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Tangens ableiten – einfach erklärt (3 Beispiele)
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 63 Zeilen
- Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch an diesen drei Beispielen zeigen, wie man den Tangens ableiten kann. Lasst uns mal mit dem ersten Beispiel starten.
- Bilde die erste Ableitung der Funktion f. Das hier ist unsere Funktion 3* Tangens von x. Und der Tangens kommt hier drin vor, aber wir haben hier eben
- auch dreimal den Tangens. Und wenn wir jetzt die Ableitung davon bilden wollen, wenden wir grundsätzlich immer die ganz normalen Ableitungsregeln an, die wir
- eben kennen. 3 mal etwas, das ist einfach nur eine Zahl, also einfach nur ein Faktor, der bleibt beim Ableiten ja erhalten. Also die drei, dieses dreimal,
- das schreiben wir einfach genauso hin, hat noch gar nichts mit dem Tangens an sich zu tun. Aber jetzt kommen wir zum Tangens und hier steht wirklich nur
- Tangens von x. Also da ist nichts abgefahrenes hier im Tangens drin. Hier ist kein 3x drin oder x² oder irgendwas, sondern standardmäßig nur Tangens von x.
- Und wenn das wirklich nur der Fall ist, dann ist die Ableitung vom Tangens, muss man sich dann halt eben merken, 1 geil durch cosinus quadrat von x. Also, wenn
- hier wirklich nur ein X drin ist, dann kommt hier wirklich nur ein X rein. Und ansonsten eben diese wunderschöne Form 1 dur cosinus quadrat von x. Das ist die
- Ableitung vom Tangens mit so einem Faktor noch vorne dran. Okay, dreimal das, wenn ihr wollt, könnt ihr das dann auch noch ähm vom Zähler her berechnen.
- 3 x 1 wären 3. Und dann könnt ihr das Ganze auch so hinschreiben, falls es euch besser gefällt. Aber ansonsten ist das die Regel. Natürlich ist es nicht
- immer so, dass im Tangens nur X steht. Da stehen normalerweise mehr Sachen und dann muss man da auch ein bisschen mehr beachten. Aber schauen wir uns diese
- Funktion jetzt hier erstmal an und gucken, wie wir die Ableitung davon bilden können. Dieses Mal haben wir 4 plus den Tangens. bei einem Plus und
- wenn hier wirklich nur eine Zahl steht, dann ist es ja einfach eine Konstante, die beim Ableiten wegfällt. Also hier vorne schreiben wir gar nichts hin. Und
- dann können wir uns schon um den Tangens von 5x dieses Mal kümmern. Das heißt, dieses Mal haben wir nicht nur ein x hier drin, sondern ein
- bisschen mehr 5x. Das heißt, wir haben hier drin etwas und wir haben hier außen etwas. Wir haben eine ineinander verschachtelte Funktion und müssen jetzt
- die Kettenregel anwenden, um das hier ableiten zu können. Die Kettenregel sagt: "Ja, nimm die innere Funktion, das grüne und leite das Ding einmal ab." Und
- dann multipliziere das mit der äußeren Ableitung. Also schau dir die äußere Funktion ab an. und leite die auch einmal ab. Dann starten wir mal mit dem
- Inneren mit dem Grünen. Die Ableitung von dem Grünen von 5x ist ja so, dass das x einfach wegfällt beim Ableiten und nur die fünf bleibt stehen. Das ist die
- innere Ableitung. Dann kommt mal und dann müssen wir uns um das Äußere kümmern, um das orangene. Dabei ist es ja so, dass man das Grüne erstmal
- ignoriert und sich Gedanken darrüber macht. Was ist denn die Ableitung vom Tangens? Na ja, das haben wir gerade eben
- gesehen. Das ist 1 durch cosinus quadrat von und normalerweise kommt ja hier jetzt einfach nur ein X rein. Aber wenn man
- sich bei der Kettenregel befindet, dann ändert man das Innere ja nicht ab, wenn man das äußere ableitet. Also, dass diese 5x dürfen wir nicht anfassen. Die
- müssen genauso bleiben an der Stelle, wo es eben waren, nämlich dann hier drin. Und die 5x müssen dann hier komplett einmal rein. Also, wenn ihr mehr als nur
- x in eurer Tangensfunktion hier drin stehen habt, müsst ihr die Kettenregel anwenden, die innere Ableitung und die äußere Ableitung. Und bei der äußeren
- Ableitung, bei dem orangenen, dürfte das Innere nicht verändern. Also das, was vorher grün war, muss dann eben wieder an dieser Stelle grün sein. Da fassen
- wir nichts an. Und wenn ihr dann wollt, könnt ihr 5 x 1 hier noch mal zusammenfassen zu einer fünf hier in den Zähler schreiben, falls euch das besser
- passt. Und natürlich kann das beliebig kompliziert werden, aber wir wissen ja jetzt schon mal ein bisschen was und wagen uns jetzt auch mal hieran.
