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Symmetrie / Spiegelung - zur y-Achse / zum Ursprung
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 38 Zeilen
- Immer wenn wir irgendetwas symmetrisches sehen, denkt sich unser Gehirn, das wäre irgendwie geordnet oder sogar schön. Guckt euch mal das an. Das ist doch
- wirklich schön symmetrisch. Symmetrie begegnet uns immer im Alltag und wer hätte das gedacht, auch in der Mathematik. Da sieht es Ganze zwar nicht
- so schön aus, aber wir erklären euch jetzt hier bestimmt, ob Funktionen symmetrisch sind.
- In diesem Video betrachten wir also die Symmetrie von Funktion. Es geht um die zwei einfachsten Symmetriaten. Die offensichtlichste Symmetrie ist die
- Symmetrie zur Y-Achse. Deswegen nennt sich das Ganze Achsensymmetrie. Man muss sich jetzt einfach die Y-Achse, also die nach oben, als Spiegel vorstellen. So
- wie wenn du dich eben vor den Spiegel stellst. Wenn man jetzt von der Y-Achse gleich weit nach links und nach rechts geht, dann muss die Funktion an der
- entsprechenden Stelle auf beiden Seiten denselben Wert haben. Nur dann ist die Funktion zur yachse gespiegelt. So wie hier halt. Da sieht man ja auch schon,
- dass die Funktion hier irgendwie symmetrisch aussieht, aber trotzdem musst du das noch rechnerisch nachweisen können. Deswegen gibt's für die
- Symmetrie zurachse diese Formel f(x) = f -x. Das heißt also, der Funktionswert an der Stelle x muss genauso groß sein wie der Funktionswert an der Stelle -x. So,
- jetzt haben wir die Funktion gegeben. f(x) = x² + 3. Wir sollen bestimmen, ob die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Dann muss ja, wie gerade gesagt
- gelten f(x) = f -x. Und genau das müssen wir hier einsetzen. f(x) ist das, was oben steht, nämlich die x² + 3. Und f -x ist dann, wenn wir anstatt x eben -x
- einsetzen. Da man sich hier schnell vertun kann, schreiben wir das - x immer in eine Klammer. Links bleibt und - x in
- Klammern zum Quadrat ergibt + x zum Quadrat, weil wenn man eine negative Zahl quadriert, kommt eben eine positive raus, weißt du? Und schon haben wir
- bewiesen, dass f(x) = f -x ist, weil links und rechts das gleiche steht. Damit können wir sagen, die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
- Machen wir einfach mal noch ein Beispiel. f(x) = x - x². Wieder muss gelten, der Funktionswert an der Stelle x soll dem Funktionswert an der Stelle
- -x entsprechen. Also f(x) = f -x. Das ganze setzen wir wieder ein. Links bleibt x - x² stehen und rechts setzen wir wieder das -x in die Klammern ein.
- -x lassen wir stehen und -x zum wieder einfach + x². Jetzt sehen wir aber links und rechts steht nicht das gleiche. Rechts steht
- nämlich noch ein minus vorm ersten x. Das heißt aber auch, dass f von x eben nicht f von -x ist. Die Funktion ist also nicht symmetrisch zur Y-Achse.
- So, genug Achsensymmetrie gelernt, jetzt geht's zur Punktsymmetrie. Das heißt, es wird überprüft, ob etwa symmetrisch zu einem Punkt ist. Wir schauen uns das
- Standardbeispiel an, nämlich die Symmetrie zum Ursprung, also zum Punkt 00. Eine Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn ich wieder gleich weit
- nach links und rechts gehe und dann die Funktionswerte die gleichen sind, nur der eine halt minus. Das heißt, hier rechts ist der Wert fon
- x. Und hier unten links ist der Wert f von -x. Beide sind gleich weit weg von der x-Achse, nur der eine eben in negativer Richtung. Deswegen muss gelten
- - f(x) = f -x. Das ist ganz wichtig. Falls du den Teil gerade nicht verstanden hast, drücke Pause oder spul noch einmal zurück.
- Okay, also wichtig, ich nehme den Funktionswert an der Stelle x und mach den negativ. Und dann muss das das gleiche sein wie der Funktionswert an
- der Stelle -x. Ist halt so. Machen wir ein Beispiel. Wir überprüfen, ob die Funktion f(x) = 2x hoch 3 - x punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür
- muss dann eben gelten - f(x) = f-x. Also setzen wir das ein. f(x) 2x hoch 3 - x, aber dann noch das Minus davor und da musst du dann auch wieder alles in die
- Klammern setzen, damit du keine Fehler mit den Vorzeichen machst. Und rechts setzen wir einfach das -x in die Funktion oben ein. Wieder in Klammern,
- versteht sich. Links lassen wir jetzt die Klammern weg und vielleicht erinnerst du dich noch dunkel an die Unterstufe. Hat man eine fucking
- Minusklammer und lässt die Klammer weg, dann drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um. Merkt ihr das? Vergisst man sogar im Studio manchmal. Deswegen haben
- wir dann links -2x hoch 3 + x. Rechts bleibt -x hooch 3 eben negativ. Warum? Weil bei ungeraden Hochzahlen des Minus stehen bleibt. Für die, die nicht
- wissen, warum, fragt einfach in den Comments. Wir haben das Minus nur mal vor die zwei geschrieben. Rechts hinten wird minus und minus zu plus, deswegen +
- x. Und dann weret das gedacht, links und rechts steht das gleiche. Schweinebacke. Das heißt, die Funktion fx ist symmetrisch zum Ursprung. Also was musst
- du behalten? Wir haben in diesem Video zwei spezielle Symmetriearten betrachtet. die Achsensymmetrie zur Y-Achse und die Punktsymmetrie zum
- Ursprung. Bei der Achsensymmetrie zur y-Achse muss der Funktionswert an der Stelle x so groß sein wie der Funktionswert an der Stelle -x. Dann ist
- die Funktion gespiegelt zur y-Achse. Bei der Symmetrie zum Ursprung mache ich den Wert an X einfach negativ und dann muss der so groß sein wie der Wert an -x. Im
- Notfall kannst du einfach versuchen, dir das durch eine Skizze herzuleiten. So, das war's jetzt mal für das Basic Video zur Symmetrie. Das Ganze lässt
- sich natürlich noch verallgemeinern. So kann man z.B. auch bestimmen, ob Funktionen symmetrisch zu einem beliebigen Punkt sind. Schaut auf jeden
- Fall mal in die Videobeschreibung, da ist der Link zu der Zusammenfassung des Videos mit ein paar Übungsaufgaben.