Ortsvektor und Richtungsvektor einfach erklärt
Ein Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt, ein Richtungsvektor gibt eine Richtung an. Du lernst beide zu berechnen und in Geraden zu deuten.
Kurz gesagt
Ein Ortsvektor führt vom Ursprung O zu einem Punkt P und hat dieselben Zahlen wie dessen Koordinaten. Ein Richtungsvektor gibt an, in welche Richtung man sich bewegt. Den Vektor von A nach B berechnest du mit Ziel minus Start: \overrightarrow{AB} = B - A.
Ein Navi braucht zwei Dinge: wo du gerade bist und in welche Richtung es weitergeht. Genau diese beiden Aufgaben übernehmen Orts- und Richtungsvektoren. Ein Ortsvektor führt vom Ursprung zu einem Punkt. Ein Richtungsvektor beschreibt, in welche Richtung und mit welchen Koordinatenschritten man sich bewegt. Den Vektor von einem Startpunkt A zu einem Zielpunkt B berechnest du mit B - A.
Deine Lernziele
Der Ursprung heißt in der Ebene O(0 \mid 0) und im Raum O(0 \mid 0 \mid 0). Von dort führt zu jedem Punkt genau ein Ortsvektor. Für P(5 \mid 2) gilt daher \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}. Für Q(2 \mid 2 \mid 1) lautet der Ortsvektor entsprechend \overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.
Ortsvektor
Der Ortsvektor \overrightarrow{OP} beginnt im Ursprung O und endet im Punkt P. Seine Komponenten stimmen mit den Koordinaten von P überein.
Merke: Punkt und Ortsvektor enthalten dieselben Zahlen, bedeuten aber nicht dasselbe: Ein Punkt bezeichnet eine Lage, ein Vektor beschreibt den Weg vom Ursprung dorthin.
Teste dich
Willst du von einem beliebigen Punkt A zu einem Punkt B gelangen, vergleichst du ihre Ortsvektoren. Die sichere Sprechregel lautet: Ziel minus Start, gleichbedeutend mit „Spitze minus Fuß“. Prüfe deine Rechnung in drei Schritten: Markiere Start- und Zielpunkt. Rechne in jeder Komponente Ziel minus Start. Deute die Vorzeichen als Schritte entlang oder entgegen der positiven Achsenrichtung.
Verbindungsvektor
Der Verbindungsvektor \overrightarrow{AB} beginnt in A und endet in B. Du berechnest ihn komponentenweise mit \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = B - A.
Beispiel: Von A(2 \mid 2 \mid 1) nach B(3 \mid 4 \mid 0)
- 1Ziel minus Start: \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 4 - 2 \\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}
- 2Das heißt: eine Einheit in positive x_1-Richtung und zwei Einheiten in positive x_2-Richtung.
- 3Dazu eine Einheit entgegen der positiven x_3-Richtung. So erreichst du B.
Teste dich
Vertauschst du Start und Ziel, zeigt der Vektor genau entgegengesetzt. Jede Komponente wechselt ihr Vorzeichen: \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}. Zu einer Geradenrichtung gehören viele Richtungsvektoren: Jedes von null verschiedene Vielfache beschreibt dieselbe Richtung. Ein negativer Faktor kehrt dabei nur die Orientierung des Pfeils um. Der Nullvektor eignet sich nicht als Richtungsvektor, denn er besitzt keine bestimmte Richtung.
Richtungsvektor
Ein Richtungsvektor gibt eine Bewegungs- oder Geradenrichtung an. Ein Verbindungsvektor wie \overrightarrow{AB} kann als Richtungsvektor dienen. Auch jedes von null verschiedene Vielfache davon beschreibt dieselbe Geradenrichtung.
Beispiel: Von C(-2 \mid 3) nach D(5 \mid 2) und zurück
- 1\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 5 - (-2) \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}
- 2Gegenrichtung: \overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix}
- 3Parallele Richtungsvektoren: \begin{pmatrix} 14 \\ -2 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix}
Teste dich
Eine Gerade in Parameterform kann so geschrieben werden: X = \vec{p} + t \cdot \vec{r}. Der Stützvektor \vec{p} ist der Ortsvektor eines festen Geradenpunkts und legt fest, wo die Gerade liegt. Der Richtungsvektor \vec{r} gibt an, in welche Richtung sie verläuft. Der Parameter t bestimmt, wie weit und in welcher Orientierung du dich vom Stützpunkt aus bewegst. Der Richtungsvektor allein bestimmt die Lage nicht: Verschiedene parallele Geraden können denselben Richtungsvektor, aber unterschiedliche Stützvektoren haben.
Beispiel: g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}
- 1Für t = 0 erhältst du den Stützpunkt (1 \mid 4).
- 2Für t = 2: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}
- 3Also liegt auch der Punkt (7 \mid 2) auf g.
Merke: Der Stützvektor sagt, wo die Gerade liegt. Der Richtungsvektor sagt, wohin sie läuft.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Ortsvektor und Richtungsvektor
Ursprung zu Punkt
Start zu Ziel
Ziel minus Start
alle Vorzeichen wechseln
Stützvektor legt Lage fest
Richtungsvektor legt Richtung fest
Gerade durch A(1 \mid -2 \mid 3) und B(4 \mid 0 \mid -1) aufstellen
- 1Stützvektor: \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}
- 2Richtungsvektor: \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 0 - (-2) \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}
- 3Gerade: g: X = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}
- 4Probe mit t = 1: \begin{pmatrix} 1 + 3 \\ -2 + 2 \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, das ist B.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Hier wurde Start minus Ziel gerechnet. Richtig ist Ziel minus Start: \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 4 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}.
Lückentext
Ein Ortsvektor beginnt im . Für den Vektor von A nach B rechnest du . Vertauschst du Start und Ziel, erhältst du den .