- Die Wurzel von Tangens von 3x. Wenn man die Wurzel ableiten möchte, kann man sich entweder merken, dass die Ableitung von der Wurzelfunktion,
- wenn man die ableitet, dass es 1 dur 2* Wurzel X ist. Aber falls man das nicht im Kopf hat, kann man immer auch die Wurzel umschreiben. Also, bevor wir
- jetzt die Ableitung bilden, schreiben wir unsere Funktion erstmal ein bisschen anders auf, damit die Ableitung leichter fällt. Und zwar statt der Wurzel
- schreiben wir eine Klammer und das ganze hoch einb. Statt einer Wurzel kann man ja immer hoch einhalb schreiben und in die Klammer kommt eben alles rein, was
- vorher in der Wurzel stand. Da wird nichts abgeändert. Und jetzt in dieser Darstellung schauen wir uns falen
- Ableitungsregeln. Jetzt müssen wir aber erstmal schauen, welche Regeln brauchen wir hier denn überhaupt? Wir haben eine Klammer hoch ein halb und
- in der Klammer haben wir etwas mit x stehen. Das heißt, wir haben hier drin etwas stehen und wir haben hier draußen außen etwas stehen. Innen steht dieser
- ganze Tangenzteil, außen steht es hoch ein halb. Dann müssen wir die Kettenregel anwenden, um das abzuleiten. Das heißt,
- wir müssen das grüne einmal ableiten, auch wenn es diesmal ein bisschen komplizierter wird, aber das hatten wir schon mal. Und das müssen wir dann
- multiplizieren mit der orangenen Ableitung. Lasst uns mal mit dem Inneren starten und das Ding da drin ableiten. Tangens von 3x. Ich schreib es mal noch
- mal hier an der Seite auf. Was haben wir hier? Wir haben jetzt, um die Ableitung hiervon zu bilden, haben wir jetzt wieder hier drin etwas, weil da steht
- nicht nur ein X, sondern ein bisschen mehr und hier außen etwas. Das ist genauso wie in dem zweiten Beispiel, was wir gerade hatten. Das heißt, wenn wir
- das ableiten wollen, müssen wir auch hier jetzt noch mal die Kettenregel anwenden. Also, wir befinden uns jetzt in der Kettenregel. In der Kettenregel.
- Okay, leiten wir das Ding ab. Das heißt, hier erstmal das grüne ableiten und mit der orangenen Ableitung multiplizieren. Das Grüne abgeleitet. Wenn man 3x
- ableitet, fällt das x einfach weg und wir kriegen nur eine 3 raus. Und das Orangene abgeleitet ist der Tangens. Die Ableitung davon ist 1 durch cosinus
- quadrat von und das grüne wird nicht abgeändert. Das wird genauso mitgezogen. Da müssen die drei X hier rein. Also das hier ist die Ableitung von dem hier und
- das war unser grünes hier drin. Also, das ist die Ableitung von dem Grünen. Das übernehmen wir mal genauso, wie wir das gerade gefunden haben und
- vereinfachen das dann danach. Nicht zu viele Schritte auf einmal. Hier ist schon genug Zeug drin. Okay, das war die grüne Ableitung mal. Jetzt kommt die
- orangene Ableitung. Dafür ignorieren wir das grüne komplett einmal und überlegen uns nur, wenn wir etwas hoch ein halb haben, wie leiten
- wir das dann normalerweise ab? Die Regel ist dann so, dass man die ein halb nach vorne zieht und diesen Exponenten eins kleiner macht, ne? Das ist ja die Regel.
- Also wenden wir das an. Die ein/H/B kommt nach vorne. Ein/HB schreiben wir dahin. Dann schreiben wir erstmal die Klammer
- hier rein und dann machen wir den Exponenten 1 kleiner. 1/ - 1. Da landen wir bei -
- und hier drin, wir befinden uns bei der orangenen Ableitung, da fassen wir das Grüne nicht an. Das grüne bleibt exakt so stehen. Egal, wie kompliziert das
- Ding aussieht. Das kommt genauso noch mal hier rein. Wenn ihr bei der orangenen Ableitung seid, bei der äußeren Ableitung, dann wird das Grüne
- einfach so mitgezogen. Okay, das ist im Grunde unsere Ableitung. Die kann man natürlich jetzt noch ein bisschen schöner machen. Z.B.
- Könnten wir mal 3 mal einb hier zusammenfassen. Zu 3* 1 sind 3 und die halbe bleiben unten stehen. Diesen Bruch können wir jetzt eigentlich nicht viel
- schöner machen. Den schreiben wir genauso einfach einmal ab. Und bei dem letzten Teil, den könnte man auch so stehen lassen, aber so ein negativer
- Exponent ist jetzt nicht so beliebt. Also, den würde ich vielleicht noch abändern. Wie kriege ich so ein negativen Exponenten weg? Wenn ich sowas
- habe wie x hoch -5, dann kann ich das immer als einen Bruch schreiben und zwar immer als 1 durch und dann schreibe ich das Ding noch mal so ab. Aber das Minus
- mache ich da nicht noch mal hin, sondern mach da draus einfach eine fünf. Und das wenden wir hier jetzt auch an. Das heißt, hier wird ein Bruch draus ein
- durch und dann schreibe ich das ganze Ding genauso ab. Also starten wir mal hier drin. Tangens von 3x, dann war das ganze Ding hoch - aber das
- Minus schreibe ich ja eben nicht mehr noch mal hin, sondern nur das hoch ein/b. Und dann könnte man es so stehen lassen,
- aber auch das hoch einhalb könnte man noch mal in die Wurzelschreibweise umwandeln, wenn man möchte. Also statt einem Hocheinhalb kann man ja einfach
- die Wurzel schreiben. Also machen wir mal das ganze Ding da weg und packen noch mal eine Wurzel um den kompletten Tangensdrum drum herum. Und das wäre die
- Schreibweise, wie ich es letztendlich stehen lassen würde, aber ist teilweise Geschmackssache. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man vorgehen kann. Falls
- ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut.