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Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) - Einführung / Grundlagen
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 55 Zeilen
- Hallo liebe Zuschauer und willkommen zum Thema „Ganzrationale Funktionen“. Dieser Begriff ist ein bisschen speziell, denn das Wort „ganzrational“ ist nicht
- eindeutig. Besser ist unserer Meinung der Begriff „Polynomfunktionen“, so wie er auch in der englischen Sprache benutzt wird, denn das ist treffender. Warum? Das
- sehen wir, wenn wir erklären, was ganzrationale Funktionen sind. Wählen wir uns zuerst eine Gleichung, zum Beispiel
- 3*x^4 + 2*x^3 – x^2 + x – 5 = 0 Das ist ein so genanntes „Polynom“. Ein Polynom besteht aus Koeffizient und Potenz, von denen mehrere in einer Summe stehen können.
- x^4, x^3, x^2, x sind Potenzen, und hier können wir auch noch ergänzen bei der 5 das x^0, denn x^0 = 1 und 1 * 5 = 5. Und übrigens: Wir
- haben hier eine „Polynomgleichung“ hingeschrieben, weil wir hier ist = 0 erwähnt haben. Wenn wir jetzt nur ein Polynom wollen, nehmen wir ist = 0 weg, und das ist jetzt ein Term, der
- ein Polynom darstellt. Und wenn wir jetzt hieraus eine Funktion machen wollen, schreiben wir ein f(x) davor. Jetzt haben wir also eine Polynomfunktion.
- Und jetzt fehlt noch was, damit es richtig ordentlich da steht: Bei diesem -x^2 müssen wir noch eine 1 hinschreiben, also vor jeder Potenz soll ein so genannter „Koeffizient“
- sein. Wir schreiben hier also -1 * x^2, das ist das Gleiche, und wir addieren jeweils alle Potenzen miteinander. Also +, +, + und hier fehlt ebenfalls noch
- ein +; tragen wir das ein: +(-5) Und hier steht das x alleine, was ist hier der Koeffizient? Richtig, auch eine 1.
- So, dann lasst uns jetzt die Koeffizienten einmal rot machen, damit man das besser sieht, und die Potenzen bleiben schwarz. Und hier bei dem x, da können wir auch ein x^1 heranschreiben.
- So, und jetzt haben wir bei den Potenzen, gucken wir auf den Exponenten, 0, 1, 2, 3 und 4, also Natürliche Zahlen. Und das ist eine Voraussetzung für Polynomfunktionen
- beziehungsweise das Gleiche, ganzrationale Funktionen. Also schreiben wir mal auf: Der Exponent muss natürlich sein.
- Und die zweite Sache: Der Koeffizient, also das, was hier rot ist, was vor dem x steht in Multiplikation, dieser Koeffizient muss eine Reelle Zahl sein.
- An der Stelle gehe ich davon aus, dass ihr noch wisst, was reelle Zahlen sind, das hatten wir in der entsprechenden Lektion geklärt.
- Also wir könnten jetzt auch hier eine 2,735 hinschreiben oder einen Bruch, 1/3 oder so; selbst л wäre möglich oder eine Wurzel, das sind
- immer noch Reelle Zahlen. Der Begriff „Koeffizient“ kommt übrigens aus dem Lateinischen und bedeutet „mitwirken“;
- er wirkt als Faktor auf unsere Potenz. Was wir übrigens bei der Potenz nicht machen dürfen: Hier in den Exponenten ein -1, -2,
- -3 zu schreiben, denn dann erhalten wir Brüche, und unsere Variable x würde dann im Nenner stehen, also unten. Dann hätten wir nämlich eine gebrochenrationale Funktion.
- Das sind die ganzrationalen Funktionen. Und die gebrochenrationalen Funktionen erkennen wir daran, dass wir einen negativen Exponenten haben, also x in einem Bruch unten steht.
- g(x) = 1/x, das ist gebrochenrational. x ist im Nenner, beziehungsweise können wir auch x wie folgt schreiben: Ist = x^(-1) Erinnert euch hier an die Potenzregel.
- Und wir sehen, hier steht keine Natürliche Zahl mehr im Exponenten, sondern eine ganze negative Zahl; daher haben wir eine gebrochenrationale Funktion.
- Wir können das hier oben auch verallgemeinern: Wir können hier anstatt 3, 2, -1 und so weiter auch „a“ eintragen. Und die Exponenten können wir ebenfalls verallgemeinern.
- Das machen wir dann wie folgt: Sagen wir allgemein f(x) =, und nun nehmen wir das von oben runter und ersetzen hier a, und das ist ja der Koeffizient
- der Potenz x^4, also schreiben wir mit Index, damit man den Wert zuordnen kann, eine kleine 4. Also das ist der Koeffizient für das x^4.
- Dann kommt der Koeffizient für das x^3, also schreiben wir hier a_3. Dann kommen wir zu -1 bei dem x^2, richtig, da nehmen wir a_2 * x^2.
- Und hier haben wir das x^1, das heißt, wir schreiben hier a_1 * x^1. Und hier als letztes, das ist bei x^0, also schreiben wir hier a_0.
