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quadratische Funktion - Nullstellen berechnen | einfach erklärt von Lehrerschmidt
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 68 Zeilen
- hi und herzlich willkommen bei Lehrer Schmidt wir machen heute zusammen Mathematik wir sind bei der quadratischen Funktion und heute wollen
- wir uns die Sache mit den Nullstellen angucken und ihr seht richtig Null Stelle oder Null stellen und eigentlich h ich noch sagen müssen oder keine aber
- keine Sorge wir schauen uns jetzt an was ist eine Nullstelle wie sehe ich das wie sehe ich das vielleicht vorher und wie berechne ich das aber wir fangen wie
- immer ganz locker an also wir zeichnen jetzt mal eben hier eine Parabel so zack dafür nehme ich mein Parabel Lineal und so das ist eine Normalparabel so und
- diesen Punkt hier unten den kennt ihr schon den nennen wir Scheitelpunkt und der Scheitelpunkt das ist immer der höchste oder der niedrigste Punkt je
- nachdem ob oben oder nach unten aufgeklappt einer quadratischen Funktion okay und jetzt kommt was neues immer dann wenn eine quadratische Funktion
- durch die hier Nullinie also durch die x-Achse läuft das nennen wir Nullstelle das heißt hier ist eine Nullstelle und weil diese Parabel
- zweimal die x-Achse kreuzt ist hier auch eine Nullstelle das heißt also diese normal Parabel hier die nach unten verschoben ist auf der yachse hat zwei
- Nullstellen okay so das müssen wir wissen also ist sie nach unten verschoben zwei Nullstellen und damit wir jetzt die Sache mit den Nullstellen
- noch ein bisschen besser verstehen habe ich jetzt eine kleine Übersicht so hier seht ihr drei kleine Koordinatensysteme also ich zeichne
- jetzt mal ne ist nur eine Skitze keine Sorge das hier soll eine Normalparabel sein und jetzt meine Frage wie viel Nullstellen gibt es und ihr seht hier
- der Scheitelpunkt das ist gleichzeitig die Nullstelle ne also eine Nullstelle alles klar lieg da so dann das Beispiel von gerade eben wieder
- Normalparabel aber diesmal bei -1 dann gibt es hier und hier z Nullstellen
- okay zweimal wird die x-Achse gekreuzt hier einmal deswegen eine Nullstelle hier zweimal hier ist die Nullstelle und der Scheitelpunkt der gleiche Punkt hier
- ist hier der Scheitelpunkt und deswegen gibt es zwei Nullstellen und das dritte Beispiel ihr ahnt es schon so die Parabel ist nach oben verschoben und wie
- viel Nullstellen gibt's jetzt richtig null null stellen und das müssen wir uns merken eine quadratische Funktion hat entweder eine
- Nullstelle zwei Nullstellen oder keine Nullstelle und das ganze das kann man sehen und zwar entweder so wie hier wenn wir das Zeichnen oder eben an der
- Funktionsgleichung also y = x² wir sehen hier ist keine Höhe angegeben das heißt eine dieser heißt y = x² -1 wir wissen aha Normalparabel
- verschoben um -1 auf der yachse nach unten das heißt alles klar zwei Schnittstellen und hier im dritten Fall y = x² + 1 wieder verschoben auf der
- Y-Achse aber nach oben das heißt es gibt keine Kreuzungen solange wie das positiv ist wäre das hier negativ dann wäre sie nach unten aufgeklappt dann gibt's zwei
- so ihr seht also das ganze kann man zeichnerisch lösen entweder mit einer Skizze oder eben richtig aber so kann man das machen aber natürlich kann man
- das auch berechnen und das schauen wir uns jetzt an so hier seht ihr unser erstes Beispiel und ich helfe euch die Funktionsgleichung lautet y = x² es
- handelt sich also um eine Normalparabel und wir sehen es schon hier es gibt eine Nullstelle und zwar ist es der Scheitelpunkt 00 jetzt jetzt ist die
- Frage kann ich das auch berechnen und die Antwort ist natürlich ja was mache ich ich setze meine Gleichung y = 0 so also ich kann h hinschreiben y = 0 und
- dann steht da 0 = x² so alles klar und das war's so wenn ich jetzt hier 0 einsetze dann ergibt das 0 und zwar nur 0 das heißt es gibt
- genau eine Lösung und der Punkt ist 0 also ist die Nullstelle 0 0 fertig ausgerechnet das war hier natürlich ziemlich einfach schauen wir
- uns ein schwererigeres Beispiel an so hier ist unser zweites Beispiel es handelt sich um eine Normalparabel die um -1 nach unten verschoben ist ne ihr
- seht hier -1 1 1 das heißt wir sehen schon aha es sind zwei Nullstellen und zwar 1 und -1 nun wollen wir das wieder berechnen die Funktionsgleichung y = x²
- und weil sie nach unten verschoben ist -1 das setzen wir jetzt =ich 0 also y = 0 dann ist 0 = x² - 1 wir wollen jetzt x ausrechnen also rechnen wir erstmal + 1
- und dann steht hier 1= x² okay jetzt müssen wir aber wissen hey das ist ja hier Quadrat das heißt also
- es gibt zwei Lösungen nämlich x1 und x2 weil wir ziehen jetzt die Wurzel und zwar und das ist das was man erstmal verstehen muss die Wurzel aus
