Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette erklärt
Ein Bernoulli-Experiment kennt nur Treffer oder Nichttreffer. Du lernst, Bernoulli-Ketten zu erkennen und genau k Treffer zu berechnen.
Kurz gesagt
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen: Treffer mit Wahrscheinlichkeit p und Nichttreffer mit q=1-p. Wiederholst du es n-mal unabhängig mit gleichem p, entsteht eine Bernoulli-Kette. Für genau k Treffer gilt die Bernoulli-Formel P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei relevante Ausgänge: Treffer oder Nichttreffer. Wiederholst du es unabhängig mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit, entsteht eine Bernoulli-Kette. Für die Anzahl der Treffer kannst du dann die Bernoulli-Formel verwenden.
Deine Lernziele
Stell dir einen Würfelwurf vor. Notierst du die Augenzahl, gibt es sechs mögliche Ergebnisse. Fragst du nur „6 oder keine 6?“, bleiben genau zwei Ausgänge. Die Wahrscheinlichkeiten heißen p=P(\text{Treffer}) und q=P(\text{Nichttreffer})=1-p. Mit „6“ als Treffer ist p=\frac{1}{6} und q=\frac{5}{6}. Die beiden Ausgänge müssen nicht gleich wahrscheinlich sein: Fällt bei einer gezinkten Münze mit Wahrscheinlichkeit 0{,}7 Kopf, ist das mit Kopf als Treffer ein Bernoulli-Experiment mit p=0{,}7 und q=0{,}3. Mehrere Wiederholungen bilden aber nicht automatisch eine Bernoulli-Kette. Du prüfst vier Punkte: Jeder Versuch hat nur Treffer oder Nichttreffer. Die Anzahl n der Versuche steht fest. Die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt gleich. Die Versuche beeinflussen einander nicht. Ziehst du ohne Zurücklegen, ändert sich die Urne und damit meist auch p. Dann liegt keine Bernoulli-Kette vor.
Bernoulli-Experiment
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei relevanten Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment. Einen Ausgang legst du als Treffer fest, den anderen als Nichttreffer oder Niete.
Bernoulli-Kette
Eine Bernoulli-Kette der Länge n besteht aus n unabhängigen Wiederholungen desselben Bernoulli-Experiments. Die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt bei jeder Wiederholung gleich.
Beispiel: Urne mit Zurücklegen
- 18 schwarze und 17 rote Kugeln, fünfmal ziehen mit Zurücklegen
- 2Treffer: schwarz
- 3p=\frac{8}{25}=0{,}32 bei jeder Ziehung
- 4Die Urne bleibt gleich, die Ziehungen sind unabhängig.
- 5Also: Bernoulli-Kette der Länge n=5
Teste dich
Bei einer Bernoulli-Kette interessiert oft nicht die genaue Reihenfolge, sondern die Gesamtzahl der Treffer. Dafür brauchst du fünf Zeichen: n ist die Anzahl der Versuche, p die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch, q=1-p die Nichttrefferwahrscheinlichkeit pro Versuch, k die betrachtete Trefferzahl und X die zufällige Anzahl aller Treffer. Lege immer zuerst fest, was als Treffer zählt, und berechne dann q=1-p.
Zufallsvariable X
Die Zufallsvariable X zählt die Treffer in der gesamten Bernoulli-Kette. Ihre möglichen Werte sind 0, 1, 2, \ldots, n.
Beispiel: Vier Münzwürfe, genau zweimal Kopf
- 1Treffer: Kopf
- 2n=4, p=0{,}5, q=0{,}5, k=2
- 3X zählt, wie oft Kopf fällt.
- 4Gesucht ist P(X=2).
Teste dich
Das feste Muster Kopf–Zahl–Zahl–Kopf ist nur eine mögliche Reihenfolge mit zwei Treffern. Bei vier Würfen gibt es weitere passende Muster, etwa Kopf–Kopf–Zahl–Zahl. Für ein bestimmtes Muster mit k Treffern und n-k Nichttreffern multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses einen Pfades: p^k q^{n-k}. Sind nur „genau k Treffer“ verlangt, dürfen die Treffer an beliebigen Stellen liegen. Die Anzahl der passenden Anordnungen ist der Binomialkoeffizient \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} mit n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1.
Merke: Festes Muster: ein Pfad, also p^k q^{n-k}. Genau k Treffer in beliebiger Reihenfolge: alle passenden Pfade, also zusätzlich mit \binom{n}{k} multiplizieren.
Beispiel: Ein Muster und alle Muster bei vier Münzwürfen
- 1Muster Kopf–Zahl–Zahl–Kopf: 0{,}5^2\cdot 0{,}5^2=0{,}5^4=0{,}0625
- 2Passende Muster für genau zweimal Kopf: \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=6
- 3Jedes Muster hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.
- 4Genau zweimal Kopf ist also sechsmal so wahrscheinlich wie ein einzelnes Muster.
Teste dich
Für eine Bernoulli-Kette gilt die Bernoulli-Formel: P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} Die drei Faktoren haben klare Aufgaben: \binom{n}{k} zählt die passenden Anordnungen, p^k beschreibt die k Treffer und (1-p)^{n-k}=q^{n-k} die übrigen Nichttreffer. Prüfe dein Ergebnis: Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1, und X ist nie kleiner als 0 oder größer als n. Die Wahrscheinlichkeiten P(X=0), P(X=1), \ldots, P(X=n) bilden zusammen die Binomialverteilung, ihre Summe ist 1. Für „höchstens“ oder „mindestens“ addierst du mehrere dieser Werte.
Beispiel: Genau zweimal Kopf bei vier fairen Münzwürfen
- 1Größen: n=4, p=0{,}5, q=0{,}5, k=2
- 2Einsetzen: P(X=2)=\binom{4}{2}\cdot 0{,}5^2\cdot 0{,}5^2
- 3Berechnen: P(X=2)=6\cdot 0{,}0625=0{,}375
- 4Deuten: Genau zweimal Kopf fällt mit 37,5 % Wahrscheinlichkeit.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette
genau zwei Ausgänge, Treffer mit p, Nichttreffer mit q=1-p
feste Länge n, unabhängige Versuche, gleiches p
ein Pfad mit p^k q^{n-k}
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}
mit Zurücklegen meist geeignet, ohne Zurücklegen meist nicht
Raten im Multiple-Choice-Test: genau 2 von 5 richtig
- 15 Fragen, je 4 Antworten, eine davon richtig. Du rätst jede Frage unabhängig.
- 2Treffer: richtig geraten. n=5, p=0{,}25, q=0{,}75, k=2
- 3P(X=2)=\binom{5}{2}\cdot 0{,}25^2\cdot 0{,}75^3
- 4P(X=2)=10\cdot 0{,}0625\cdot 0{,}421875\approx 0{,}2637
- 5Mit etwa 26,4 % Wahrscheinlichkeit rätst du genau 2 Fragen richtig.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2In der zweiten Zeile fehlt \binom{4}{3}=4: 0{,}8^3\cdot 0{,}2 ist nur ein Muster. Richtig ist P(X=3)=\binom{4}{3}\cdot 0{,}8^3\cdot 0{,}2=4\cdot 0{,}1024=0{,}4096.
Lückentext
Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit . Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist sie gewöhnlich . Eine Bernoulli-Kette besteht aus Wiederholungen.