Sehne, Sekante und Tangente am Kreis erklärt
Sehne, Sekante, Tangente und Passante: Du lernst, die Linien am Kreis zu unterscheiden, Tangenten zu konstruieren und den Kreismittelpunkt zu finden.
Kurz gesagt
Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie, der Durchmesser ist die längste Sehne. Eine Sekante ist eine Gerade mit zwei Schnittpunkten. Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt und steht dort senkrecht auf dem Radius. Eine Passante geht am Kreis vorbei.
Eine Sehne verbindet zwei Punkte der Kreislinie. Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten, eine Tangente berührt ihn in genau einem Punkt. Entscheidend ist außerdem: Eine Sehne ist eine Strecke, Sekante und Tangente sind Geraden.
Deine Lernziele
Stell dir zwei Punkte A und B auf einer Kreislinie vor. Ihre Verbindung zwischen den Punkten ist eine Sehne. Verlängerst du diese Strecke in beide Richtungen, entsteht eine Sekante. Der Durchmesser ist eine besondere Sehne: Er verläuft durch den Mittelpunkt M. Mit Radius r und Durchmesser d gilt d=2r.
Sehne
Eine Sehne ist eine Strecke, deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen. Sie hat einen Anfang und ein Ende.
Sekante
Eine Sekante ist eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet. Als Gerade verläuft sie über beide Schnittpunkte hinaus unbegrenzt weiter.
Beispiel: Sehne oder Sekante?
- 1P und Q liegen auf der Kreislinie.
- 2Nur die Verbindung von P bis Q ist die Sehne \overline{PQ}.
- 3Die ganze Gerade durch P und Q ist eine Sekante.
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Die Lage einer Geraden zum Kreis erkennst du an der Anzahl der gemeinsamen Punkte. Mit zwei gemeinsamen Punkten ist sie eine Sekante. Mit genau einem ist sie eine Tangente, der gemeinsame Punkt heißt Berührungspunkt. Ohne gemeinsamen Punkt ist sie eine Passante. Eine Sekante durch den Kreismittelpunkt heißt Zentrale. Ihr Abschnitt zwischen den beiden Kreispunkten ist ein Durchmesser.
Merke: Zählen genügt: zwei Punkte – Sekante, ein Punkt – Tangente, kein Punkt – Passante.
Beispiel: Eine Gerade wird parallel verschoben
- 1Zwei Schnittpunkte mit dem Kreis: Sekante
- 2Nur noch ein Berührungspunkt: Tangente
- 3Ganz außerhalb, kein gemeinsamer Punkt: Passante
Teste dich
Eine Tangente steht in ihrem Berührungspunkt senkrecht auf dem Radius. Die Strecke vom Mittelpunkt M zum Berührungspunkt B heißt Berührungsradius. Eine beliebige Gerade durch B reicht nicht: Sie könnte den Kreis ein zweites Mal schneiden. Von einem Punkt P außerhalb des Kreises gibt es genau zwei Tangenten. Ihre Berührungspunkte findest du mit dem Satz des Thales: Liegt ein Punkt auf einem Kreis über dem Durchmesser \overline{MP}, bildet er mit M und P einen rechten Winkel. Deshalb stehen PT_1 und PT_2 senkrecht auf den Radien MT_1 und MT_2.
Merke: Radius und Tangente bilden am Berührungspunkt einen Winkel von 90^\circ.
Beispiel: Tangente im Kreispunkt B
- 1B mit dem Mittelpunkt M verbinden
- 2Durch B die Senkrechte zu \overline{MB} zeichnen
- 3Diese Senkrechte ist die Tangente in B
Beispiel: Zwei Tangenten von einem äußeren Punkt P
- 1P mit M verbinden
- 2Den Mittelpunkt Q der Strecke \overline{MP} bestimmen
- 3Um Q einen Kreis durch M und P zeichnen (Thaleskreis)
- 4Seine Schnittpunkte mit dem gegebenen Kreis heißen T_1 und T_2
- 5Die Geraden PT_1 und PT_2 sind die beiden Tangenten
Teste dich
Der Durchmesser ist die längste Sehne eines Kreises: Keine zwei Punkte der Kreislinie liegen weiter auseinander als seine Endpunkte. Sehnen helfen dir auch, einen unbekannten Kreismittelpunkt zu finden. Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht immer durch den Mittelpunkt, denn der Mittelpunkt ist von beiden Endpunkten der Sehne gleich weit entfernt. Zwei nicht parallele Sehnen liefern zwei Mittelsenkrechten. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt.
Beispiel: Längste Sehne bei r = 5{,}5\,\mathrm{cm}
- 1d = 2r = 2 \cdot 5{,}5\,\mathrm{cm} = 11\,\mathrm{cm}
- 2Keine Sehne dieses Kreises ist länger als 11 cm.
Beispiel: Mittelpunkt aus einem Kreisbogen
- 1Zwei nicht parallele Sehnen in den Bogen zeichnen
- 2Zu jeder Sehne die Mittelsenkrechte konstruieren
- 3Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt M
- 4Der Abstand von M zum Bogen ist der Radius: Kreis vervollständigen
Teste dich
Alles auf einen Blick
Sehne, Sekante und Tangente am Kreis
Strecke zwischen zwei Kreispunkten, die längste ist der Durchmesser
Gerade mit zwei Schnittpunkten, durch den Mittelpunkt heißt sie Zentrale
genau ein Berührungspunkt, dort senkrecht zum Radius
Gerade ohne gemeinsamen Punkt mit dem Kreis
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Sehnen
Thaleskreis über der Strecke von M nach P
Kreis mit r = 4\,\mathrm{cm}: Sehnen und Geraden einordnen
- 1Längste Sehne: d = 2r = 2 \cdot 4\,\mathrm{cm} = 8\,\mathrm{cm}
- 2Eine Sehne von 9 cm ist unmöglich, denn 9 cm > 8 cm.
- 3Gerade g hat zwei Punkte mit dem Kreis gemeinsam: Sekante
- 4Gerade h berührt den Kreis nur im Punkt B: Tangente, senkrecht zu \overline{MB}
- 5Gerade k hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis: Passante
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius: d = 2r = 2 \cdot 6\,\mathrm{cm} = 12\,\mathrm{cm}. Eine Sehne von 10 cm ist also möglich.
Lückentext
Eine Sehne ist eine zwischen zwei Punkten der Kreislinie. Eine Gerade mit genau einem gemeinsamen Punkt heißt . Im Berührungspunkt steht sie zum Radius.