kleinschrittig und detailliert dargestellt um die tatsächliche Rechnung an sich zu zeigen in einem Protokoll muss nicht wie hier
7:49 jeder einzelne Rechenschritt der Fehlerrechnung festgehalten werden es würde genügend Zwischenergebnisse mit ergänzendem Text wie die einzelnen
7:55 Fehler bestimmt wurden darzustellen als zweites Beispiel ein gitterspektrometer betrachtet werden das Licht einer Lampe wird hier durch ein Gitter in
8:03 verschiedene Ordnungen gebrochen in jeder dieser Ordnungen liegen wiederum Spektrallinien unter verschiedenen Winkeln F vor der Winkel hängt dabei von
8:11 der wähenlänge und der getitkonstante klein g ab ist die getitkonstante bekann und der Ablenkwinkel per Auge als einzige Messgröße gemessen so kann auf
8:19 die Wellenlänge des Lichtes geschlossen werden hierbei ist die Wellenlänge der Sinus des Winkels vi geteilt durch die vermessene Ordnung und die
8:26 Gitterkonstante wenden wir hier die Fehlerfortpflanzung an so muss der Sinus F nach F abgeleitet werden als wellennenlängenfehler folgt somit der
8:33 Cosinus F geteilt durch die Ordnung und die Gitterkonstante mal dem Fehler von F hier müssen jedoch Details beachtet werden während wir den winkel f in Grad
8:42 vermessen darf dieser Winkel die Einheit nicht an die wellnenlänge fortgeben wie die Wellenlänge selbst ist dies egal da der Winkel in einer Funktion steht und
8:48 somit nur die Einstellung des Taschenrechners beachtet werden muss beim wellenlingen Fehler jedoch taucht der Winkelfehler getrennt auf hier muss
8:55 somit der Fehler ein radiant umgerechnet und eingesetzt werden da sich bei Grad eine Einheit handelt wähend radiant lediglich eine Zahl beschreibt der
9:03 Winkelfehler kann beispielsweise durch ein vermessen des linken und rechten Randes der Spektrallinie bestimmt werden auch hier wollen wir einmal explizit ein
9:11 Beispiel rechnen hierfür wird der linke und rechte Rand einer grünen Spektrallinie der ersten Ordnung vermessen für den linken Rand ergibt
9:17 sich ein Messwert von 264° und 3 winkelminen bzw 264,905° sowie für den rechten Rand 263° und 43 winkelminen bzw
9:30 3,72° die Spektrallinie liegt somit gemittelt bei 263,89 +- 0,17° wobei die halbe Breite der Spektrallinie als Fehler angenommen
9:40 wird dies ist deutlich größer als der skalenfehler sodass dieser hier vernachlässigt wird zusätzlich zur Position der Spektrallinie benötigen wir
9:47 die Lage in der nullten Ordnung bei welcher das Licht nicht abgelenkt wird wir halten mit demselben Trick für den Fehler einen Messwert von
9:55 247,84 +- 0,17° der auslenkwinkel folgt als Differenz der beiden Winkel zu 16,05 +- 0,25° wobei für den Fehler die gausische federforpflanzung verwendet
10:08 wird diese Werte müssen wir nun in die Formeln für die wähenlänge einsetzen es ist zu beachten dass die 500 Striche pro millimet der gitkonstante vorerst die
10:16 Einheit Millimeter liefern welche sinnvollerweise zu Nanometern umgerechnet werden sollte es ergeben sich hier
10:23 552,95 +- 8,39 Nanometer als wellähenlänge wäre der Winkelfehler nicht in Radi umgerechnet wurden so würde dieser knpp um einen Faktor 57
10:33 größer sein und damit fast so groß wie der Messwert selbst es ist somit auch zielführend den Winkelfehler richtig einzusetzen das Spektrum der vermessenen
10:41 quecksilberkadmiumlampe besitzt bei ca 546 nanomet eine grüne Spektrallinie der Literaturwert liegt somit im fehlerintervall was für eine gelungene
10:49 Messung spricht eine solche Aussage muss im Protokoll mit Quellen begründet sein ein zweiter Messwert soll nun beispielhaft diskutiert werden für eine
