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z-Wert, z-Standardisierung (z-Transformation), Standardnormalverteilung, z-Wert Tabelle
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 79 Zeilen
- Hi, in diesem Video besprechen wir, was der Z-Wert ist, wie die Z-Standardisierung bzw. die Z-Transformation funktioniert und was
- die Standard Normalverteilung ist. Außerdem zeige ich dir, was die Z-Werttabelle ist und wofür du sie brauchst. Zum besseren Verständnis gehen
- wir die einzelnen Punkte anhand eines einfachen Beispiels durch. Und damit starten wir gleich mit dem Beispiel. Angenommen, du bist Arzt oder Ärztin und
- möchtest den Blutdruck deiner Patienten untersuchen. Um den Blutdruck zu untersuchen, hast du bei einer Stichprobe von 40 Patienten den
- Blutdruck gemessen. Der Blutdruck wird in Millimeter HG gemessen. Da die Einheit ein wenig holbrig ist und eigentlich nicht zur Sache beiträgt,
- werden wir sie in Zukunft meistens weglassen. Von den gemessenen Daten kannst du nun natürlich den Mittelwert berechnen, also den Wert, den im Mittel
- die 40 Patienten haben. Einige Patienten werden einen niedrigeren Wert als der Mittelwert haben, andere einen höheren. Nun fragt dich einer der Patienten, wie
- hoch sein Blutdruck im Vergleich zu den anderen Patienten ist. Du sagst ihm, dass sein Blutdruck 10 mm HG über dem Durchschnitt liegt. Hm, jetzt ist
- natürlich die Frage, ob 10 viel oder wenig ist. Wenn die anderen Patienten sehr eng um den Mittelwert streuen, dann ist Z viel im Verhältnis zur Streuung.
- Aber wenn die anderen Patienten sehr stark um den Mittelwert streuen, dann ist ze nicht so viel. Wie stark die Daten streuen, sagt uns die
- Standardabweichung. Wenn die Daten nahe am Mittelwert liegen, haben wir eine kleine Standardabweichung. Wenn sie stark streuen, haben wir eine große
- Standardabweichung. Sagen wir, für unsere Daten erhalten wir eine Standardabweichung von 20. Das heißt, dass im quadratischen Mittel die
- Patienten um 20 vom Mittelwert abweichen. Der Z-Wert sagt uns nun, wie weit eine Person in Einheiten der Standardabweichung vom Mittelwert
- entfernt ist. Also eine Person, die um eine Standardabweichung abweicht, hat eine Z-Wert von 1. Eine Person, die zweimal so weit vom Mittelwert abweicht
- wie der Durchschnitt, hat einen Z-Wert von 2 und eine, die um drei Standardabweichung abweicht hat einen Z-Wert von 3. Entsprechend hat eine
- Person, die um eine Standardabweichung abweicht, einen Zwert von -1, eine Person, die um -2 Standardabweichung abweicht, einen Z-Wert von -2 und eine
- Person, die um -3 Standardabweichungen abweicht, einen Z-Wert von -3. Und wenn der Blutdruck von einer Person genau der Mittelwert ist, dann weicht sie
- natürlich um null Standardabweichungen von den Mittelwert ab und erhält den Wert 0. Der Z-Wert gibt also an, wie viele Standardabweichungen ein Messwert
- vom Mittelwert entfernt ist. Wie bereits erwähnt, ist die Standardabweichung lediglich ein Maß für die Streuung des Blutdrucks der Patienten um den
- Mittelwert. Kurz gesagt, der Z-Wert hüfte uns zu verstehen, wie außergewöhnlich oder normal eine bestimmte Messung im Vergleich zum
- Gesamtdurchschnitt ist. Aber wie berechnen wir den Z-Wert? Keine Angst, das ist einfach. Wir wollen ja nun irgendwie die Ausgangsdaten, in unserem
- Fall den Blutdruck in Z-Werte umrechnen, also eine Z-Standardisierung bzw. Z-transformation durchführen. Die Formel für die Z-Standardisierung sehen wir
- hier. Hierbei ist Z natürlich der Z-Wert, den wir berechnen möchten. X ist der beobachtete Wert, in unserem Fall der Blutdruck der jeweiligen Person. My
- der Mittelwert der Stichprobe, also in unserem Fall der Mittelwert aller 40 Patienten und Sigma ist die Standardabweichung der Stichprobe, also
- die Standardabweichung von unseren 40 Patienten. Achtung, eigentlich steht my und Sigma für den Mittelwert und die Standardabweichung der Grundgesamtheit.
