Mit einfacher Schulmathematik lösbar: Bekommst du es hin?  | Geometrie, Fläche, Viereck
Rätsel und böse Tricks
https://www.youtube.com/watch?v=mCkTs50ZH9s

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Ein Mathematiklehrer aus den USA hat seinen Schülern so ein Viereck hier vorgelegt und sie rechnen lassen. Und da dachte ich mir, machen wir das doch auch
0:09 einmal. Also, was haben wir? Wir haben ein Viereck und wir wissen, die Seite unten ist 5 cm lang und der Flächeninhalt von diesem Viereck ist
0:20 16cm. Eine Seite des Vierecks ist rot markiert und ich habe noch ein kleines X dran
0:26 geschrieben und jetzt soll herausgefunden werden, wie lange ist diese Seite? So, was war noch gegeben gewesen? Also, ich habe das ein bisschen
0:33 abgespeckt, damit es etwas übersichtlicher ist, aber es war auch noch folgendes gegeben. Also, die Eckpunkte hier wurden noch mit A, B,
0:43 C und D bezeichnet. Außerdem, das hatte ich der Übersichtshalber auch erst noch mal weggelassen. Also das hier sieht nicht nur nach einem rechten Winkel aus,
0:52 sondern es ist auch ein rechter Winkel. Selbe Spiel hier oben. Auch das hier ist ein rechter Winkel. So, was ist also noch gegeben? Also von B nach C die
1:04 Strecke, schreib es mal hier drüben hin. BC, die ist 5 cm lang. So, wie ist das mit der Schreibweise? Also, ich kenne es folgendermaßen. Strecke von B nach C 5
1:17 cm. Manche machen auch hier oben drüber noch einen Strich, aber das wird dann noch unübersichtlicher und von der Schulmathematik her kenne ich es in
1:26 dieser Schreibweise. Und ich habe auch mal reingesehen gehabt in den Wikipedia Artikel zum Satz äh zu den Strahlensätzen und da ist das auch mit
1:34 so einem Strich hier angegeben. Also ich würde es von der Schreibweise her jetzt wie folgt machen. Also in Betragsichen BC 5 cm. Das heißt vom Punkt B nach
1:43 Punkt Crecke ist 5 cm lang. So, wir haben noch einen Flächeninhalt gegeben von 16cm
1:53 und außerdem war in der Aufgabenstellung noch angegeben, die Strecke von A nach D, also das hier oben bzw. ich schreib es
2:02 erstmal auf, also A nach D, die Strecke ist genauso lange wie D nach C. Also ich mach's mal farbig. Die Strecke hier oben,
2:16 die ist genauso lang wie die Strecke hier unten hin. So, ich mach's mal rückgängig, dass das Ganze übersichtlicher bleibt, aber AD ist
2:24 genauso lang wie DC. Und wir haben wie gesagt zwei rechte Winkel. Notiere ich auch noch mal ganz kurz hier drüben. Zwei rechte Winkel.
2:36 Das sind die Informationen, die gegeben waren. Und jetzt die große Frage an dich: Wie lange ist die rote Strecke? Halte gerne das Video mal kurz an.
2:44 Überlege selbst, meine Lösung kommt gleich. Wie lösen wir jetzt diese Aufgabe? Nun, dazu zerlege ich dieses Viereck in zwei
2:54 Dreiecker. Das heißt, von A nach C zeichne ich hier in blau mal eine Linie ein und ergänze das Ganze jetzt zu den Dreiecken. Also, ein Dreieck entsteht
3:04 hier unten, mache ich mal in blau und ein zweites Dreieck entsteht hier oben. Mache ich einmal in orange. So, also noch von D nach C und von A
3:17 nach C. Wir haben jetzt zwei Dreiecke und genau zu sein, wir haben zwei rechtwinklige Dreiecker. Das blaue unten mit den Eckpunkten AB und C und das
3:27 orangene oben mit den Eckpunkten AD und C. Sowohl das blaue Dreieck als auch das orange Dreieck haben eine Fläche. Vom
3:36 blauen Dreieck, die werde ich jetzt A1 nennen, vom orangenen Dreieck A2. Wie berechnet sich der Flächeninhalt von einem rechtwinklig Dreieck? Nun
3:47 Grundseite mal Höhe dur 2. Genau das machen wir jetzt auch für unsere beiden Dreiecke. Also das untere Dreieck in blau. A1 ist Grundseite. Das sind unsere
3:58 5 cm mal Höhe, das ist unser X durch 2.
4:09 wurde vereinfacht. 5 dur 2,5 cm mal x. Das ist der Flächeninhalt von dem blauen Dreieck und von dem zweiten Dreieck, also von
4:23 dem orangenen A2. Auch hier Grundseite mal Höhe durch 2. So, die Grundseite ist von A nach D. Die Höhe ist von D nach C und das ganze
4:37 durch 2. Aber das sieht doch ziemlich umständlich aus, oder? Geht das nicht einfacher? Ja, warum? Nun, wir hatten ja unten ja aufgeschrieben gehabt, die
4:47 Strecke von A nach D ist genauso lang wie die Strecke von D nach C. So, und das jetzt mit AD und DC ist eigentlich ein bisschen umständlich und
4:59 die sind ja auch gleich lang. Also setzen wir doch einfach eine Variable ein. Wir sagen, das hier ist S und das hier ist auch S.
5:10 Und dann wird das Ganze viel einfacher. Also AD ist S, DC ist S und das ganze durch 2. Also A2
5:22 ist S* S dur 2 oder einfach 0,5 S². Was wissen wir noch? Nun, wir kennen ja die Gesamtfläche groß A
5:37 und das ist die Summe der beiden Dreiecker. Also a + a2. So groß a kennen wir. Das ist der Flächeninhalt, steht hier links unten.
