Standardabweichung berechnen und richtig deuten
Die Standardabweichung zeigt, wie stark Werte um den Mittelwert streuen. Du lernst, sie aus Daten und Verteilungen zu berechnen und zu deuten.
Kurz gesagt
Die Standardabweichung \sigma misst, wie stark Werte um ihren Mittelwert streuen. Du quadrierst die Abweichungen vom Mittelwert, mittelst sie zur Varianz und ziehst die Wurzel. Bei 17, 12, 15, 12 und 14 Minuten ist \sigma=\sqrt{3{,}6}\approx1{,}9 Minuten.
Die Standardabweichung misst, wie stark Werte um ihren Mittelwert streuen. Ein kleiner Wert bedeutet: Die Daten liegen eng beieinander. Ein großer Wert bedeutet: Die Daten sind weit verteilt. Sind alle Werte gleich, ist die Standardabweichung 0. Auf dieser Seite lernst du, die Standardabweichung einer vollständigen Datenmenge und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu berechnen, in der richtigen Einheit anzugeben und sinnvoll zu vergleichen.
Deine Lernziele
Zwei Datenreihen können denselben Mittelwert haben und trotzdem ganz verschieden aussehen. Liegen die Werte dicht am Mittelwert, ist ihre Streuung gering. Liegen sie weit auseinander, ist ihre Streuung groß. Warum werden die Abweichungen quadriert? Die Abweichungen oberhalb und unterhalb des Mittelwerts haben verschiedene Vorzeichen. Ohne Quadrieren würden sie sich gegenseitig aufheben. Durch das Quadrieren werden alle Beiträge nicht negativ und große Abstände zählen stärker. Eine Standardabweichung ist nicht für sich allein „klein“ oder „groß“. Du musst sie im Zusammenhang mit der Größe der Werte und ihrem möglichen Wertebereich beurteilen.
Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ein Streuungsmaß. Sie entsteht, indem du die Abweichungen der Werte vom Mittelwert quadrierst, daraus den Mittelwert bildest und anschließend die Quadratwurzel ziehst.
Merke: Die Standardabweichung bezieht sich auf den Mittelwert, nicht auf den Median. Sie hat dieselbe Einheit wie die Ausgangsdaten. Die Varianz hat dagegen die quadrierte Einheit.
Teste dich
Für eine vollständig erfasste Datenmenge mit n Werten verwendest du den Mittelwert \bar{x} und berechnest: \operatorname{Var}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}, \qquad \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}} Dabei ist x_i ein einzelner Wert, \Sigma das Summenzeichen und \sigma das Formelzeichen der Standardabweichung. Verwechsle das große \Sigma nicht mit dem kleinen \sigma. Gehe so vor: Berechne den Mittelwert \bar{x}. Bilde für jeden Wert die Abweichung x_i-\bar{x} und quadriere sie. Addiere die Quadrate und teile durch n: Das ist die Varianz. Ziehe die Quadratwurzel: Das ist die Standardabweichung. Das einfache Mittel der Abweichungen mit Vorzeichen wäre immer 0. Die Standardabweichung ist deshalb die Wurzel aus dem Mittel der quadrierten Abweichungen. Prüfe am Ende: Passt die Einheit? Ist das Ergebnis nicht negativ?
| Wegzeit (min) | Abweichung von 14 | Quadrat |
|---|---|---|
| 17 | 3 | 9 |
| 12 | −2 | 4 |
| 15 | 1 | 1 |
| 12 | −2 | 4 |
| 14 | 0 | 0 |
Beispiel: Katrins Wegzeiten: 17, 12, 15, 12, 14 Minuten
- 1Mittelwert: \bar{x}=\frac{17+12+15+12+14}{5}=14 Minuten
- 2Abweichungen quadrieren: 9, 4, 1, 4, 0 (siehe Tabelle)
- 3Varianz: \operatorname{Var}=\frac{9+4+1+4+0}{5}=3{,}6 Minuten²
- 4Standardabweichung: \sigma=\sqrt{3{,}6}\approx1{,}9 Minuten
- 5Die Wegzeiten streuen mit einer Standardabweichung von etwa 1,9 Minuten um den Mittelwert 14 Minuten.