- In unserem Fall haben wir aber nur eine Stichprobe. Wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind, auf die wir später noch eingehen, können wir aber den Mittelwert
- und die Standardabweichung mit Hilfe der Stichprobe schätzen. Sagen wir, in unserem Beispiel haben die 40 Patienten einen Mittelwert von 130 und eine
- Standardabweichung von 20. Wenn wir beide Werte einsetzen, erhalten wir für z X - 130 durch 20. Nun können wir den Blutdruck von jedem einzelnen Patienten
- für X einsetzen und uns den Z-Wert berechnen. Machen wir das einfach mal für die ersten beiden Patienten. Sagen wir, dieser Patient hat einen Blutdruck
- von 97. Dann setzen wir einfach 97 für x ein und erhalten damit einen Z-Wert von -1,65. Also diese Person weicht vom Mittelwert
- um -1,65 Standardabweichungen ab. Die nächste Person hat einen Blutdruck von 108. Wenn wir diesen Wert wieder für x einsetzen, erhalten wir einen Z-Wert von
- -1,1. Das können wir nun auch für alle anderen Patienten machen. Egal, welche Einheit die Ausgangsdaten haben, wir haben nun
- eine Übersicht, in der wir sehen können, wie weit eine Person in Einheiten der Standardabweichung vom Mittelwert abweicht. Jetzt haben wir hier natürlich
- nur eine Stichprobe, die aus einer gewissen Grundgesamtheit stammt. Wenn die Daten jedoch normal verteilt sind und die Stichprobe größer als 30 ist,
- können wir mit Hilfe des Z-Wertes sagen, wie viel Prozent der Patienten einen niedrigeren Blutdruck als z.B. 110 haben und wie viel einen höheren Blutdruck als
- z.B. 110 haben. Aber wie geht das? Wenn die Ausgangsdaten normal verteilt sind, dann erhalten wir durch die Z-Standardisierung eine sogenannte
- Standardnmalverteilung. Die Standardnmalverteilung ist eine bestimmte Art der Normalverteilung, die einen Mittelwert von 0 und eine
- Standardabweichung von 1 hat. Das Besondere ist, dass jede Normalverteilung unabhängig von ihrem Mittelwert oder ihrer Standardabweichung
- in eine Standardnormalverteilung umgewandelt werden kann. Dadurch, dass es nun eine standardisierte Verteilung gibt,
- brauchen wir eigentlich nur eine Tabelle, die uns für möglichst viele Z-Werte sagt, wie viel Prozent der Werte unter diesem Wert liegen. Und eine
- solche Tabelle findest du in fast jedem Statistikbuch oder auf datatab.de. Den Link zu dieser Tabelle findest du in der Videobeschreibung.
- Jetzt ist natürlich die Frage, wie man diese Tabelle liest. Damit wir die Werte besser erkennen können, betrachten wir erstmal nur einen Ausschnitt von dieser
- Tabelle und schauen uns erstmal nur die ersten beiden Spalten an. Wenn wir z.B. einen Z-Wert von -2 haben, dann können wir aus der Tabelle einen Wert von
- 0,0228 ablesen. Das heißt, dass 2,28% der Werte kleiner als ein Z-Wert von -2 sind. Da wir insgesamt immer 100% bzw. 1 haben,
- sind 97,72% der Werte größer. Wenn wir z.B. einen Zwert von -1,5 haben, können wir in der Tabelle eine Fläche von 0,0668
- ablesen. Also 6,68% der Werte sind kleiner als ein Z-Wert von -1,5 und 93,32 der Werte sind größer. Und bei einem Z-Wert von 0 sind wir genau in der
- Mitte und erhalten einen Wert von 0,5. Also 50% der Werte sind kleiner als ein Z-Wert von 0 und 50% der Werte sind größer. Da die Normalverteilung
- symmetrisch ist, können wir genauso die Wahrscheinlichkeiten für positive Z-Werte ablesen. Wenn wir einen Z-Wert von 1 haben, brauchen wir nur bei -1
- nachschauen. Wir müssen aber beachten, dass wir in diesem Fall einen Wert erhalten, der uns sagt, wie viel Prozent der Werte größer als der Z-Wert sind.
- Bei einem Z-Wert von 1 sind also 15,81% der Werte größer und 84,14% der Werte sind kleiner. Was ist nun aber, wenn wir einen Z-Wert von -1,81
- in der Tabelle ablesen möchten? Hierfür brauchen wir nun die anderen Spalten. Ein Z-Wert von -1,81 können wir z.B. bei -1,8 und bei 0,01
- ablesen. Ein Set-Wert von -1,82 können wir bei -1,8 und 0,02 ablesen, bis schließlich einen Zwert von -1,89 bei -1,8 und 0,09.
