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Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens I musstewissen Mathe
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 57 Zeilen
- Wie in jeder Sprache gibt es auch in der Mathematik Vokabeln, die man lernen muss.
- Die trigonometrischen Funktionen sind aber mehr als das. Es sind ganze Wörterbücher.
- In diesem Video zeige ich euch, wie man sie benutzt und eine Eselsbrücke, die ein bisschen gaga ist.
- Streit im Land der rechtwinkligen Dreiecke. Der Konflikt zwischen Seiten und Winkeln ist eskaliert.
- Die Friedensgespräche wurden vorübergehend abgebrochen. Wie so oft beginnen die Probleme schon bei der Verständigung.
- Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sprechen die Sprache des Pythagoras. Wenn wir zwei Seiten des Dreiecks kennen,
- können wir mit dem Satz des Pythagoras die dritte ausrechnen. Die Winkel sprechen die Sprache des Winkelsummensatzes.
- Das heißt, wenn wir α kennen, können wir β ausrechnen und umgekehrt. So weit, so gut. Aber fehlt da nicht was?
- Wenn wir zwei Seiten kennen, liegen die Winkel auch fest. Es sollte also auch eine Möglichkeit geben,
- aus den Seiten die Winkel zu berechnen und umgekehrt. Kurz gesagt: Wir brauchen etwas, das Winkel in Seiten übersetzt.
- Und umgekehrt. Eine Art Wörterbuch. Schauen wir uns das Dreieck aus Sicht des Winkels α mal genauer an.
- Die Seiten a, b und c können natürlich auch anders heißen. Besser sind die Begriffe, die ihr vom Satz des Pythagoras kennt:
- Wenn ihr das noch mal wiederholen wollt, gibt es auch ein Video von uns dazu. Vom Standpunkt des Winkels α aus
- sehen die beiden Katheten unterschiedlich aus. Die eine liegt dem Winkel gegenüber,
- sie heißt daher Gegenkathete. Die andere liegt an dem Winkel an.
- Das ist die Ankathete. Eine Kathete ist also nie an sich eine Gegen- oder Ankathete,
- es kommt immer darauf an, auf welchen Winkel man sich bezieht. Erst mit Blick auf einen der spitzen Winkel im Dreieck
- kann man sagen, ob eine Kathete gegenüber oder anliegt. Für den anderen spitzen Winkel im Dreieck,
- also in unserem Beispiel für β, sind die Rollen von Gegen- und Ankathete vertauscht.
- Leider können wir allein mit dem Winkel α nicht sagen, wie lange die Seiten des Dreiecks sind,
- denn α legt die Seite nicht fest. Das sehen wir hier.
- Wir können den Winkel beibehalten und trotzdem das Dreieck beliebig vergrößern oder verkleinern.
- Was sich dabei allerdings nicht ändert, sind die Verhältnisse der Seitenlängen. Wenn zum Beispiel die Hypotenuse doppelt so lang ist wie die Gegenkathete,
- dann bleibt das auch beim Vergrößern so. Für Experten: Das kann man sich auch mit den Strahlensätzen überlegen.
- Der Winkel α legt also die Verhältnisse der drei Seiten fest. Die sechs Möglichkeiten, Verhältnisse zu bilden,
- bekommen deshalb eigene Namen: Sinus, Kosinus, Tangens und so weiter.
- Was, das muss ich mir alles merken? Keine Panik. Wenn man genau hinsieht, sind die letzten drei die Kehrwerte der ersten drei.
- Das heißt, man kommt prima ohne sie aus. Den Kotangens brauchen wir allerdings für die Eselsbrücke,
- die ich euch versprochen habe. Und diese Eselsbrücke ist: Die Gaga-Hühner-Hof-AG.
- Klingt nach Quatsch, ist aber total genial. Wenn ihr Gaga-Hühner-Hof-AG so schreibt, ...
- ... dann stehen da genau die Brüche für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens in dieser Reihenfolge.
- Tangens ist G durch A also Gegenkathete durch Ankathete und Cotangens ist Tangens umgedreht, also A durch G,
- sprich Ankathete durch Gegenkathete. Das ist die Theorie, aber wie rechnet man jetzt damit?
- Ein Beispiel: Wir haben hier ein rechtwinkliges Dreieck. Das ist die Voraussetzung.
- Kein rechtwinkliges Dreieck, kein GAGA. Die trigonometrische Funktion, in der Gegenkathete und Ankathete vorkommen,
- ist der Tangens. Wir schreiben also:
- Den Tangens von etwas verrät uns ganz einfach unser Taschenrechner. Tangens von 41 Grad ergeben gerundet 0.87.
- Fertig! Gar nicht so schwer, oder? Zumal der Taschenrechner das Schwierigste übernimmt.
- Wie sieht es mit der Hypotenuse aus? Zu Hypotenuse und Ankathete passt der Kosinus.
- Und noch ein Beispiel, bei dem der Winkel gesucht wird. Gegeben sind die Gegenkathete und die Hypotenuse von Alpha.
- Also jetzt geht's um den Sinus. Auf eurem Taschenrechner findet ihr jetzt das Symbol Sinus hoch -1.
- Bei den meisten Taschenrechnern aktiviert man das mit den Tasten, wo INV oder 2ND draufsteht, bevor man auf die Sinustaste drückt.
- Rechnet das mal selbst nach und falls ihr feststellen solltet: "Hä? Da kommen ja komplett andere Werte raus."
- Dann schaut mal nach, ob euer Taschenrechner gerade auf Gradmaß oder Bogenmaß eingestellt ist.
- Als Test könnt ihr auch den Tangens von 45 eingeben. Wenn das Ergebnis 1 ist, dann seid ihr im Gradmaß.
- Wenn nicht, dann müsst ihr das umstellen, dann seid ihr nämlich im Bogenmaß.
- Die trigonometrischen Funktionen reagieren sehr empfindlich auf eine falsche Einstellung.
- Zum Thema Bogenmaß haben wir übrigens auch noch ein eigenes Video. Ich würde sagen, jetzt reicht's aber langsam auch.
- Jetzt habt ihr nicht nur ein paar neue Fachvokabeln, sondern direkt auch drei dicke Wörterbücher zur Hand.
- Sinus, Kosinus und Tangens. Damit könnt ihr die Sprache der Winkel
- in die Sprache der Seitenlängen übersetzen und umgekehrt. Übrigens, seit dem Mittelalter haben erst indische, dann arabische, persische
- und zuletzt auch europäische Wissenschaftler tatsächlich jahrhundertelang mit riesigen Nachschlagewerken gearbeitet,
- mit Tabellen, in denen möglichst genaue Werte der trigonometrischen Funktion für möglichst viele verschiedene Winkelgrößen aufgelistet waren.
- Dank des Taschenrechners geht das heute alles per Knopfdruck. Also seid dankbar für eure Taschenrechner.
- Wenn ihr noch andere Eselsbrücken für die trigonometrischen Funktionen kennt, dann schreibt sie einfach als Kommentare unter dieses Video.
- Über weitere Fragen, Anregungen oder einen Daumen nach oben freuen wir uns natürlich auch. Bis bald, tschüss.
- Untertitel im Auftrag vom ZDF für funk, 2017