- Und schon haben wir die allgemeine Form dieses Polynoms, und da hier die höchste Potenz, der größte Exponent 4 ist, nennen wir das ein „Polynom 4. Grades“.
- Ja, schreiben wir mal kurz hin „Polynom 4. Grades“, weil hier 4 der größte Exponent ist.
- Hätten wir nur so eine Funktion, dann wäre das hier 3. Grades. Gut, jetzt können wir das noch weiter verallgemeinern, denn wir könnten ja auch ein x^5, x^7, x^20
- dabei haben. Das heißt, wir verändern das hier, wir schreiben ein x^n hin, denn wir wissen ja noch nicht, wie viele wir haben. Das heißt, wir könnten jetzt hier eine 20
- einsetzen und dann auch hier eine 20. Und mit dem n ist das also ganz allgemein, irgendeine Potenz mit ihrem dazu gehörigen Koeffizienten.
- Und jetzt schreibt man dann, um die Richtung anzuzeigen, also dass das n kleiner wird, diesen Term hier nochmal hin, aber man schreibt jetzt, da es ja nicht der gleiche nochmal
- sein soll, eine -1 da hin. Damit macht man deutlich, dass, wenn wir jetzt hier zum Beispiel die 20 für n eintragen, hier dann ebenfalls die 20 eingesetzt wird und dann hier steht
- a_19; Gleiches natürlich für den Exponenten: 20 – 1 = 19. Und hier natürlich auch noch die 20. Ihr seht, damit, mit diesem n-1 im Index und
- im Exponenten erschaffen wir den folgenden Term. So, nochmal zurück, also a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + noch weitere
- Potenzen + a_1 * x^1 + a_0 * x^0, das ist das letzte Element, der letzte Summand. Und wenn ihr so etwas seht, dann ist das eine ganzrationale Funktion beziehungsweise Polynomfunktion.
- Achtet also darauf, dass ihr Potenzen von x habt mit natürlichem Exponenten, jeweils einem reellen Koeffizienten davor, und alle müssen in einer Summe stehen. Dann ist es
- eine ganzrationale Funktion. Die bekanntesten ganzrationalen Funktionen sind übrigens, wenn wir das mal hier wegnehmen,
- das x^3 und das x^4, was bleibt hier stehen? Einmal x^2, dann ein x und dann x^0, das natürlich wegfällt zu 1 und dann -5 da steht. Und diese kennt ihr, was ist das? Richtig, die „quadratische
- Funktion“. Also bekannt ist: Quadratische Funktion. Und wenn wir das jetzt nochmal hier hinkopieren, was ist weiterhin bekannt?
- Wenn wir mal das x^2 wegmachen, dann haben wir hier ein x da zu stehen und -5. Was war das? Nur eine Variable. Erinnert euch, wenn wir das zeichnen würden, wäre das ein
- linearer Graph, eine Gerade, und wir sprechen von „linearer Funktion“, richtig: Lineare Funktion.
- Die beiden kennt ihr, das sind die bekanntesten, und ihr seht: So fremd ist das Thema gar nicht. Wenn wir jetzt ein x^3 hinzufügen würden, haben wir dann die „kubischen Funktionen“;
- schreiben wir das noch hier hin, ziehen lineare Funktionen noch nach oben, dann kommt quadratische, jetzt die kubische. Und schon haben wir die kubische Funktion.
- Achtet bitte darauf: Es kann auch mal sein, dass zum Beispiel x^1 nicht mitgeschrieben ist hier an der Stelle. Dann habt ihr also x^2 - 5 da zu stehen. Trotzdem, wenn ihr euch
- hier die Variable anschaut, haben wir hier als größten Exponenten die 2. Daher wissen wir, es ist eine quadratische Funktion.
- Und wenn das so da steht, ist das immer noch eine quadratische Funktion. Und wer sich jetzt fragt: Ja, wo sind denn hier die anderen Koeffizienten und Potenzen
- hin? Dem kann man sagen: Die wurden durch die 0, das ist der Koeffizient, so zu sagen eliminiert. Das sieht dann so aus. Das wäre so zu sagen die ausgeschriebene Funktion,
- also sauber geschrieben mit den 1, 2, 3 Koeffizienten und unseren 3 Potenzen 2, 1 und 0. Die fallen weg, und es bleibt -x^2 stehen.
- Okay, jetzt wisst ihr, was ganzrationale Funktionen sind beziehungsweise Polynomfunktionen. Meist wird euch die Aufgabe gestellt, die Nullstellen zu berechnen.
- Also wenn wir das jetzt hier ist = 0 setzen oder das hier ist = 0 setzen oder das hier ist = 0 setzen, wie kommen wir auf das entsprechende x, das dann diese Gleichung erfüllt oder
- diese Gleichung oder diese Gleichung? Und hier haben wir schon ein paar Videos für euch gemacht zu den linearen Funktionen und quadratischen Funktionen und auch zu den kubischen
- Funktionen. Bei den linearen Funktionen muss man nur umstellen, um auf das x zu kommen. Das ist einfach, schauen wir uns das nochmal
- im nächsten Teil an.