Primzahlen bis 1000: Liste, Erkennen und Prüfen
Bis 1000 gibt es 168 Primzahlen. Du lernst, sie nachzuschlagen, mit einem Sieb zu finden und eine einzelne Zahl schnell und sicher zu prüfen.
Kurz gesagt
Bis 1000 gibt es 168 Primzahlen, von 2 bis 997. Ob eine Zahl prim ist, prüfst du mit allen Primzahlen, deren Quadrat höchstens so groß ist wie die Zahl: Teilt keine davon die Zahl, ist sie prim. Für Zahlen bis 1000 reichen deshalb die Primzahlen bis 31, denn 31 · 31 = 961.
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei positive Teiler hat: 1 und sich selbst. Bis einschließlich 1000 gibt es 168 Primzahlen. Die kleinste ist 2, die größte in diesem Bereich ist 997. Auf dieser Seite lernst du, Primzahlen zu erkennen, mit einem Sieb zu finden und eine Zahl systematisch auf ihre Primzahleigenschaft zu prüfen.
Deine Lernziele
Eine natürliche Zahl kann verschiedene positive Teiler besitzen. Ein Teiler passt ohne Rest in die Zahl. Die Zahl 101 ist prim, denn ihre einzigen positiven Teiler sind 1 und 101. Die Zahl 102 ist nicht prim: Neben 1 und 102 hat sie zum Beispiel die Teiler 2, 3, 6 und 17. Eine natürliche Zahl größer als 1, die nicht prim ist, heißt zusammengesetzte Zahl. Sie lässt sich als Produkt kleinerer natürlicher Zahlen größer als 1 schreiben. So gilt 102=6\cdot17. Warum kann keine andere gerade Zahl prim sein? Jede gerade Zahl größer als 2 ist durch 2 teilbar. Sie besitzt daher außer 1 und sich selbst noch mindestens einen weiteren Teiler.
Primzahl
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1 mit genau zwei positiven Teilern: 1 und der Zahl selbst.
Merke: Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Sie hat nur einen positiven Teiler. Die Zahl 2 ist dagegen prim und zugleich die einzige gerade Primzahl.
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Bei einer kleinen Zahl probierst du mögliche Teiler einfach aus. Bei größeren Zahlen musst du nicht alle kleineren Zahlen testen. Es reicht, die Primzahlen zu prüfen, deren Quadrat höchstens so groß ist wie die Zahl. Warum reicht das? Eine zusammengesetzte Zahl lässt sich als Produkt zweier Faktoren schreiben. Wäre jeder der beiden Faktoren mal sich selbst schon größer als die Zahl, dann wäre auch ihr Produkt größer als die Zahl. Der kleinere Faktor ist also so klein, dass er mal sich selbst höchstens die Zahl ergibt.
Bei 997 gilt 31 · 31 = 961, aber 32 · 32 = 1024. Für einen vollständigen Test prüfst du deshalb nur die Primzahlen bis 31. Keine davon teilt 997 ohne Rest, daher ist 997 prim.
Beispiel: Prüfe, ob 221 prim ist.
- 1Bestimme die Prüfgrenze: 14 · 14 = 196 ist kleiner als 221, 15 · 15 = 225 schon größer.
- 2Prüfe nur die Primzahlen bis 14: 2, 3, 5, 7, 11 und 13.
- 3221 ist nicht durch 2, 3, 5, 7 oder 11 teilbar. Bei 13 findest du jedoch 221 = 13 · 17.
- 4Damit ist 221 zusammengesetzt und keine Primzahl.
Merke: Beende den Test nicht nach einigen erfolglosen Divisionen. Eine Zahl ist erst dann sicher als prim erkannt, wenn alle Primzahlen geprüft wurden, deren Quadrat höchstens so groß ist wie die Zahl.
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Die Tabelle enthält alle 168 Primzahlen von 2 bis 997, nach Hunderterbereichen geordnet. Von den 999 Zahlen von 2 bis 1000 sind also 168 prim. Die übrigen 999 − 168 = 831 Zahlen sind zusammengesetzt, darunter auch die 1000 selbst, denn 1000 = 10 · 100.
Eine solche Liste entsteht mit einem Siebverfahren: Du streichst schrittweise die Vielfachen der Primzahlen, die du schon gefunden hast. Das klappt auch für einen Abschnitt, etwa für die Zahlen von 101 bis 130. Dort streichst du die Vielfachen von 2, 3, 5, 7 und 11. Die 11 brauchst du noch, weil 11 · 11 = 121 höchstens 130 ist. Die 13 brauchst du nicht mehr, denn 13 · 13 = 169 ist größer als 130. Beim Sieben bis 1000 reichen die Primzahlen bis 31, denn die nächste Primzahl 37 ergibt schon 37 · 37 = 1369.
| Bereich | Primzahlen |
|---|---|
| 2–100 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
| 101–200 | 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 |
| 201–300 | 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293 |
| 301–400 | 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397 |
| 401–500 | 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 |
| 501–600 | 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599 |
| 601–700 | 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691 |
| 701–800 | 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797 |
| 801–900 | 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887 |
| 901–1000 | 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 |
Beispiel: Die Zahlen von 101 bis 130 sieben
- 1Die geraden Zahlen fallen weg. Es bleiben 101, 103, 105, …, 129.
- 2Vielfache von 3: 105, 111, 117, 123 und 129; Vielfache von 5: 115 und 125
- 3Vielfaches von 7: 119 = 7 · 17; Vielfaches von 11: 121 = 11 · 11
- 4Übrig bleiben 101, 103, 107, 109, 113 und 127.
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In höheren Klassen bekommt die Prüfgrenze einen Namen: die Quadratwurzel. Die Quadratwurzel einer Zahl ist die Zahl, die mal sich selbst genau diese Zahl ergibt. „Prüfen bis zur Quadratwurzel“ heißt also genau das, was du hier mit Quadratzahlen machst. Wurzeln lernst du später auf der Seite Wurzeln genauer kennen.
Beispiel: Zwei Quadratwurzeln
- 17 · 7 = 49, also ist 7 die Quadratwurzel von 49.
- 231 · 31 = 961, also ist 31 die Quadratwurzel von 961.
- 3Für 997 liegt die Prüfgrenze zwischen 31 und 32: Du prüfst bis 31.
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Alles auf einen Blick
Primzahlen bis 1000
größer als 1 und genau zwei positive Teiler
1 ist nicht prim, 2 ist die einzige gerade Primzahl
168 Primzahlen von 2 bis 997
nur Primzahlen testen, deren Quadrat höchstens die Zahl ist
Vielfache gefundener Primzahlen streichen
eine Zerlegung in kleinere Faktoren genügt
Ist 509 eine Primzahl?
- 1Prüfgrenze: 22 · 22 = 484 ist kleiner als 509, 23 · 23 = 529 schon größer.
- 2Zu prüfen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19
- 32, 3 und 5: ungerade, Quersumme 14, Endziffer 9 → kein Teiler
- 4509 = 7 · 72 + 5, 509 = 11 · 46 + 3, 509 = 13 · 39 + 2
- 5509 = 17 · 29 + 16, 509 = 19 · 26 + 15
- 6Überall bleibt ein Rest: 509 ist eine Primzahl.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Auch 17 muss geprüft werden, denn 17 · 17 = 289 liegt noch unter 323. Es gilt 323 = 17 · 19, also ist 323 keine Primzahl.
Lückentext
Die kleinste Primzahl ist . Bis einschließlich 1000 gibt es Primzahlen. Die größte Primzahl in diesem Bereich ist .