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Schnittgerade zweier Ebenen berechnen | Studyflix
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 28 Zeilen
- Zwei Ebenen können auf verschiedene Weise zueinander stehen. Sie können sich z. B. entlang einer Schnittgeraden schneiden. In diesem Video zeigen wir dir, wie du sie berechnen kannst.
- Zwei Ebenen haben drei Möglichkeiten, im Raum zu liegen. Sie können genau aufeinander liegen. Darüber hinaus
- können sie auch parallel sein und sich nicht schneiden. Zuletzt können sie sich schneiden. Mit folgender Anleitung kannst du ihre Schnittgerade ausrechnen,
- wenn eine der Ebenen in Koordinatenform und die andere in Parameterform gegeben ist. Die Koordinatenform erkennst du an den Variablen x₁, x₂ und x₃.
- In der Parameterform kommen immer Vektoren und Parameter wie λ und μ vor. Aber wie findest du jetzt die Schnittgerade der beiden Ebenen?
- Halte dich dafür einfach an folgende drei Schritte: Als Erstes setzt du die Parameterform in die Koordinatenform ein.
- Dabei bekommst du eine neue Gleichung, die du nach dem Parameter μ umstellst. Im dritten Schritt setzt du die neue Gleichung für μ in deine Ebene F ein.
- Das Ergebnis ist die Schnittgerade der Ebenen. Schauen wir uns das im Detail an.
- Zuallererst setzt du die Ebenengleichung F ein. Aber wie soll das gehen?
- Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass F aus drei Zeilen besteht. Jede Zeile ist eine eigene Gleichung, die nach x₁, x₂ bzw. x₃ aufgelöst ist.
- Daher kannst du sie unverändert an der entsprechenden Stelle in E einsetzen. Du ersetzt also die drei x-Variablen in den entsprechenden Zeilen von F.
- Sehr gut, das Schwierigste ist erledigt. Als Nächstes willst du die komplizierte Gleichung vereinfachen.
- Dafür multiplizierst du zuerst die Klammern aus. Jetzt hast du viele einfachere Terme, die du zusammenfassen kannst.
- Danach rechnest du alle Terme mit μ sowie alle Terme mit λ zusammen. Untereinander schreibst du zuletzt alle Terme ohne Variable.
- In unserem Beispiel ergibt das: -8 + 11 · λ + 11 · μ = -8
- Sehr gut. Jetzt fällt es dir leicht, die Gleichung nach μ umzustellen.
- Du addierst einfach auf beiden Seiten 8 und bringst λ auf die andere Seite, indem du 11 · λ von der Gleichung abziehst.
- Zuletzt teilst du alles durch 11 und voilà, du hast die komplizierte Gleichung nach dem Parameter μ umgestellt.
- Das ist sehr wichtig, weil du die neue Gleichung μ = -λ
- benutzen kannst, um deine Schnittgerade zu finden. Und genau das machst du im nächsten Schritt.
- Du hast es fast geschafft. Jetzt musst du nur noch alle Puzzleteile zusammensetzen.
- In den ersten beiden Schritten hast du einen Zusammenhang zwischen μ und λ gefunden. Wenn du dir die Gleichung von Ebene F anschaust, erkennst du,
- warum du die ersten zwei Schritte gemacht hast. Die Gleichung
- μ = -λ kannst du nämlich in die Ebene F einsetzen.
- Ersetze also das μ in F durch -λ und du bist auf dem besten Weg, die Schnittgerade G zu finden. Die neue Gleichung ist nur noch von λ abhängig und du kannst λ ausklammern.
- Vereinfache die Klammer, indem du die beiden Vektoren zeilenweise subtrahierst. Das ergibt schließlich die Gleichung der Schnittgerade G.
- War doch gar nicht so schwer, oder? Mit Ebenen in Koordinaten- und Parameterform kannst du problemlos umgehen.
- Aber wie gehst du mit Ebenen in Normalform um? Schau dir dafür am besten unser Video über die Hessesche Normalform an.