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Das Gesetz der Großen Zahlen (schwaches und starkes Gesetz)
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 67 Zeilen
- [Musik] hallo und herzlich willkommen bei statistik verstehen das gesetz der großen zahlen ist neben dem zentralen
- grenzwert satz eines der fundamentalsten erkenntnisse der stochastik denn dieses gesetz beweist die verknüpfung zwischen dem rein theoretischer dachten konzept
- der wahrscheinlichkeit mit dem was wir in der realität tun wie beispielsweise die relative häufigkeiten von ereignissen aus zielen
- indirekt habe ich schon an mehreren stellen das gesetz der großen zahlen angewendet beispielsweise bei der motivation des erwartungswertes oder
- dass wir schon die ganze zeit damit arbeiten dass der mittelwert gegen den erwartungswert konvergiert das gesetz der großen zahlen wird typischerweise
- mittels verschiedener grenzwert sätze formuliert die unterschiedliche aussagen haben mathematisch betrachtet gibt es aber nur ein gesetz der großen zahlen
- dass alle grenzwerte fast allgemein beziehen sich diese aussagen auf die oftmalige wiederholung von zufalls experimenten dh für sehr viele versuche
- und als mathematische grenzwert sätze wie immer auf unendlich viele versuche die kernaussage ist vereinfacht gesprochen der beweis dass sich relative
- häufigkeiten bzw allgemein so empirische kennwerte für sehr viele zufalls versuche um den theoretischen wert stabilisieren beginnen möchte ich mit
- dem schwachen gesetz für relative häufigkeiten das auf den schweizer mathematiker jacob bernoulli zurückgeht und ein meilenstein in der
- wahrscheinlichkeitsrechnung ist der ausgangspunkt ist ein sogenanntes bei null experiment also ein zufalls experiment das nur zwei ausgänge hat
- erfolg und misserfolg wie zum beispiel der münzwurf kopf oder zahl dieses zufalls experiment wird einmal wiederholt gmp sei die
- erfolgswahrscheinlichkeit das als erfolg definierten ereignisses in einem versuch wir wissen bereits dass die anzahl der erfolge cline ka nach etwas suchen bin
- domian verteilt die ist mit dem erwartungswert der hand sei der folge von mlp und der varianz in x b x 1 - p dadurch ist die relative
- häufigkeit wenn das alles wahr ist was wir jetzt behauptet haben dann sollte relative häufigkeit des erfolgs gleich der bahn wahrscheinlichkeit für dieses
- ereignis sein und für die varianz gilt p x 1 - p durch die variante ist übrigens der quadrate standard fehler der relative häufigkeit dass die relative
- häufigkeit gegen die wahrscheinlichkeit konvertiert so wie es der erwartungswert behauptet wollen wir jetzt beweisen dazu will ich anmerken dass zurzeit von
- bernoulli es weder eine aktion tische definition der wahrscheinlichkeit gab und auch keine konzepte wie erwartungswert und varianz doch ohne all
- dies konnte er es trotzdem beweisen als genialer mathematiker hat er nun auch den wert seiner entdeckung erkannt in seinem tagebuch schrieb er
- diese entdeckung gilt mir mehr als wenn ich gar die quadratur des kreises geliefert hätte denn wenn diese auch gänzlich gefunden würde so wäre sie doch
- sehr wenig nützt dazu sei bemerkt dass die quadratur des kreises zur damaligen zeit noch ein mathematisch ganz wichtiges problem war heute 300 jahre
- später haben wir ein ganz anderes verständnis und der beweis braucht auch nur zwei zeilen denn heute nutzen wir dazu die ungleichen von ihren ehemännern
- und pawlowitsch tschechow chef die ungleichen habe ich im zusammenhang mit der bedeutung der varianz vorgestellt es ist eine zufalls variable
- mit endlichen erwartungswert und einer varianz größer als null für ein beliebiges y größer null gilt dass die wahrscheinlichkeit dass ich zweiter als
- y um den erwartungswert streit kleiner text ein quadrat durch y quadrat ist für den beweis brauchen wir jetzt nur in die
- ungleichen einzusetzen die zufalls variable exist der empirische kennwert also hier die relative häufigkeit der erwartungswert
- ist die wahrscheinlichkeit auf der rechten seite der ungleich umsetzen wir für die varianz 1 das ist bei x 1 - durch einmal exil um
- quadrat in einem zweiten schritt bilden wir den limes für ein gegen unendlich dadurch wird die rechte seite der
- ungleichen 0 das ergebnis ist nun wie folgt zu interpretieren die wahrscheinlichkeit dass die relative
- häufigkeit von der theoretischen wahrscheinlichkeit um jedes noch so beliebig kleine y größer als null abweicht ist 0
- wenn die wahrscheinlichkeit 0 ist dann ist das ein unmögliches ereignis zum besseren verständnis ein beispiel wir machen ein paar nullen experiment mit
- einem fairen würfel ein erfolg ist es wenn wir eine 6 werfen die erfolgswahrscheinlichkeit in einem wurf ist ein sechstel die horizontale achse
