Schwere EXPONENTIALGLEICHUNGEN lösen – Ausklammern, Logarithmus, Beispiele

Das Wichtigste aus dem Video

Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.

1. 0:19 Einen Logarithmus kannst du bei solchen Exponentialgleichungen erst sinnvoll anwenden, nachdem Summen oder Differenzen durch Umformen und Ausklammern beseitigt wurden.
2. 1:34 Mit \(a^{u+v}=a^u\cdot a^v\) lässt sich eine Potenz zerlegen. Dadurch entsteht ein gemeinsamer Potenzfaktor, der ausgeklammert werden kann.
3. 3:39 Nach dem Ausklammern werden die Logarithmusregeln genutzt: Exponenten kommen als Faktoren vor den Logarithmus, Produkte werden in eine Summe von Logarithmen zerlegt.
4. 4:26 Bringe anschließend alle Terme mit \(x\) auf eine Seite, klammere \(x\) aus und teile durch den verbleibenden Faktor; im Einstiegsbeispiel ergibt sich \(x\approx-8{,}83\).
5. 5:32 Bei unterschiedlichen, aber verwandten Basen werden zunächst zusammengehörige Potenzen auf dieselbe Seite gebracht: \(4\) gehört als Potenz von \(2\) zur Basis \(2\), \(9\) als Potenz von \(3\) zur Basis \(3\).
6. 6:32 Schreibe \(4\) als \(2^2\) und \(9\) als \(3^2\) und multipliziere bei Potenzen von Potenzen die Exponenten. So bleiben nur noch Terme mit den Basen \(2\) beziehungsweise \(3\).
7. 7:54 Zerlege Exponentensummen und -differenzen in Produkte und achte dabei auf die Vorzeichen, etwa \(2^{2x-2}=2^{2x}\cdot2^{-2}\). Danach können \(2^{2x}\) beziehungsweise \(3^{2x}\) ausgeklammert werden.
8. 9:53 Vereinfache die konstanten Faktoren möglichst vor dem Logarithmieren; hier führt die Division durch \(\frac94\) zum Faktor \(\frac{16}{27}\) auf der anderen Seite.
9. 10:33 Logarithmiere beide Seiten, ziehe \(2x\) jeweils vor den Logarithmus, sammle alle \(x\)-Terme und klammere \(x\) aus. Die abschließende Division liefert \(x\approx0{,}64\).