Arithmetische Folgen erkennen und berechnen
Bei einer arithmetischen Folge kommt immer dieselbe Zahl dazu. Du lernst, sie zu erkennen, jedes Glied direkt zu berechnen und die Glieder zu addieren.
Kurz gesagt
Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz benachbarter Glieder immer gleich ist: a_{n+1} - a_n = d. Jedes Glied berechnest du direkt mit a_n = a_1 + (n-1) \cdot d, die Summe der ersten n Glieder mit s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n).
Du hast 20 € gespart und legst jede Woche 5 € dazu: 20 €, 25 €, 30 €, 35 € … Jedes Mal kommt derselbe Betrag hinzu. Solche Zahlenfolgen heißen arithmetisch. Hier lernst du, sie an der konstanten Differenz zu erkennen, jedes Glied direkt zu berechnen, fehlende Angaben zu bestimmen und die ersten Glieder schnell zu addieren.
Deine Lernziele
Untersuche die Abstände zwischen benachbarten Gliedern. Sind alle Differenzen gleich, ist die Folge arithmetisch. Das Anfangsglied a_1 und die Differenz d legen die ganze Folge fest. Am Vorzeichen von d siehst du ihr Verhalten: Für d > 0 steigt die Folge, für d < 0 fällt sie, für d = 0 ist sie konstant. Übrigens: Die Folge 2, 6, 12, 20, … ist nicht arithmetisch. Ihre Differenzen 4, 6, 8, … bilden aber selbst eine arithmetische Folge mit d = 2. Man nennt eine solche Folge deshalb eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.
Arithmetische Folge
Eine Zahlenfolge (a_n) heißt arithmetisch, wenn für alle benachbarten Glieder dieselbe Differenz d gilt: a_{n+1} - a_n = d.
Beispiel: Ist 3, 7, 11, 15, … arithmetisch?
- 1Differenzen: 7 − 3 = 4, 11 − 7 = 4, 15 − 11 = 4
- 2Alle Differenzen sind gleich. Die Folge ist arithmetisch mit a_1 = 3 und d = 4.
- 3Gegenbeispiel: 1, 5, 25, 125, … hat die Differenzen 4, 20, 100, … Sie ist nicht arithmetisch.
Merke: Gleicher Betrag reicht nicht: Bei 1, −1, 1, −1, … wechseln die Differenzen zwischen −2 und 2. Die Folge ist nicht arithmetisch. Es zählt die Differenz mit Vorzeichen.
Teste dich
Du kannst eine arithmetische Folge auf zwei Arten beschreiben. Die rekursive Vorschrift a_{n+1} = a_n + d berechnet ein Glied aus seinem Vorgänger. Die explizite Vorschrift a_n = a_1 + (n-1) \cdot d führt direkt zum gesuchten Glied. Warum n - 1? Vom ersten bis zum n-ten Glied gehst du genau n - 1 Schritte. Beginnt die Nummerierung ausnahmsweise bei a_0, lautet die Vorschrift a_n = a_0 + n \cdot d. Prüfe deshalb immer, mit welchem Index die Folge startet.
Beispiel: Das 27. Glied von 3, 7, 11, … berechnen
- 1Gegeben: a_1 = 3 und d = 4
- 2Von a_1 bis a_{27} sind es 26 Schritte.
- 3a_{27} = 3 + 26 \cdot 4 = 107
- 4Die 26 Glieder davor musst du nicht aufschreiben.
Merke: Explizit rechnest du a_n = a_1 + (n-1) \cdot d. Du machst n - 1 Schritte, nicht n.
Teste dich
Kennst du zwei Glieder a_i und a_j, verteilst du ihre Wertänderung auf die Schritte dazwischen: d = \frac{a_j - a_i}{j - i}. Danach gehst du vom bekannten Glied zum Anfang zurück: a_1 = a_i - (i-1) \cdot d. Nützlich ist auch: Jedes innere Glied ist das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarn, a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}. Das gilt nur für Glieder, die zwei Nachbarn haben. So findest du zum Beispiel x in 7, x, 15: x = \frac{7 + 15}{2} = 11.
Beispiel: Folge aus zwei Gliedern bestimmen
- 1Gegeben: a_3 = -3 und a_8 = 22
- 2Von a_3 bis a_8 sind es 8 − 3 = 5 Schritte. Der Wert wächst um 22 − (−3) = 25.
- 3d = \frac{25}{5} = 5
- 4a_1 = -3 - 2 \cdot 5 = -13
- 5Probe: a_8 = -13 + 7 \cdot 5 = 22
Merke: Teile die Wertänderung durch die Anzahl der Schritte, nicht durch die Anzahl der Glieder. Zwischen a_3 und a_8 liegen 8 − 3 = 5 Schritte.
Teste dich
Die Summe der ersten n Glieder heißt Partialsumme: s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n. Bei einer arithmetischen Folge ergeben das erste und das letzte Glied dieselbe Summe wie das zweite und das vorletzte. Dieses Paarungsprinzip führt zu s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n). Setzt du a_n = a_1 + (n-1) \cdot d ein, erhältst du auch s_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d).
Beispiel: Summe der ersten zehn Glieder
- 1Gegeben: a_1 = 1, d = 23 und n = 10
- 2Letztes Glied: a_{10} = 1 + 9 \cdot 23 = 208
- 3Summe: s_{10} = \frac{10}{2} \cdot (1 + 208) = 5 \cdot 209 = 1045
- 4Die ersten zehn Glieder ergeben zusammen 1045.
Merke: Verwechsle a_n und s_n nicht: a_n ist ein einzelnes Glied, s_n die Summe vom ersten bis zum n-ten Glied.
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Alles auf einen Blick
Arithmetische Folge
konstante Differenz d benachbarter Glieder
a_{n+1} = a_n + d
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
Wertänderung durch Anzahl der Schritte
s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
steigend für d > 0, fallend für d < 0
Plätze im Kinosaal
- 1Reihe 1 hat 12 Plätze, jede weitere Reihe 2 Plätze mehr. Wie viele Plätze hat Reihe 15, wie viele alle 15 Reihen?
- 2Arithmetische Folge mit a_1 = 12 und d = 2
- 3Reihe 15: a_{15} = 12 + 14 \cdot 2 = 40
- 4Alle Reihen: s_{15} = \frac{15}{2} \cdot (12 + 40) = 7{,}5 \cdot 52 = 390
- 5Reihe 15 hat 40 Plätze, im ganzen Saal gibt es 390 Plätze.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Vom 1. bis zum 20. Glied sind es nur 19 Schritte: a_{20} = 4 + 19 \cdot 3 = 61.
Lückentext
Bei einer arithmetischen Folge ist benachbarter Glieder konstant. Vom 1. bis zum 10. Glied sind es Schritte. Die Summe der ersten n Glieder heißt .