- der grafik zeigt die anzahl der versuche in die vertikale achse die relative häufigkeit die bis zum enten versuch beobachtet wurde
- wir sehen bei einer kleineren anzahl an versuchen kann die relative häufigkeit noch deutlich leichter vom erwarteten wert weg sein aber je mehr versuchen wir
- durchführen desto mehr stabilisiert sich die verteilung um den wert ein sechstel der fachbegriff ist stabilisieren die aussage dass sich die relative
- häufigkeit immer mehr den erwarteten wert anhört ist nämlich falsch denn das sieht man auch ganz deutlich in der grafik dass sich die blaue linie der
- strich vierten linie zwar manchmal annähert und dann wieder weiter entfernt nur die wahrscheinlichkeit dass der abstand größer wird wird kleiner
- nicht aber der abstand selbst eine verallgemeinerung des schwachen gesetz für relative häufigkeit ist das
- schwache gesetz der großen zahlen x1 bis xl sind zufalls variablen die paarweise unabhängig sind und identisch verteilt so wie wir es bei einer einfachen
- zufallsstichprobe hätten alle zufalls variablen haben einen endlichen erwartungswert der mittelwert square ist die summe aller xii der erwartungswert
- fonic square soll mühe sein und die varianz völlig square ist sigma quadrat durch m wir setzen wieder in die ungleichen ein
- und bilden den limes für ein gegen unendlich die wahrscheinlichkeit dass square vom erwartungswerte um jedes noch so
- beliebig kleine y größer null abweicht ist 0x quer konvergiert in wahrscheinlichkeit gegen mühe für einen fairen würfel ist erwartungswert 3,5 in
- gleicher weise wie die relative häufigkeiten stabilisiert sich der mittelwert um den erwartungswert
- mathematisch stärker ist das so genannte starke gesetz der großen zahlen diese schlug quasi das schwache gesetz der großen zeigen in dem ein anderer
- stärkerer konvergenz begriff benutzt wird das schwache gesetz ist nämlich etwas unbefriedigend weil es möglich ist wenn auch wenig wahrscheinlich dass sich
- der mittelwert vom warenwert wieder weiter weg bewegt aber eigentlich wollen wir dass der abstand immer kleiner wird wenn wir immer weiter den würfel werfen
- dazu brauchen wir die sogenannte fast sichere konvergenz hierbei betrachten wir jetzt nicht mehr den mittelwert iks quer sondern den mittelwert der um den
- erwartungswert zentrierten variablen ich schreibe hier führt quer in der klammer steht dass wir neben gegen unendlich geht dann ist das supreme dh die
- kleinste ober eine schranke für den betrag von z wer gleich null die wahrscheinlichkeit von diesem ausdruck ist gleich 1 somit
- ein sogenanntes fast sicheres ereignis das hat es mit der oberen schranke auf sich ich kann eine menge y definieren die eine teilmenge der reellen zahlen
- ist das ist das symbol für teilmenge y ist ein element das er für das gelten soll das y kleiner als 2 ist eine obere
- schranke für diese menge wäre beispielsweise die zeit 3 denn es ist wahr dass alle y kleiner als drei sind eine weitere obere schranke ist auch die
- zeit 2,1 dennoch alle y sind die rein als 2,1 aber die kleinste oberfranke die existiert ist die 2 keine obere schranke kann kleiner als zwei sein
- das ist das supremo z quer ist ebenso eine menge die obere schranke ist nun da wir hier den betrag von z quer haben kann also der abstand von 0 nicht größer
- als null sein wer ist also 0 beim schwachen gesetz der großen zahlen haben wir die konvergenz im wahrscheinlichkeit einen abstand der
- größer als ein beliebiges y sein soll und wenn entgegen und endlich geht wird über schädlichkeit 0 beim starken gesetz der großen zahlen haben wir die fast
- sichere konvergenz keine psion mehr sondern wenn entgegen unendlich geht ist square 0 um dessen wahrscheinlichkeit ist 1 und
- der starke gesetz beinhaltet das schwache abschließend will ich nochmals erwähnen wozu das gesetz der großen zahlen nützlich ist beispielsweise wenn
- man ein betreiber von glücksspielen eines kasinos oder einer lotterie ist oder eventuell im versicherungswesen tätig ist dass man dort seine auszahlung
- weiterhin noch gut schlafen kann dennoch wenn man im einzelfall eine auszahlung tätig müsste insgesamt ist auf langer
- sicht die wahrscheinlichkeit zu gunsten der betreiber in den empirischen wissenschaften nutzt uns diese erkenntnis dass wir wissen dass durch
- mehrfache messung der messfehler reduziert wird das heißt größere stichproben sind anzustreben aber insgesamt auch als legitimation
- dass das was wir tun mit dem theoretischen konzept von wahrscheinlichkeit im einklang steht das war es soweit zum gesetz der großen
- zahlen in diesem video gab es wieder ein bisschen mehr mathe aber ich hoffe das video war für euch trotzdem gut
- verständlich wenn ihr fragen habt dann schreib bitte in die kommentare ich freue mich auch über ein like und wenn ihr ein abo hinterlässt
- ich bedanke mich fürs zu sehen bis zum nächsten mal