- Also und nun schauen wir uns das alles noch einmal für einen Blutdruckwert an. Wenn wir z.B. wir wissen wollen, wie viel Prozent der Patienten einen
- Blutdruck unter 123 haben, können wir mit Hilfe der Z-Standardisierung den Blutdruck von 123 in einen Z-Wert umrechnen. In diesem Fall erhalten wir
- einen Z-Wert von -0,35. Nun können wir wieder die Tabelle mit den Z-Verteilungen hernehmen und bei einem Z-Wert von -0,35 nachschauen. Hier
- ergibt sich ein Wert von 0,3632. Also 36,32 % der Werte sind kleiner als ein Z-Wert von -0,35 und 36,68% sind größer. Jetzt habe ich euch aber
- einen wichtigen Anwendungsbereich der Z-Standardisierung vorenthalten. Die Z-Standardisierung kann helfen, auf unterschiedliche Weise gemessene Werte
- vergleichbar zu machen. Hier ein Beispiel. Nehmen wir an, wir haben zwei Klassen, Klasse A und Klasse B, die einen unterschiedlichen Test in Mathe
- geschrieben haben. Die Tests sind unterschiedlich gestaltet, haben einen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad sowie eine unterschiedliche maximale
- Punktezahl. Um die Leistung der Schüler beider Klassen fair vergleichen zu können, können wir die Z-Standardisierung verwenden. Die
- durchschnittliche Punktzahl bzw. Der Mittelwert in der Klasse A betrug 70 Punkte mit einer Standardabweichung von 10 Punkten. Die durchschnittliche
- Punktzahl für den Test der Klasse B betrug 140 Punkte mit einer Standardabweichung von 20 Punkten. Nun wollen wir die Leistung von Max aus
- Klasse A, der 80 Punkte erreicht hat, mit der Leistung von Emma aus Klasse B, die 160 Punkte erreicht hat, vergleichen. Hierfür berechnen wir uns
- einfach den Z-Wert von Max und Emma. Wir tragen für x einmal 80 ein und erhalten einen Z-Wert von 1 und wir tragen 160 für x ein und erhalten auch einen Z-Wert
- von 1. Die Z-Werte von Max und Emma sind also genau gleich. Das bedeutet, dass beide Schüler relativ zu der durchschnittlichen Leistung und der
- Streuung in ihrer jeweiligen Klasse gleich gut abgeschnitten haben. Beide lagen genau eine Standardabweichung über dem Durchschnitt ihrer Klasse. Aber wie
- sieht es eigentlich mit den Voraussetzungen aus? können wir einfach die Z-Sstandardisierung berechnen und die Tabelle mit der
- Standardnmalverteilung verwenden. Die Z-Sstandardisierung an sich, also die Umwandlung von Daten in Z-Werte mittels dieser Formel hat im Wesentlichen keine
- strenge Voraussetzung. Diese Prozedur kann unabhängig von der Verteilung der Daten durchgeführt werden. Allerdings, wenn die resultierenden Z-Werte im
- Kontext der Standardnmalverteilung für statistische Analysen verwendet werden, z.B. für Hypothesentests oder Konfidenzintervalle, da müssen bestimmte
- Voraussetzungen erfüllt sein. Die Z-Verteilung setzt voraus, dass die zugrunde liegende Grundgesamtheit normal verteilt ist und dass der Mittelwert my
- und die Standardabweichung Sigma der Grundgesamtheit bekannt ist. Da man aber in der Praxis eigentlich nie die gesamte Grundgesamtheit hat und auch der
- Mittelwert und die Standardabweichung meistens nicht bekannt ist, ist diese Voraussetzung natürlich oft nicht erfüllt. Aber zum Glück gibt es noch
- eine alternative Voraussetzung. Obwohl die Z-Verteilung für normal verteilte Grundgesamtheiten definiert ist, kann der zentrale Grenzwertsatz für große
- Stichproben angewendet werden. Dieser Satz besagt, dass sich die Verteilung einer Normalverteilung annährt, wenn die Stichprobengröße größer als 30 ist.
- Daher, wenn deine Stichprobe größer als 30 ist, kannst du die Standardnmalverteilung als Annäherung verwenden und der Mittelwert und die
- Standardabweichung kann mit Hilfe der Stichprobe geschätzt werden. Wenn die Standardabweichung mit Hilfe der Stichprobe geschätzt wird, schreibt man
- üblicherweise S an Stelle von Sigma und für den Mittelwert X an Stelle von M. Jetzt darf man die Z-Standardisierung aber nicht mit dem Z-Test bzw. mit dem
- T-Test verwechseln. Wenn du wissen möchtest, was der Tetest ist, schau dir hierfür gerne mein nächstes Video an. Ciao und bis zum nächsten Mal.