Kugelgleichung: Mittelpunkt, Radius und Schnitte
Eine Kugelgleichung beschreibt alle Punkte mit gleichem Abstand zu einem Mittelpunkt. Du lernst, sie aufzustellen, zu deuten und umzuformen.
Kurz gesagt
Eine Kugelgleichung beschreibt alle Punkte, die vom Mittelpunkt M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) den Abstand r haben: (x-m_1)^2 + (y-m_2)^2 + (z-m_3)^2 = r^2. Aus (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25 liest du M(1 \mid -2 \mid 3) und r = 5 ab.
Eine Kugelgleichung beschreibt alle Punkte im Raum, die von einem festen Mittelpunkt denselben Abstand haben. In der Mittelpunktform erkennst du Mittelpunkt und Radius direkt; bei einer ausmultiplizierten Gleichung stellst du diese Form durch quadratische Ergänzung wieder her.
Deine Lernziele
Stell dir einen Punkt M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) im Raum vor. Alle Punkte P(x \mid y \mid z), die von M genau den Abstand r haben, bilden die Kugeloberfläche. Der Vektor von M zu P hat die Komponenten x - m_1, y - m_2 und z - m_3. Nach der Abstandsformel ist die Summe ihrer Quadrate der quadrierte Abstand, und auf der Kugel ist dieser Abstand r. Deshalb steht rechts r^2. Beim Ablesen hat jede Mittelpunktkoordinate das Gegenzeichen der Zahl in der Klammer. Beim Aufstellen setzt du die Koordinaten mit Gegenzeichen ein und quadrierst den Radius. Achtung: Steht rechts 49, ist r = 7, nicht 49.
Mittelpunktform
Die Mittelpunktform einer Kugelgleichung lautet (x-m_1)^2 + (y-m_2)^2 + (z-m_3)^2 = r^2. Sie beschreibt die Kugeloberfläche, nicht den ausgefüllten Kugelkörper.
Beispiel: Ablesen aus (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25
- 1(x-1)^2: m_1 = 1
- 2(y+2)^2 = (y-(-2))^2: m_2 = -2
- 3(z-3)^2: m_3 = 3
- 4r^2 = 25, also r = 5 und M(1 \mid -2 \mid 3)
Beispiel: Aufstellen für M(-2 \mid 3 \mid 1) und r = 4
- 1(x-(-2))^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 = 4^2
- 2(x+2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 = 16
Teste dich
Setze die Koordinaten des Punktes in die linke Seite der Mittelpunktform ein. So erhältst du den quadrierten Abstand d^2 zum Mittelpunkt und vergleichst ihn mit r^2. Bei d^2 = r^2 liegt der Punkt auf der Kugel, bei d^2 < r^2 innerhalb und bei d^2 > r^2 außerhalb. Eine Wurzel musst du nicht ziehen, der Vergleich der Quadrate reicht.
Beispiel: Lage von P(4 \mid 2 \mid 3) zu K: (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25
- 1(4-1)^2 + (2+2)^2 + (3-3)^2 = 9 + 16 + 0 = 25
- 2Der Wert ist gleich r^2 = 25: P liegt auf der Kugel.
Teste dich
Eine Gerade enthält einen Parameter, zum Beispiel t. Setze ihre Koordinatenterme für x, y und z in die Kugelgleichung ein und löse nach t. Die Anzahl der reellen Lösungen zeigt die Lage: Zwei Werte heißen Sekante mit zwei Schnittpunkten. Ein Wert heißt Tangente, die die Kugel in einem Punkt berührt. Kein reeller Wert heißt Passante ohne gemeinsamen Punkt.
Beispiel: Gerade g und Kugel K: x^2 + y^2 + z^2 = 9
- 1g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, also x = t, y = 0, z = 2
- 2Einsetzen: t^2 + 0^2 + 2^2 = 9
- 3t^2 = 5, also t_1 = \sqrt{5} und t_2 = -\sqrt{5}
- 4In g einsetzen: S_1(\sqrt{5} \mid 0 \mid 2) und S_2(-\sqrt{5} \mid 0 \mid 2), g ist eine Sekante.
Merke: Die Lösungen für t sind noch nicht die Schnittpunkte. Erst das Einsetzen jedes Parameterwerts in die Gerade liefert die drei Punktkoordinaten.
Teste dich
In einer Gleichung wie x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0 siehst du Mittelpunkt und Radius nicht direkt. Mit der quadratischen Ergänzung machst du aus jedem Paar aus Quadrat und linearem Term wieder ein Binom: u^2 + pu = \left(u + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2. Du halbierst also den Koeffizienten und quadrierst die Hälfte. Die abgezogenen Quadratzahlen kommen auf die rechte Seite, sonst stimmt die Gleichung nicht mehr. Rechts muss dann r^2 stehen. Ist der Wert positiv, erhältst du eine Kugel. Bei 0 bleibt nur der Mittelpunkt, bei einem negativen Wert gibt es keine reellen Punkte.
Beispiel: Aus x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 11 = 0
- 1(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + (z^2 - 2z) = 11
- 2x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4
- 3y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9
- 4z^2 - 2z = (z-1)^2 - 1
- 5(x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-1)^2 = 11 + 4 + 9 + 1 = 25
- 6Mittelpunkt M(2 \mid -3 \mid 1), Radius r = 5
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kugelgleichung
fester Abstand r vom Mittelpunkt
Mittelpunkt und Radius direkt ablesen
quadrierten Abstand mit r^2 vergleichen
einsetzen, Parameter lösen, Schnittpunkte bilden
quadratisch ergänzen
Vorzeichen, Radiusquadrat und Rückeinsetzen prüfen
Kugel um M(2 \mid -1 \mid 0) mit r = 3
- 1Gleichung: (x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 9
- 2P(4 \mid 1 \mid 1): (4-2)^2 + (1+1)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9, also liegt P auf der Kugel
- 3Q(2 \mid -1 \mid 2): 0^2 + 0^2 + 2^2 = 4
- 44 < 9, also liegt Q innerhalb der Kugel
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die abgezogenen Zahlen 4 und 1 müssen auf die rechte Seite: (x+2)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 4 + 4 + 1 = 9. Also ist M(-2 \mid 1 \mid 0) und r = 3.
Lückentext
Die Kugel (x+4)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 9 hat den Mittelpunkt und den Radius . Ergibt ein eingesetzter Punkt links den Wert 4, liegt er der Kugel.