- 1 das ist 1 wissen wir aber wur 1 tja das ist -1 und das ist die Sache die so häufig vergessen wird wir
- können eben zwei Zahlen quadrieren dass da entsprechend 1 bzw aus 1 rauskommt und deswegen gibt es hier zwei Lösungen so das war ein einfaches Beispiel jetzt
- machen wir es ein bisschen schwieriger so hier seht ihr unser nächstes Beispiel dieses mal seht ihr es hier aha Scheitelpunkt bei -8 2 und -2 das sind
- die Nullstellen das können wir sofort ablesen und die Funktionsgleichung lautet in diesem Fall y = 2x² - 8 -8 bedeutet aha hier ist der
- Schnittpunkt 2 ihr seht es das ganze ist gestreckt alles klar ne ihr seht es ist also nicht die Normalparabel ich leg sie noch mal eben drauf es ist natürlich
- schmaler alles klar gut wir wollen jetzt gucken können wir diese zwei Nullstellen die wir hier stehen haben auch ausrechnen so machen wir jetzt Null
- setzen also 0 = 2x² - 8 x soll alleine stehen also erster Schritt + 8 8 = 2x² okay erstmal geteilt durch 2 4 ist=
- x² alles klar wir wollen aber nicht wissen was x² also x also ziehen wir die Wurzel aus 4 also können wir sagen x1
- x2 die Wurzel aus 4 und Wurzel aus 4 und was kommt dort entsprechend raus 2 und -2 hier seht ihr übrigens mal wieder ein schönes Beispiel
- wie wichtig es ist dass man die Quadratzahlen auswendig lernt es spart einfach viel Zeit so ein weiteres Beispiel ganz ganz typisch also passt
- auf y= x² + 1 so die piffigen von euch die werden sagen hey moment mal bei allen anderen schauen wir an also wir setzen 0
- 0 x²- 1 + 1 klar jetzt rechnen wir -1 und dann steht da -1 = x
- qur Wurzel aus einer negativen Zahl geht nicht also keine Nullstelle wie kann das denn sein schauen wir uns das an wie sieht
- denn x² + 1 aus das ist eine Normalparabel nach oben verschoben das heißt also die sitzt hier oben und ihr seht wenn wir
- sie zeichnen tja tatsächlich die hat gar keine Nullstelle und das haben wir immer dann wenn wir hier eine negative Zahl
- haben das heißt man kann es sowohl als auch rechnerisch darstellen okay so zum Schluss machen wir noch ein paar Rechenbeispiele jetzt wollen wir gucken
- ob ihr das ganze auch schon hinbekommt wie immer könnt ihr mitrechnen so wir haben y = 0,5x qur-
- [Musik] 50 okay 0 setzen 0= 0,5x² - 50 jetzt machst du alleine weiter
- kannst auch Stopp drücken ich mache jetzt auch weiter so ich rechne + 50 dann steht hier 50 =
- 0,5x² alles klar jetzt rechne ich weil hier 0,5 steht mal 2 damit da x² steht und dann steht hier 100 = x² alles klar jetzt wissen wir was x² ist jetzt wollen
- wir ja wissen was ist x1 und x2 und deswegen ziehen wir die Wurzel und zwar einmal die Wurzel auch und einmal die Wurzel aus 100 und dann sind unsere
- Lösungen 10 und -10 so einfach ist das okay zweite Aufgabe y= 1 dr
- x²- 12 keine Sorge hier muss niemand Schnappatmung wegen eines Bruches bekommen kriegen wir alles hin also 0 setzen 0 1 x²
- 12 erstmal 12 rüber also + 12 12= 1 x qu und da wir jetzt nicht wissen wollen was ein Drittel ist machen wir einfach das Ganze zu einem Ganzen ein
- Drittel müssen wir mit steht hier unten dreal nehmen damit darus ein ganzer wird also mal 3 beide Seiten versteht sich also
- 36= x² na welch Zufall eine Quadratzahl also haben wir wieder x1 und x2 und wir ziehen einmal die Wurzel aus 36 und einmal
- 36 so kriegt das hin 6 x 6 S 36 also ist es hier 6 und hier ist es -6 klar kann man das in den Taschenrechner eingeben aber es ist doch toll wenn man die
- Quadratzahlen im Kopf hat okay so zwei letzte Beispiele zum Schluss y=0 5 x² + 8 erstens 0 setzen 0=
- -0,5x² + 8 jetzt x ausrechnen also x isolieren dann rechnen wir hier -8 hier steht -8 =
- -0,5x² okay jetzt muss das Minus weg und es soll eine 1 werden das machen wir in einmal wir rechnen mal-2 dann steht hier 16 ist== x² na
- super jetzt ist es hier positiv das heißt Wurzelziehen x1 x2 die Wurzel aus 16 ist 4 und - W 16 ist -4 und schon sind wir fertig auf zur
- letzten Aufgabe y = 2x² + 4 die Profis die sehen schon wieder was also fangen wir an 0 = 2x² + 4 alles klar dann wollen wir x isolieren
- also -4 - 4 = 2x² okay x² wollen wir haben also geteilt dur 2 - 2 = x² weiter nein hier steht ein Minus wir können keine Wurzel
- aus negativen Zahlen ziehen also keine Nullstellen fertig
- so und woran sieht man das hier oben also 2x² heißt nach oben geöffnet hier ist kein Minus + 4 heißt der Scheitelpunkt ist bei y + 4 das heißt
- also das hätten wir sehen können so das war genug ihr habt genug Beispiele gesehen und jetzt wisst ihr warum es quadratische Funktion mit einer
- Nullstelle mit keiner Nullstelle oder mit zwei Nullstellen gibt und ihr wisst wenn man y = 0 macht dann kann man das ganze ausrechnen okay das war's