Teste dich
Bei einer diskreten Zufallsvariable kommen mögliche Werte x_i mit Wahrscheinlichkeiten p_i vor. Der Bezugspunkt ist dann der Erwartungswert \mu=E(X). \operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2p_i \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} Die Wahrscheinlichkeit wirkt wie ein Gewicht: Ein möglicher Wert trägt umso stärker zur Varianz bei, je wahrscheinlicher er ist und je weiter er vom Erwartungswert entfernt liegt. Zum Vergleich: Die Verteilung mit den Werten 0{,}5, 1 und 1{,}5 sowie den Wahrscheinlichkeiten 0{,}4, 0{,}2 und 0{,}4 hat wie das Beispiel unten den Erwartungswert 1. Ihre Varianz beträgt aber nur 0{,}2 und ihre Standardabweichung ungefähr 0{,}45. Die Werte liegen enger um 1.
| x_i | 0 | 1 | 6 |
|---|---|---|---|
| p_i | 0,5 | 0,4 | 0,1 |
Beispiel: Varianz und Standardabweichung der Verteilung
- 1Erwartungswert: \mu=0\cdot0{,}5+1\cdot0{,}4+6\cdot0{,}1=1
- 2\operatorname{Var}(X)=(0-1)^2\cdot0{,}5+(1-1)^2\cdot0{,}4+(6-1)^2\cdot0{,}1=3
- 3\sigma=\sqrt{3}\approx1{,}73
- 4Der Wert 6 ist selten, wirkt aber wegen seines großen Abstands zu μ deutlich auf die Streuung.
Teste dich
Die Division durch n passt, wenn du die vollständig vorliegende Datenmenge beschreibst. Möchtest du dagegen aus einer Stichprobe die Streuung einer größeren Grundgesamtheit schätzen, wird die Summe der quadrierten Abweichungen durch n-1 geteilt: s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}} Das Formelzeichen s kennzeichnet hier die aus einer Stichprobe berechnete Standardabweichung zur Schätzung der Populationsstreuung. Eine korrekt berechnete Standardabweichung macht eine schlecht geplante Stichprobe nicht automatisch aussagekräftig. Wenn bestimmte Gruppen fehlen oder die Auswahl verzerrt ist, kann auch die Schätzung verzerrt sein.
Merke: Frage vor dem Einsetzen: Beschreibe ich alle interessierenden Werte oder schätze ich mit einer Stichprobe eine größere Grundgesamtheit? Vollständige Datenmenge: durch n. Stichprobenschätzung: durch n-1.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Standardabweichung
Streuung um Mittelwert oder Erwartungswert
Abweichungen quadrieren, mitteln oder gewichten, Wurzel ziehen
Standardabweichung ist Wurzel der Varianz
wie die Ausgangsdaten
größerer Wert bedeutet stärkere Streuung im passenden Kontext
Grundgesamtheit durch n, Stichprobenschätzung durch n-1
Standardabweichung von 6, 8, 10 und 12 Punkten
- 1Mittelwert: \bar{x}=\frac{6+8+10+12}{4}=9 Punkte
- 2Abweichungen: -3, -1, 1, 3
- 3Quadrate: 9, 1, 1, 9
- 4Varianz: \operatorname{Var}=\frac{9+1+1+9}{4}=5 Punkte²
- 5Standardabweichung: \sigma=\sqrt{5}\approx2{,}24 Punkte
Fehler finden
Fehler in Zeile 4Die Varianz 8 ist noch nicht die Standardabweichung. Du musst die Wurzel ziehen: \sigma=\sqrt{8}\approx2{,}83 Minuten.
Lückentext
Zuerst berechnest du den . Dann werden die Abweichungen . Aus der Varianz ziehst du die .