ABSCHLUSSPRÜFUNG Realschule Mathe – Geometrie 10. Klasse
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=hjhP8IK6b3s

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute habe ich euch eine Aufgabe aus einer Abschlussprüfung der Realschule mitgebracht. Diese Aufgabe kam 2022 in Bayern vor und
0:09 lautet folgendermaßen: Die Vorlage eines Kerzenhalters für kugelförmige Kerzen ist ein Rotationskörper mit der Rotationsachse
0:19 MN. [schnauben] Es geht schon ordentlich los. Okay, gucken wir mal ganz kurz an der Skizze, worum es hier überhaupt geht. Das rote, was hier gezeichnet ist,
0:27 ist dieser Kerzenhalter, der da entstehen soll für kugelförmige Kerzen. Also hier soll diese kuförmige Kerze dann letztendlich reingelegt werden.
0:40 Also das rote ist dieser Halter. Alles andere, was so gestrichelt gezeichnet ist, sind einfach nur Hilfslinien. ähm die Rotationsachse MN, also hier von
0:50 m nach n müsst ihr euch vorstellen, hier ist auch so ein Pfeil eingezeichnet, dass das alles, was hier so gezeichnet ist, dass das rotiert um diese Achse,
1:00 also sich die ganze Zeit so dreht sozusagen und der Körper, der dann entsteht, um den geht es. Das ist dieser Kerzenhalter. Die Skizze zeigt den
1:11 Axialschnitt dieses Rotationskörpers. Genau. Einmal hier schön an die Rotationsachse, so wie wir das gerade beschrieben haben. [schnauben] Der Punkt
1:18 C ist der Schnittpunkt der Geraden AB und ED. Also, wenn wir hier Geraden durch AB zeichnen und das hier so verlängern und auch durch E D und hier
1:30 verlängern, dann schneiden sich die beiden Geraden hier unten im Punkt C, so wie das Ganze eben auch aussieht. Dann bekommen wir ein paar Längenangaben, die
1:38 wir uns jetzt nicht im Detail anschauen. Vielleicht nur hier das AE parallel zu BD läuft. Also dieses Stückchen hier verläuft parallel zu dem hier, so wie
1:49 man sich das auch wünscht und wie man sich das vorstellt. Das soll auf jeden Fall der Fall sein. Teil A: Berechne das Volumen des Rotationskörpers Runde auf
1:58 zwei Stellen nach dem Komma. Okay, also Rundungsfehler müssen wir aufpassen, würde es dann Punktabzug geben. Ähm, wir sollen das Volumen von diesem
2:07 Kerzenhalter bestimmt. Vielleicht kümmern wir uns erstmal um Teil A und schauen uns danach Teil B an. Also gehen wir erstmal auf eine neue Seite. Wie
2:15 können wir jetzt das Volumen von diesem Rotationskörper bestimmen? Das ist ja das Volumen von diesem roten Teil. äh wenn sich das eben um diese Achse hier
2:27 immer wieder dreht, vielleicht geben wir dem erstmal einen Namen, dass wir sagen, das ist Volumen von diesem Rotationskörper. Also letztendlich ist
2:34 VR gesucht. Wir haben jetzt aber keine Formel, die wir da einfach drauf klatschen können, weil VR sieht halt schon wild aus, ne? Das ist keine
2:43 klassische äh Figur, das ist kein Kegel, kein Zylinder, keine Kugel, sondern setzt sich halt aus anderen Figuren zusammen, die aber Gott sei Dank ja
2:52 schon eingezeichnet sind, ne? Wir erkennen hier drumrum schon Figuren, die uns bekannt vorkommen. Z.B. Wenn wir uns diesen großen, also dieses Dreieck hier
3:01 mal einzeichnen, das ja alles umfasst, aber viel zu groß wäre, aber damit kann man ja mal starten, wenn wir das Volumen davon bestimmen. Jetzt natürlich nicht
3:11 von dem Dreieck an sich, sondern auch das rotiert ja um diese Achse. Was entsteht dann, wenn ein Dreieck, wenn ihr das rotieren lasst, was ist das für
3:21 ein Körper, der da entsteht? könnt euch vorstellen, dass das hier so ein Kreis wird an dieser Grundfläche hier unten und hier zur Spitze hin läuft es eben so
3:32 zu und dass das ein Kegel ist. Also, wenn ihr ein Dreieck so rotieren lasst, entsteht einfach ein Kegel und ähm davon können wir das Volumen natürlich
3:43 ausrechnen. V1 müssen wir dann auch machen, aber das ist ja zu groß. Für das, was wir eigentlich wollen von dem roten Körper müssen wir noch was
3:49 abziehen und zwar, na ja, das Stück hier, diese Spitze ist auf jeden Fall zu viel. Auch das ist ja wieder ein Dreieck, wird also wieder ein Kegel
3:58 werden. Das nennen wir mal V2, das Volumen dieses Kegels dann. Und dann müssen wir aber auch noch was abziehen, nämlich dieses Teil hier in der Mitte.