5:48 War vorgegeben bei der Aufgabenstellung 16 cm gleich. Fläche A1 hatten wir hier oben ausgerechnet 2,5 cm.
6:00 mal x plus die Fläche von dem orangenen Dreieck A2 hatten wir hier ausgerechnet 0,5S²
6:11 und damit haben wir eine schöne Gleichung für die Gesamtfläche. So, die Rechnung mal weg, aber unsere Erkenntnis zum gesamten Flächeninhalt
6:20 einmal hier oben hingeschrieben. So, und jetzt haben wir ja rechtwinklige Dreiecke. Wie ist das noch mal mit einem rechtwinkligen Dreieck?
6:28 Nun, hier gilt ja, wenn wir das Ganze mit a, bzeichnen, a² + b² = c² Satz des Pythagoras. Und genau das
6:41 setzen wir jetzt ein. Fangen wir mit dem blauen Dreieck an. Also blaues Dreieck. Wie sieht das Ganze hier aus? a² + b² =
6:53 c² hier übertragen. Also, wir haben eine Kathete mit x, also x² + die 5 cm zum Quadrat
7:09 gleich die Hypotenuse zum Quadrat, also AC quadrat. Vereinfachen wir noch x² + 5 cm² ergibt 25 cm gleich
7:27 AC quadriert. Und für das orangene Dreieck sieht's folgendermaßen aus. Also Katheten sind ja beide S, also S²
7:40 + S² = Und auch hier ist die Hypotenuse wieder AC zum Quadrat. Das können wir noch vereinfachen. S² + S²= 2S²
7:55 = und hier AC zum Quadrat. Und jetzt schauen mal, wir haben hier zweimal AC zum Quadrat. Ich mach's mal in grün. Und zwar kommt das hier vor
8:11 und es kommt hier unten vor. Und hier oben wissen wir über die Gleichung, wie groß AC² ist und hier
8:18 unten auch. Das heißt, mit anderen Worten, das hier, also x² + 25 qucm cm entspricht dem hier.
8:33 Schreib es auch noch mal auf. Also x² + 25²
8:42 = 2s². Und diese Gleichung übernehme ich mal nach hier oben. Also x² ein Stift ist
8:53 aus, also x² + 25² = 2s². Und den Rest hier unten drunter mache
9:04 ich einmal weg. Wir haben jetzt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die obere nenne ich mal eins, die untere nenne ich mal zwei.
9:13 So, in beiden kommt SW vor. Allerdings einmal 0,5s² oben und einmal 2s² unten. Wir sorgen jetzt einfach durch Umformung dafür,
9:23 dass es in beiden Fällen nur s gibt. Das heißt, bei der ersten Gleichung multipliziere ich mit 2 und erhalten dann 32 cm = 5 cm* x + 1 s², also s².
9:41 Zweite Gleichung. Hier haben wir 2s², teilen wir also durch 2, erhalten 0,5x² + 12,5²
9:54 = S². Was können wir damit anfangen? Nun, wir haben hier oben S². Und wie groß ist S²? Na ja, das wissen wir von hier unten.
10:05 Und zwar 0,5x² + 12,5² cm. Das ist ja auch S², steht ja hier in dieser Gleichung. Also können wir das
10:15 aus der 2 einfach hier oben in der 1 einsetzen. Bedeutet 32² = 5 cm* x + s² und s² sind 0,5x²
10:32 + 12,5². Einfach hier für s² eingesetzt. Also, ich mach's noch mal farbig.
10:43 Das hier ist ja unser SW. Die 32 cm hole ich auf die andere Seite rüber.
10:55 Also 0 = dann 5 cm* x + 0,5x² und jetzt 12,15² - 32²
11:09 ergibt -19,5². So, was haben wir jetzt hier? Wir haben einmal x²,
11:20 wir haben einmal x und hier hinten etwas ohne x. So und das schreit schon danach hier die PQformel einmal einzusetzen. Das heißt, ich multipliziere das Ganze
11:32 mit 2 und hole die x² nach vorne. Also 0 = dann 0,5x²* 2 einfach x² + 5 cm* x ist dann 10 cm* x und -19,5²*
11:51 2, das sind dann -39². Ich habe unseren Zwischenstand einmal nach oben geschrieben. Also 0 = x² + 10
12:01 cm* x - 39². Unten drunter mal die PQ Formel. Und jetzt müssen wir einfach einsetzen. Wie groß ist P? Nun, P ist das, was vor X
12:12 steht, also 10 cm. Und wie groß ist Q? Nun, das ist das, was hinten alleine steht, also -39 cm. Und das setzen wir einfach ein. Also x1 2
12:29 = und pm durch 2 +- wzel. P ist wieder 10 cm durch 2 ganze quadrieren minus und QCm.
12:51 Bitte hier daran denken, dass hier minus minus entsteht. So, rechnen wir aus.
13:00 -10 cm dur -5 cm +- Wurzel aus. 10 cm dur 2 sind 5 cm quadriert ergibt 25 quzm. Dann minus minus wird zu plus, also + 39
13:17 cm und demnach - 5 cm +- 25 + 39= 64 und z²m und die Wurzel aus 64 cm sind
13:33 dann 8 cm. Wir haben also x1 -5 cm + 8 cm.
13:43 äh gibt 3 cm und x2 wäre dann -5 cm -8 cm. Das wird ja negativ, das heißt, das können wir weglassen. Das heißt, hier bleibt
13:53 letztenendes ein x übrig und das ist Stift anmachen 3 cm.
14:03 Das heißt, mit anderen Worten, unsere Strecke von A nach B, also unser X ist 3 cm lang.