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Gegenseitige Lage von Geraden
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 50 Zeilen
- [Musik] Die Lage von Geraden, erklärt von den Simple Math.
- [Musik] In diesem Video geht es um die Lage von Geraden. Also, wie können Geraden im
- Raum zueinander liegen? Es gibt vier verschiedene Fälle. Der erste Fall ist, dass die Geraden parallel zueinander liegen. Also so dürfte ziemlich klar
- sein, was hier gemeint ist. Die Geraden schneiden sich hier also nicht. Der zweite Fall ist parallel und gleich. Also zwei Geraden sind einfach
- dieselben. So ungefähr. Also die dritte Möglichkeit ist, dass sich die Geraden schneiden. Also die blaue Gerade hier schneidet die rote.
- Wenn sich zwei Geraden schneiden, ergibt sich genau ein Schnittpunkt S. Die letzte Möglichkeit ist, dass die Geraden wind schief zueinander liegen.
- Das bedeutet dann einfach, dass zwei Geraden nicht parallel sind und sich aber auch nicht schneiden. In unserem Beispiel verläuft die eine Gerade hinter
- der anderen. Wenn du das hier nicht nachvollziehen kannst, nimm zwei Stifte als Geraden und hebe sie einfach so, dass sie sich einfach nicht schneiden
- und nicht parallel sind. So, jetzt stellt sich natürlich folgende Frage: Wie finde ich heraus, wie zwei Geraden zueinander liegen? Hä,
- behandeln wir mal den ersten Fall. Zwei Geraden sind parallel zueinander. Zuerst musst du überprüfen, ob die Richtungsvektoren der Geraden ein
- Vielfaches voneinander sind. Wenn du noch nicht weißt, was die Vektoren in einer Geradengleichung bedeuten, sieh dir unser Video Geradenbasic an.
- Wir schauen also, ob die unterstrichenen Vektoren vielfacher voneinander sind. Beim linken Vektor muss man 2 mit -3 multiplizieren, um -6 zu erhalten. Für
- die anderen Zeilen gilt das ebenfalls, denn 1* -3 ergibt -3 und -1* -3 ergibt 3. Die Vektoren sind also vielfache
- voneinander. Sie zeigen damit in dieselbe Richtung und müssen deshalb parallel sein. Als nächstes musst du überprüfen, ob ein
- Punkt der Geraden H auf der Geraden G liegt. Denn wenn zwei Geraden parallel sind, dürfen keine Punkte der Geraden gleich sein, weil sie sonst dieselben
- Geraden wären. Wir nehmen also einen Punkt von der Geraden H, am besten den Stützvektor und setzen ihn in die Gerade G ein. Das
- führt zu diesem Gleichungssystem. Dazu haben wir einfach jede Zeile in der geraden Gleichung von G mit dem Stützvektor von h gleichgesetzt.
- Wir müssen überprüfen, ob für dasselbe t jede Zeile wahr ist. In der ersten Zeile muss t = 1 sein, damit die Zeile wahr ist, denn 5 + 2 x
- 1= 7. In der zweiten Zeile muss t ebenfalls 1 sein. In der letzten Zeile muss t jedoch gleich -1 sein, damit die Zeile weiß,
- denn 1 -1 ergibt 2. In der dritten Zeile brauchen wir also für t eine andere Zahl wie in den ersten beiden.
- Damit ist die Punktprobe nicht erfolgreich und der Punkt 712 liegt nicht auf der geraden G. Das bedeutet dann letztendlich, dass die
- beiden Geraden zwar parallel sind, aber nicht gleich. Gleich wären die Geraden nur, wenn zum einen die Richtungsvektoren vielfache
- voneinander wären und die beiden Geraden mindestens einen gleichen Punkt besitzen. Damit besitzt ihr automatisch unendlich viele gleiche Punkte.
- Jetzt betrachten wir den nächsten Fall, nämlich dass ich zwei Geraden schneiden. Zuerst überprüfen wir die beiden Richtungsvektoren und sehen auf den
- ersten Blick, dass sie nicht vielfache vonein sind. 231 ist kein Vielfaches von 112. Sind die Richtungsvektoren kein
- Vielfaches voneinander, musst du ein LGS aufstellen. Dabei setzen wir die Geraden einfach gleich, denn wir wollen den Schnittpunkt
- erhalten. Das ergibt dann dieses LGS. Dazu haben wir einfach jede einzelne Zeile der Vektoren gleichgesetzt. Wieder empfehlen wir dir hier einfach auf einem
- Blattpapier mitzurechnen, um die Schritte nachvollziehen zu können. Das LGS können wir erst noch vereinfachen, indem wir alle Zahlen nach
- rechts bringen und alle Variablen nach links. Wie man so ein LGS löst, erfährst du in unserem Video lineare Gleichungssysteme lösen. Wir wollen hier
- nicht noch mal alles Schritt für Schritt erläutern. Das Wichtigste ist jedoch, dass man das LGS erst einmal nur mit den ersten beiden Zahlen lösen darf. da wir
- nur zwei Variablen und nicht wie gewonnens drei haben. Du musst also nur mit Zeile 1 und 2 rechnen und am Ende in Zeile 3 deine Lösung überprüfen.
- Mit Zeile 1 und 2 erhalten wir für R = -1. Damit kann man dann auch einfach für S = 1 erhalten. Wichtig ist jetzt eben noch die Probe in Zeile 3. Du musst also
- prüfen, ob die Zeile wahr ist, wenn du die erhaltenen Werte für R und S einsetzt.
- Wir setzen also einhalten -1 -2 = -3. Diese Aussage ist wahr, denn -3 ist eben -3. Dieser Aspekt ist sehr wichtig. Das LGS
- hat also nur die Lösung, wenn auch die Probe in 3 funktioniert. Ist die Probe in der letzten Zeile mal falsch, obwohl du durch die ersten beiden Zahlen Werte
- erhalten hast, dann hat das LGS keine Lösung und damit schneiden sich die Geraden dann noch nicht. Hier haben wir aber eine Lösung und können deshalb nun
- den Schnittpunkt bestimmen. Dazu setzen wir entweder R in unsere Gerade G ein oder S in unsere Gerade H. Das ergibt dann den Schnittpunkt 5-51.
- Der letzte Fall, also wenn schief sind geraten, wenn die Richtungsvektoren keine Vielfache voneinander sind und das aufgestellte lineare Gleichungssystem
- keine Lösung hat, dann sind die Geraden nämlich nicht parallel und schneiden sich nicht. Sie müssen dann also windchief sein.
- Wir fassen zusammen. Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, wie geraden liegen können. Als erstes überprüfst du immer, ob die
- Richtungsvektoren vielfacher voneinander sind, ob sie also in dieselbe Richtung zeigen. Haben die Geraden dann noch einen gemeinsamen Punkt, sind sie
- automatisch dieselben Geraden. Ist der Richtungsveektor ein Vielfaches und die Gerade besitzt keinen gemeinsamen Punkt, dann sind sie
- parallel. Wenn der Richtungsvektor kein Vielfaches ist, gibt es auch zwei Möglichkeiten. Wenn das LGS, das man dann aufstellen
- muss, um zu überprüfen, ob sie sich schneiden, eine Lösung hat, besitzen die Geraden einen Schnittpunkt. Den erhältst du dann eben durch Lösen des LGS.
- Wenn das LGS keine Lösung hat, dann sind die Geraden win schief. Das war's auch schon mit unserem Video. Wir hoffen, du hast alles verstanden.
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- เฮ [Musik]