10:57 andere Spektrallinie sei in der ersten Ort eine Auslenkung von 32,71 +- 0,25° bestimmt worden die analog berechnete wählänge würde sich zu
11:08 1080,77 +- 7,35 nanomet bestimmen da die Spektrallinien beim verwendeten gitterspektrometer mit dem Auge vermessen worden ist dieser Wert
11:17 unmöglich der bestimmte Wert liegt nämlich ein gutes Stück außerhalb des für den Menschen sichtbaren Lichtes sofern offensichtlich falsche Werte
11:24 auftreten sollte dies auf jeden Fall in einer Fehlerdiskussion erwähnt und begründet werden neben einer Begründung wieso dieser Wert nicht korrekt sein
11:31 kann Folgen im Protokoll idealerweise Überlegungen was bei der Messung schief gelaufen ist ihr könnte der fehlerhafte Wert beispielsweise durch falsches
11:39 ablesen oder das versehentliche vermessen einer höheren Ordnung zustande kommen dass ich Fehler durch die Genauigkeit der Skala sowie der Streuung
11:47 der Messwerte nicht verhindern lassen gilt es der Größe bestmöglich zu minimieren auch dies soll kurz an zwei Beispielen gezeigt werden wie die
11:55 skalengenauigkeit lassen sich beispielsweise digitale Messgeräte nennen diese besitzen meist verschiedene messbereichseinstellungen je nach Wahl
12:02 des Bereichs werden die Daten entsprechend genau gemessen somit sollte ein möglichst genauer Bereich gewählt werden um dies zu demonstrieren wird der
12:09 gezeigte Aufbau verwendet mit einem Digitalmultimeter wird hier die Spannung über einen Widerstand bei konstanten Strom vermessen bei anfänglicher grober
12:17 Einstellung vermessen wir nur 1,8 +- 0,1 Volt schalten wir nun hier auf den nächst genaueren Bereich um so erhalten wir stattdessen 1,81 +- 0,01 vol
12:30 bzw 1,809 +- 0,001 Volt gleichzeitig kann der Bereich auch zu genau eingestellt werden in diesem Fall übersteuert das
12:40 Multimeter wie in der fehlerhaften Anzeige zu erkennen ist hier muss wieder in den nächst grüberberen Bereich zurückgeschaltet werden zuletzt kann es
12:47 auch zu einem Flackern der Anzeige kommen in einem solchen Fall ist es ratsam angelegte Spannung oder Ströme gegebenenfalls zu verändern sodass das
12:55 Flackern verschwindet sollte dies nicht möglich sein gilt es den Fehler größer zu wählen hier liegen beispielsweise 1 Millivolt Feder durch die Skala sowie 1
13:03 Millivolt durch das Flackern vor s dass ein 2 mvol Feder sinnvoll ist ein Beispiel für die Minimierung der streuehler bildet eine menschliche
13:11 Zeitmessung wie bei dem hier gezeigten Fadenpendel bedingt durch die menschliche Reaktionszeit beim starten bzw stoppen der Zeit streuen die
13:18 Messwerte dabei liegt eine typische Reaktionszeit ca zwischen 200 bis 300 msekunden und überwiegt deutlich relativ zum Fehler durch die Skala eine
13:26 geschickte Möglichkeit zum Verkleinern dieses Fehlers ist das Messen mehrerer Perioden gleichzeitig werden fünf Perioden in einem Durchlauf gemessen
13:33 entsteht als Fehler immer noch nur eine Reaktionszeit der statistische Fehler für eine Periode ist damit nur noch eine fünfte Reaktionszeit und somit deutlich
13:40 verringert dies kann bei Interesse beispielhaft für das Gezeigte Pendel selbst getestet werden die eingeblendete Periodendauer wurde durch das Zählen von
13:47 Frames bestimmt sodass diese nicht reaktionsbehaftet ist da nicht exakt dieselbe Position vorliegt wird weiterhin ein Fehler von plus- ein Frame
13:55 angenommen im Durchschnitt liegt die über fünf oder mehr Perioden bestimmte wingungdauer näher an diesem Wert als eine einzelne direktgemessene Periode