4:07 Das mache ich mal blau. Was ist das denn? Was wird es, wenn wir das als Volumen 3 mal uns anschauen und hier schon mal abziehen? Wenn man so ein
4:18 Halbkreis rotieren lässt, was entsteht da, könnt ihr das sehen, dass auch das hier dann so kreisförmig wird und dass das einfach ähm diese so eine Halbkugel
4:30 wird, weil da kommt ja dann auch diese Kerze rein, diese kugelförmige Kerze und es ist einfach so eine Halbkugel. Also auch da werden wir uns um das Volumen
4:39 kümmern. Okay, wir haben also einen Plan, was wir tun wollen. Jetzt würde ich sagen, wir berechnen V1, V2 und V3 jeweils einzeln auf einzelnen Seiten,
4:48 denn ihr seht, es wird schon umfangreich, also wir haben ein bisschen was zu tun. Ich hoffe, es wird nicht zu chaotisch. Aber gehen wir erstmal rein
4:56 und suchen das Volumen von V1. Okay, V1 haben wir schon gesagt, wird ein Kegel werden. Das heißt, wir bräuchen erstmal die Formel für das
5:07 Volumen eines Kegels. So ein Kegel hat ja den Radius R und die Höhe, die vom Mittelpunkt bis zur Spitze läuft, nennen wir h. Dann kann man das Volumen
5:17 folgendermaßen ausrechnen. Die Formel sagt ein Drittel mal die Grundfläche, das ist hier ein Kreis, also die Kreisfläche sind Pi mal r². Und das
5:28 Ganze wird einfach nur mit der Höhe noch multipliziert. Das ist unsere Formel, die wir hier jetzt in unserem Fall mal anwenden. Das heißt, ein Drittel können
5:36 wir übernehmen. Pi können wir übernehmen. Wie sieht's mit R aus? R in unserem Fall, der Radius von unserem grünen Kegel wird dieses Stückchen hier
5:48 sein, also von m nach E. Und das tragen wir auch erstmal so ein. Also die Strecke me ist unser Radius. Der muss noch quadriert werden laut der Formel.
5:58 Und das Ganze mit der Höhe multipliziert werden. Die läuft von der Mitte bis zur Spitze. Also die Strecke von C nach M erstmal eintragen. Dann kriegt man auch
6:08 schon mal Punkte drauf. Hat sich noch gar nicht verrechnet irgendwie. steht schon mal alles da. Das ist dann schon mal ganz gut. [schnauben] Dann können
6:15 wir schauen, ob wir Längenangaben gegeben haben. Wie sieht's denn mit me aus? Diesem Stück hier ist es irgendwo gegeben? Nein, sieht nicht gut aus. Es
6:27 ist die ae Strecke gegeben hier. Okay, mit 9 cm. Wir wollen aber nur dieses Stück haben. Die Rotationsachse liegt natürlich im Zentrum des
6:39 Rotationskörpers. Das heißt, dieses Stück ist einfach die Hälfte von der ganzen Strecke. Also die Hälfte von 9 sind dann die 4,5 cm, die
6:49 wir hier eintragen können und für me schon mal ein in die Formel eintragen können. Ich nehme die Einheiten, die Zentimeter jetzt mal mit in die
6:58 Gleichung auch rein. Müsst ihr schauen, ob ihr das machen müsst oder nicht. Dementsprechend macht's oder lasst es weg, wie ihr es eben zu tun habt. Wir
7:06 müssen dann aber eine Klammer noch drumrum machen, das ganze quadrieren, denn das war jetzt wirklich nur diese 4,5 äh Strecke. Und hinten dran, wie
7:14 sieht's mit unserem CM aus? CM ist dieses Stück hier, das ist auch nicht gegeben. CN ist gegeben mit 5,5. Das ist das kurze Stückchen hier.
