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Logistisches Wachstum einfach erklärt
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 39 Zeilen
- Funktionen habt ihr jetzt viele kennengelernt, aber gerade wenn man denkt, man kennt alle Funktionstypen, bä, kommt noch ein Typ dazu. So wie hier
- in diesem Video, die logistische Funktion oder SFunktion. Wofür brauche ich die denn schon
- wieder? Stellt euch vor, ihr setzt auf einer einsamen Insel ein paar Kaninchen aus. Vorausgesetzt, es handelt sich um männliche und weibliche Kaninchen und
- die finden dort was zu fressen. Passiert was? Richtig, die vermehren sich und zwar exponentiell. Was das noch mal war, könnt ihr in unseren Videos zum Thema
- exponentielles Wachstum nachschauen. Zurück zu unseren Kaninchen. Die vermehren sich so lange weiter, bis irgendwann kein Platz mehr für Kaninchen
- ist und die Insel voll ist. Glaubt ihr nicht? Ihr könnt ja mal ausprobieren. Die Frage ist jetzt, wie beschreibe ich mit einer Funktion, was dort auf der
- Insel abgeht? Die Lösung bringt, tada die logistische Funktion oder auch S-Funktion genannt und die sieht so aus. Wenn man nur den Anfang der Funktion
- betrachtet, sieht das verdammt nach einer E-Funktion aus. Wenn man nach links schaut, geht die immer weiter an die X-Achse ran. Nach rechts haut die
- Funktion einfach nach oben ab. Schaut man sich nur das Ende an, sieht das auch wieder nach einer E-Funktion aus. Diesmal irgendwas in die Richtung - hoch
- -x + irgendeinen Wert. Also einfach eine umgedrehte E-Funktion, die nicht höher geht wie ein bestimmter Wert. Diesen Wert nennt man Asymptote. Wir nennen ihn
- erstmal G. Das Wachstum wird durch den Wert der Asymptote beschränkt. Soll heißen, ist der Wert erreicht, ist Schluss. Es geht nicht höher. In unserem
- Beispiel bedeutet das, es können nicht mehr Kaninchen auf der Insel überleben. Aber nun betrachten wir einmal die gesamte Funktion und stellen fest, das
- Wachstum, also die Steigung der Funktion, hängt von zwei Dingen ab. Und zwar erstens dem aktuellen Bestand. Klar, gibt's mehr Kaninchen, werden auch
- mehr Kaninchenbabys gemacht und zweitens der noch vorhandenen Kapazität. Auch klar gibt's weniger Lebensraum, können nicht mehr so viele und irgendwann mal
- gar keine Kaninchen mehr gemacht werden, weil einfach nicht mehr genug Platz da ist. Drücken wir das Ganze mal in einer Formel aus. Die Ableitung, also f t ist
- k mal die eigentliche Funktion f t mal in Klammer g - f von t. K ist die sogenannte Proportionalitätskonstante, die sagt
- uns, wie schnell die Kurve steigt. und G ist unsere gerade beschriebene obere Asymptote. Auf Deutsch unser Maximalwert. Es gehe also in unserem
- Beispiel gleich 1000 können 1000 Kaninchen auf der Insel leben. Nun sieht das Ganze noch ziemlich hässlich aus. Wir haben eine Gleichung, in der die
- Ableitung einer Funktion und außerdem noch die Funktion selbst drin steckt. So etwas nennt man Differentialgleichung. Kurz DGL. Wenn ihr das noch nicht
- hattet, könnt ihr euch schon mal auf das Thema freuen oder auch nicht. Um eine Formel zu bekommen, die wir benutzen können, müssten wir die
- Differentialgleichung lösen. Das soll aber heute nicht das Thema sein. Wichtig ist, was rauskommt und das ist f von t g 1 + e hoch - k* g* t mal klammer auf g f
- von 0 - 1 Klammer zu. Das soll jetzt schöner aussehen? Nicht wirklich, aber ihr könnt mehr damit anfangen. Und zwar habt ihr jetzt die Funktionsgleichung
- der logistischen Funktion. Neben G und k habt ihr nun noch ein f von0, also den Funktionswert zum Zeitpunkt t = 0, quasi euren Anfangswert. Mit dieser
- Funktionsgleichung könnt ihr umgehen wie mit anderen Funktionstypen auch. Ihr könnt Werte für t einsetzen und so den Funktionswert zu einem bestimmten
- Zeitpunkt bestimmen. Genau das machen wir jetzt mal an unserem Beispiel, damit ihr auch eine Chance habt, den ganzen Quatsch zu kapieren. Unsere
- Proportionalitätskonstante ist jetzt mal k. G ist 500. Heißt, es können z.B. maximal 500 Hasen auf der Insel leben und f0 ist 2. Ihr setzt also am Anfang
- zwei Hasen auf der Insel aus. Hier haben wir jetzt noch mal die allgemeine Funktionsgleichung eingeblendet. Da setzt ihr jetzt einfach alle Werte ein.
- Eure Funktion ist also f von t= 500 dur 1 + e hoch -0,001* 500* t mal 500 dur 2 - 1. Vereinfacht ist das dann 500 dur 1 + e
- hoch -0,5 x t mal 249. Setzt ihr nun beispielsweise t = 10 ein, bekommt ihr ca. 186,724 heraus. Drückt ruhig mal Pause
- und gebt es selbst in den Taschenrechner ein. Das bedeutet, nach 10 Zeiteinheiten leben dann ca. 186 und ein dreiviertel Kaninchen auf der Insel. Lehrer können
- aber auch schwierigere Fragen stellen, z.B. wann endlich 375 Kaninchen auf der Insel sind. Wie löst ihr solche Aufgaben? Ihr setzt den Wert mit der
- Funktionsgleichung gleich und dann löst ihr nach T auf. Und schon wisst ihr, wann auf eurer Insel 375 Kaninchen leben. Macht das doch einfach mal als
- Übung mit unserer Funktion oben. Wenn ihr richtig gerechnet habt, müsste ungefähr 13,24 herauskommen. So, das waren jetzt ziemlich viele Formeln. Was
- ist wichtig und was sollt ihr euch merken? Viele Vorgänge in der Natur, aber auch in der Wirtschaft, wachsen nicht auf Dauer exponentiell, sondern
- sind beschränkt. Um solche Vorgänge, denkt an unsere Kaninchen, zu beschreiben, verwendet ihr die logistische Funktion. Diese ist
- proportional zu dem aktuellen Bestand an Kaninchen, Geld oder was auch immer sowie zu der noch vorhandenen Kapazität. Soll heißen, ist euer Bestand klein,
- wächst die Funktion langsam. Ist er groß und ihr habt trotzdem noch viel Platz nach oben, wächst die Funktion sehr schnell. Habt ihr weniger Kapazität, so
- wächst die Funktion wieder langsamer. So Leute, ganz wichtig, klickt jetzt hier zum Special Video von uns. Wir sind gerade dabei, die geilste
- Nachhilfeplattform Deutschland zu entwickeln und brauchen dazu eure Meinung. Ansonsten haut rein, Leute. Macht's gut und bis gleich. Ciao.