Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen lösen
Extremwertaufgaben fragen nach dem Besten: der größten Fläche, dem kleinsten Material. Du lernst, sie zu modellieren, zu lösen und zu prüfen.
Kurz gesagt
Bei einer Extremwertaufgabe suchst du den größten oder kleinsten Wert einer Größe unter einer Nebenbedingung. Du setzt die Nebenbedingung in die Formel der Zielgröße ein und erhältst eine Zielfunktion mit einer Variablen. Dann löst du f'(x) = 0, prüfst die Art des Extremums und vergleichst mit den Randwerten.
Bei einer Extremwertaufgabe suchst du den größten oder kleinsten möglichen Wert einer Größe – zum Beispiel die größte Fläche bei einer festen Zaunlänge. Der Schlüssel ist, den Sachverhalt zuerst in eine Funktion mit nur einer Variablen zu übersetzen. Danach bestimmst und prüfst du das Extremum.
Deine Lernziele
Beginne nicht sofort mit dem Ableiten. Frag dich zuerst: Welche Größe soll möglichst groß oder möglichst klein werden? Diese Größe heißt Zielgröße. Ihre Formel nennt man oft Hauptbedingung. Für die Fläche eines Rechtecks ist das A = a \cdot b. Eine Nebenbedingung beschreibt, welche Werte überhaupt möglich sind. Soll ein Rechteck vollständig mit 40 m Zaun eingefasst werden, gilt 2a + 2b = 40.
Nebenbedingung
Eine Nebenbedingung ist eine vorgegebene Beziehung zwischen den Variablen. Sie schränkt die möglichen Lösungen ein.
Merke: Die Zielgröße sagt, was optimiert wird. Die Nebenbedingung sagt, unter welchen Bedingungen das geschieht.
Teste dich
Zum Ableiten brauchst du eine Funktion mit nur einer Variablen. Löse deshalb die Nebenbedingung nach einer Variablen auf und setze das Ergebnis in die Formel der Zielgröße ein. Auch der Definitionsbereich gehört zum Modell: Seitenlängen dürfen nicht negativ sein. An den Grenzen a = 0 und a = 20 schrumpft das Rechteck zu einer Strecke zusammen.
Zielfunktion
Die Zielfunktion beschreibt die zu optimierende Größe in Abhängigkeit von nur einer Variablen. Sie entsteht durch das Einsetzen der Nebenbedingung in die Formel der Zielgröße.
Beispiel: Zielfunktion für das Rechteck mit 40 m Zaun
- 1Nebenbedingung: 2a + 2b = 40
- 2Durch 2 teilen und nach b auflösen: b = 20 - a
- 3Einsetzen in A = a \cdot b: A(a) = a(20 - a) = -a^2 + 20a
- 4Definitionsbereich: 0 \leq a \leq 20
Teste dich
Jetzt lösen wir die Rechteckaufgabe Schritt für Schritt. Die Gleichung A'(a) = 0 liefert zunächst nur einen Kandidaten. Erst die zweite Ableitung, ein Vorzeichenwechsel von A' oder ein anderer Nachweis zeigt, ob dort wirklich ein Maximum oder Minimum liegt.
Beispiel: Größte Rechteckfläche mit 40 m Zaun
- 1Zielfunktion: A(a) = -a^2 + 20a
- 2Ableitung: A'(a) = -2a + 20
- 3Kandidat: -2a + 20 = 0, also a = 10
- 4Art: A''(a) = -2, also A''(10) < 0: lokales Maximum
- 5Zweite Seite: b = 20 - 10 = 10
- 6Zielwert: A = 10 \cdot 10 = 100
- 7Das beste Rechteck ist ein Quadrat mit 10 m Seitenlänge und 100 m² Fläche.
Teste dich
Ein lokales Maximum ist nicht automatisch der größte Wert im ganzen zulässigen Bereich. Für ein globales Maximum vergleichst du alle inneren Kandidaten mit den Randwerten. Im Rechteckbeispiel ist der Bereich 0 \leq a \leq 20. Die Tabelle zeigt: 100 m² ist auch der größte Wert im ganzen Bereich. Prüfe am Ende immer drei Fragen: Liegt der gefundene Wert im Definitionsbereich? Sind alle Längen, Flächen oder Volumina sachlich möglich? Beantwortet das Ergebnis wirklich die Ausgangsfrage, mit der passenden Einheit?
| Stelle | Fläche | Bedeutung |
|---|---|---|
| a = 0 | 0 m² | Rand: das Rechteck ist nur eine Strecke |
| a = 10 | 100 m² | innerer Kandidat: Maximum |
| a = 20 | 0 m² | Rand: das Rechteck ist nur eine Strecke |
Merke: Eine vollständige Lösung endet nicht bei f'(x) = 0. Sie prüft die Art des Extremums, die Randwerte, die Zulässigkeit und die Bedeutung des Ergebnisses.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Extremwertaufgaben
erkennen, was möglichst groß oder klein werden soll
die Einschränkung aus dem Sachtext als Gleichung
Nebenbedingung einsetzen, nur noch eine Variable
f'(x) = 0 lösen und die Art mit f'' prüfen
mit den inneren Kandidaten vergleichen
im Sachkontext deuten, mit Einheit
Grundstück am Fluss: 48 m Zaun, größte Fläche
- 1Zielgröße: A = x \cdot y mit Breite x und Länge y
- 2Nebenbedingung: 2x + y = 48, also y = 48 - 2x
- 3Zielfunktion: A(x) = x(48 - 2x) = 48x - 2x^2 mit 0 \leq x \leq 24
- 4Ableitung: A'(x) = 48 - 4x
- 5Kandidat: 48 - 4x = 0, also x = 12
- 6Art: A''(x) = -4 < 0, also ein Maximum
- 7Länge: y = 48 - 2 \cdot 12 = 24
- 8Fläche: A = 12 \cdot 24 = 288, an den Rändern x = 0 und x = 24 ist sie 0
- 9Ergebnis: 12 m breit, 24 m lang, 288 m² Fläche
Fehler finden
Fehler in Zeile 2An der Mauer braucht die Länge y keinen Zaun. Richtig ist 2x + y = 60, also y = 60 - 2x und A(x) = 60x - 2x^2. Dann folgt x = 15 m, y = 30 m und eine Fläche von 450 m².
Lückentext
Die Größe, die optimiert werden soll, heißt . Setzt du die Nebenbedingung ein, hängt die Zielfunktion nur noch von ab. Für ein globales Maximum vergleichst du die inneren Kandidaten auch mit den .