7:30 Ähm, MN ist leider nicht gegeben. BD sehen wir hier noch, also das Stück von da nach da. Wenn wir da nur die Hälfte nehmen von den 5 cm, ist das kurze Stück
7:41 hier 2,5 lang. Äh ja, aber das Stück finden wir nicht. Das müssen wir auf jeden Fall berechnen. Fällt euch was auf dieser rechten Seite, wenn man die mal
7:51 hier so betrachtet, was es für eine Figur ist. Wir haben hier das Stück verläuft parallel zu dem. Dann haben wir zwei Geraden, die sich in einem Punkt
8:00 hier schneiden, in dem sogenannten Zentrum. Fällt euch jetzt auf, dass das eine Strahlensatzfigur ist und mit der können wir eben also mit dem
8:08 Strahlensatz dann hier diese gesuchte Strecke cm, die wir für unsere Formel brauchen, berechnen. Aber gehen wir dazu mal auf eine neue Seite äh und
8:17 vielleicht zeichnen wir auch erstmal das ein bisschen sauberer, dass wir hier eine schöne Strahlensatzfigur erkennen können. Hier unten ist unser C, hier ist
8:26 unser M. Die Seite hier sind 4,5 lang und 2,5 lang und 5,5. Das sind die Sachen, die wir gegeben haben. Wir wollen das da ausrechnen, haben aber die
8:40 kurze blaue Strecke gegeben und die, die hier so parallel laufen, die lange markiere ich mal grün, die kurze eben auch grün, das sind die beiden
8:49 Parallelen. Und diese vier Streckenabschnitte können wir im Strahlensatz verwenden. sagt nämlich, dass die lange blaue Strecke sich
8:58 genauso zu der grünen langen Parallelen verhält, wie die kurze blaue Strecke zu dem kurzen parallelen Stückchen. Also, wenn wir es mal aufschreiben, cm, diese
9:11 Strecke verhält sich zu dem langen Parallelenstück, also den 4,5 cm, genauso wie das kurze blaue Stück, die 5,5 cm zu dem kurzen parallelengrünen
9:28 Teil, also den 2,5 cm. Das ist einfach nur eine Gleichung, die wir nach unserem gewünschten cm umstellen können, indem wir mal 4,5
9:39 cm rechnen. Hier Zentimeter und Zentimeter können wir auch schon mal wegstreichen. Dann finden wir unser gewünschtes CM, indem wir die 5,5
9:50 durch die 2,5 teilen und das Ganze mit den 4,5 cm multiplizieren. Die Zahlen könnt ihr einfach ein Taschenrechner eingeben, ausrechnen, dann kommt man auf
10:00 eine Strecke von 9,9 cm für unser CM, was wir gebraucht haben für diese Formel hier, dann können wir das hier eintragen und haben unser
10:13 erstes Volumen gefunden. Das hier können wir jetzt auch ein bisschen schöner machen. Ich würde es nicht in Taschenrechner eintippen und ausrechnen
10:20 an die Rundungsfehler denken, die passieren können. Deswegen ähm bleiben wir mal exakt. Vielleicht lösen wir noch ein bisschen die Klammer hier mal auf.
10:29 4,5 zum Quadrat, auch die Zentimeter zum Quadrat. Ma hier kein Mal dazwischen. Und hier hinten noch die 9,9 cm hinten dran. Wenn wir jetzt noch ein bisschen
10:42 sortieren, dass wir hier eine Einheit haben und hier eine Einheit haben, alles andere, was man in Taschenrechner eintippen kann, packen wir mal nach
10:52 vorne. Und welche Einheit haben wir dann insgesamt? quadratzim malent werden dann zu Kubikzentimetern,
11:02 so wie es sich für ein Volumen eben auch gehört. Und dann würden wir das mal so stehen lassen, nicht in den Taschenrechner eintippen. Wir wissen, es
11:10 ist bereit für den Taschenrechner, ähm aber wir wollen das Ganze ja exakt lassen, also keine Rundungsfehler einbauen, deswegen einfach so stehen
11:16 lassen. Wir wissen aber V1 können wir abhaken, haben wir, können wir jederzeit drauf zugreifen. Dann kümmern wir uns um V2, aber das wird jetzt um einiges
11:26 schneller gehen, denn das ist schon wieder ein Kegel und da sind wir jetzt schon geschult Volumen eines Kegels. 1 mal pi r² mal die Höhe. Das wenden wir
11:38 hier für unser zweites Volumen an. Das heißt 1/3 mal pi. Was ist der Radius? Das sind hier Gott sei Dank gegeben das ganze mit 2,5 cm. schöne Klammer drumrum
11:52 und das ganze quadrieren und die Höhe ist hier auch gegeben mit 5,5 cm. Da brauchen wir keinen erneuten Strahlensatz anzuwenden.
