Gebrochen Rationale Funktionen, Asymptote und Restterm, Polynomdivision | Mathe by Daniel Jung

Das Wichtigste aus dem Video

Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.

1. 0:10 Bei der gebrochen-rationalen Funktion darf \(x=2\) nicht eingesetzt werden. Da der Zähler dort nicht ebenfalls null wird, ist der Definitionsbereich \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), und bei \(x=2\) liegt eine Polstelle statt einer hebbaren Lücke vor.
2. 0:54 Die Nullstellen liegen bei \(x=\pm\sqrt{3}\). Weil der Grad des Zählers genau um eins höher ist als der des Nenners, ist eine schiefe Asymptote zu erwarten, an die sich der Funktionsgraph für \(x\to\pm\infty\) annähert.
3. 1:27 Durch Polynomdivision lässt sich die Funktion in einen linearen Term und den Restterm \(\frac{1}{x-2}\) zerlegen. Der lineare Term ist die Gleichung der schiefen Asymptote.
4. 2:36 Eine Funktion nähert sich ihrer Asymptote \(a(x)\), wenn \(\lim_{|x|\to\infty}\bigl(f(x)-a(x)\bigr)=0\); das umfasst sowohl \(x\to+\infty\) als auch \(x\to-\infty\).
5. 3:00 Nach dem Abziehen der Asymptotengleichung bleibt hier \(\frac{1}{x-2}\). Dieser Restterm geht für sehr große positive und negative \(x\) gegen null und bestätigt damit die Asymptote.