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Sinussatz Herleitung – Schritt für Schritt erklärt
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 44 Zeilen
- Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen, wie man den Sinussatz herleiten kann. Der Sinussatz gilt in jedem beliebigen Dreieck, also
- es muss kein rechtwinkliges Dreieck sein. Und von der Formel her, wenn wir uns erstmal die Formel anschauen, wie die vom Sinussatz überhaupt aussieht, da
- brauchen wir eben ein Dreieck. Dann im Punkt A haben wir den Winkel Alpha. Im Punkt B haben wir den Winkel Beta. Gegenüber von Punkt A haben wir die
- Seite A und gegenüber vom Punkt B haben wir die Seite B. Und dann sagt der Sinussatz, dass wenn ich die Seite A hernehme und teile durch den Sinus des
- gegenüberliegenden Winkels, also Sinus von Alpha, dann ist es dasselbe wie wenn ich das jetzt genauso mit der Seite B mache. Also die Seite B hernehme und
- teile durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels, also Sinus von Beta. Das ist die Formel und die wollen wir jetzt zeigen, wo die
- überhaupt herkommt. Okay, dann machen wir das mal noch mal weg. Da wollen wir letztendlich landen, haben unser Dreieck, Winkel Alpha,
- Winkel Beta und unsere Seite A und B. Dann kann man in so einem Dreieck ja die Höhe einzeichnen. Es gibt ja verschiedene Höhen, aber ich will jetzt
- mal die Höhe einzeichnen. Hier vom Punkt Cunter auf die Seite C, also die Höhe zur Seite C können wir dann auch HC bezeichnen.
- Und seht ihr, dass da jetzt neue Dreiecke entstanden sind? Einmal hier auf der linken Seite dieses Dreieck. was rechtwinklig ist und dann auch noch hier
- auf der rechten Seite dieses Dreieck, was auch rechtwinklig ist. Und in rechtwinklig Dreiecken kann man ja den ganz normalen Sinus, Cosinus und Tangens
- anwenden. Und da wir hier den Sinusssatz zeigen möchten, wenden wir jetzt einfach mal den Sinus in diesen beiden rechtwinkligen Dreiecken an.
- Starten wir mal mit dem linken Dreieck. Da haben wir ja hier unseren Winkel Alpha. Also, wir wollen hier den Sinus von Alpha berechnen. Und Sin
- ist ja immer die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse. Die Gegenkathete liegt immer gegenüber von meinem Winkel. Also, das ist die
- Seite HC. Das können wir hier schon mal eintragen, dass das die Höhe ist und die Hypotenuse ist immer die Seite, die gegenüber vom rechten Winkel liegt. Also
- hier das B, das ist meine Hypotenuse. Dann können wir das hier schön eintragen. Okay, haben wir schon mal diese
- Beziehung hier. Dasselbe machen wir jetzt mit dem rechten rechtwinkligen Dreieck, denn hier haben wir schönen rechten Winkel.
- Wir haben hier wieder unseren Winkel, diesmal Beta. Also, wir wollen Sinus von Beta berechnen. Das ist dann wieder die Gegenkathete geteilt durch die
- Hypotenuse. Gegenüber von meinem Winkel Beta habe ich die Höhe HC. Also trage ich das hier bei der Gegenkathete einmal schön ein.
- Und die Hypotenuse liegt hier jetzt wieder gegenüber vom rechten Winkel. Also hier dieses Mal ist mal meine Seite A. meine Hypotenuse und dann trage ich
- das hier ein. Und damit habe ich jetzt hier zwei Gleichungen. Die nehmen wir uns mal her und schauen, ob wir da jetzt die Formel finden können, die wir eben
- schon gesehen haben vom Sinussatz. In beiden Gleichungen steckt ja hier die Höhe drin. Einmal hier und einmal hier. Lasst uns beide Gleichungen mal nach HC
- umstellen. In der ersten Gleichung müssen wir dafür dieses durch B wegbekommen. Also multiplizieren wir hier einmal mit B. Das heißt, auf der
- linken Seite steht Sinpha mal B. Und auf der rechten Seite steht dann wirklich nur noch das grüne HC. Und hier um nach HC umzustellen, muss
- dieses durch A verschwinden. Also multiplizieren wir hier mit A. Dann haben wir auf der linken Seite den Sinus von Beta dann mal A. Und auf der rechten
- Seite löst sich der Bruch auf und nur das HC bleibt stehen. Okay, jetzt sehen meine beiden Gleichungen so aus. Ich habe hier einmal
- HC, hier einmal HC. Die sind natürlich gleich. Das heißt, wenn HC das da alles ist und HC das da alles ist, dann müssen auch diese beiden gleich sein. Das
- heißt, ich kann eine neue Gleichung aufstellen, dass das da, also Sinus von Alpha* B, dasselbe sein muss wie Sinus von Beta. Schön richtig abschreiben mal
- a. Und das ist jetzt eine neue Gleichung. Die steht jetzt noch mal hier. Und die sieht jetzt schon verdammt ähnlich, nachdem aus, wo wir
- letztendlich hin wollten. Es war nur so, dass die Teile mit Alpha und A standen und die Teile mit Beta und B auch einer Seite. Momentan sind die noch
- so getrennt, deswegen lasst uns vielleicht mal den Teil mit Alpha zuerst auf die andere Seite bringen, damit wir das mit dem A hier vereinen können. Die
- sind hier mit einem Mal verbunden. Das heißt, lass uns mal teilen durch diesen Sinus von Alpha. Dann verschwindet der Teil hier und nur das Bib erstmal
- alleine stehen. Die rechte Seite müssen wir jetzt hier durch teilen. Das heißt, wir nehmen die rechte Seite erstmal so, wie sie ist und teilen die einmal
- komplett durch den Sinus von Alpha. Dann haben wir hier jetzt schon mal a durch Sinus von Alpha stehen. Da wollten wir hin. Was uns jetzt nur noch auf der
- Seite stört, ist dieser Sinus von Beta. Den wollen wir jetzt aber einmal mit dem B vereinen. Also, wie kriegen wir das Ding da rüber? Das ist mit einem Mal
- verbunden. Also teilen wir auch durch den grünen Teil, also einmal durch Sinus von Beta. Dann haben wir auf der linken Seite B durch Sinus von Beta und auf der
- rechten Seite verschwindet der Teil und nur a durch Sinus von Alpha bleibt übrig. Und das war genau die Formel, die wir zeigen wollten, nur rumgedreht, aber
- ist ja dasselbe. Das ist schon okay so. Äh und damit haben wir diesen Sinussatz bewiesen. Das Ganze gilt übrigens nicht nur für A
- und B, sondern auch noch für die Seite C und den Winkel Gamma hier im Punkt C. Also, das ist auch dasselbe wie C geus von Gamma. Also egal welchen Winkel ihr
- wählt und die gegenüberliegende Seite, ihr könnt immer diese Gleichung hier aufstellen. Und um das hier noch zu beweisen, würde man ähm eine andere Höhe
- wählen. Also, wir haben ja jetzt für unseren Beweis diese Höhe hier gewählt zur Seite C. Aber wenn ihr z.B. diese Gleichung hier beweisen wollt, also was
- mit B und C machen wollt, dann nehmt ihr einfach die Höhe zur Seite A. Also zieht einmal hier die senkrechte runter und habt dann hier zwei neue Dreiecke und
- könnt genauso vorgehen, wie ich es euch gerade gezeigt habe. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man vorgehen kann. Falls ihr Fragen habt, schreibt sie
- gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut. M.