12:03 Das heißt, wenn wir das noch ein bisschen verschönern, haben wir hier was die Klammer können wir auflösen. 2,5 zum Quadrat. Die Zentimeter müssen auch
12:15 quadriert werden. Können wir aber dann direkt mit den Zentimetern hier hinten verrechnen. cm hoch 2 mal cm sind cm hoch 3 und die 5,5 dürfen wir nicht
12:24 vergessen, die Zahl schreiben wir noch zu den Zahlen dazu. Das ist unser zweites Volumen. Auch das rechnen wir nicht aus. Merken wir uns einfach, dass
12:32 wir es haben. Und dann kommen wir zum dritten Volumen, was jetzt ein bisschen anders ist, denn hier geht es ja um diese Halbkugel, die hier entsteht. Also
12:43 dieses dritte Volumen müssen wir jetzt mal schauen, wie dafür die Formel ist. [schnauben] Wenn wir uns erstmal eine Kugel
12:50 betrachten, da gibt es nämlich für das Volumen einer Kugel gibt es eine Formel, die sagt 4 mal Pi* r hoch 3. Also, man braucht nur
13:03 den Radius der Kugel und schon kann man das Volumen ausrechnen. Müssen wir jetzt aufpassen, das hier ist keine Kugel, das ist eine Halbkugel, die wir hier haben.
13:12 Also brauchen wir auch nur die Hälfte. Also, wir brauchen keine Kugel, sondern eine Halbkugel und dann können wir einfach ein halb vorne dran setzen, da
13:22 wir wirklich nur die Hälfte von dem Volumen einer ganzen Kugel haben wollen. Okay, dann rein da mit allem. 1/2 mal 4 mal pi. Okay, Radius ist das einzige,
13:37 was wir brauchen. Wie sieht's denn aus mit dem Radius hier? Der ist ja eingezeichnet. Das wäre dieses Stückchen hier ist MF gegeben. Nee, GF ist
13:48 gegeben. Also von G nach F sind 5 cm. Und hier ist aber auch noch gegeben, dass der Radius genauso lang ist wie mg und MF. Also die Hälfte von den fünf,
14:02 also 2,5 cm können wir hier reinpacken und das ganze laut der Formel dann hoch 3 nicht vergessen. Und dann können wir das noch
14:13 ein bisschen schöner machen. Ich würde mir gar nicht zu viele Gedanken machen, dass man da jetzt noch irgendwelche Brüche kürzt oder so, sondern einfach
14:21 abschreiben. Wir tippen sowieso ein Taschenrechner ein, aber hier hinten die 2,5 hoch 3 und Kubikzentimeter dann draus machen, dass wir unser
14:31 drittes Volumen haben. Leute, wir haben V1, V2, V3 exakt gegeben. Wir können das hier in unsere Formel eintragen, in Taschenrechner eintippen, auf zwei
14:44 Nachkommeren runden und kommen auf ein Volumen von 141,21 Kubikzm. Wir haben Teil A geschafft. [gelächter]
14:56 Mal gucken, was Teil B noch für uns bereithält. Der Kerzenhalter soll aus Marmor gefertigt werden. 1 Kubikzm des verwendeten Marmors hat eine Masse von
15:06 2,7 g. Berechne die Masse des Kerzenhalters runde auf ganze Gramm. Okay, wir haben ja das Volumen unseres Kerzenhalters, können wir hier schon mal
15:17 benutzen, denn hier ist ja jetzt gegeben, dass 1 Kubikzim ähm des Marmors eine Masse hat von 2,7 g. Wir haben aber nicht nur 1 Kubikzm,
15:32 sondern eben die 141,21 Kubikzm. Und dann können wir einfach berechnen, wie viel Gramm das entspricht. Im Grunde ist es einfach nur
15:42 Dreisatz. Die Zahlen sind sehr schön. Wir können auf der linken Seite einfach einmal die 141,21
15:53 rechnen. Und dasselbe machen wir auf der anderen Seite mal die 141,21. Wenn wir das machen, kommen wir erstmal auf 381,267
16:05 g. Wir sollen auf ganze Gramm Runden, das ist dann noch das letzte, also auf ganze Gramm Runden auf die Einer. Das heißt, wir gucken uns diese Zahl hier
16:15 an, die sagt abrunden. Wir bleiben also bei 381 g und damit haben wir die Aufgabe erledigt. Schreibt gerne mal in die
16:25 Kommentare, wie ihr die Aufgabe fandet, so einer Abschlussprüfung. Ähm, ich bin gespannt auf eure Einschätzung. Euch noch einen wunderschönen Tag und wir
16:32 sehen uns dann beim nächsten Video. Macht's gut.