Zufallsvariable: Ergebnisse in Zahlen übersetzen
Eine Zufallsvariable übersetzt Ergebnisse in Zahlen. Du lernst, sie festzulegen, ihre Verteilung aufzustellen und Erwartungswert und Streuung zu deuten.
Kurz gesagt
Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments genau eine Zahl zuordnet. Beim Wurf zweier Würfel ordnet die Augensumme S dem Ergebnis (2,5) den Wert 7 zu. Zufällig ist nur, welches Ergebnis eintritt, die Zuordnung steht vorher fest.
Eine Zufallsvariable ordnet jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eindeutig einen Wert zu. Zufällig ist dabei das eintretende Ergebnis – die Zuordnung selbst steht vorher fest. Auf dieser Seite lernst du, eine Zufallsvariable zu definieren, ihre Verteilung aufzustellen und einfache Kenngrößen zu deuten.
Deine Lernziele
Beim Würfeln fällt beispielsweise eine 4. Die 4 als Würfelergebnis und eine Größe, die du aus diesem Ergebnis berechnest, sind nicht automatisch dasselbe. Großbuchstaben wie X oder Y stehen gewöhnlich für Zufallsvariablen. Kleinbuchstaben wie x oder y bezeichnen mögliche Werte. Die Schreibweise X=1 meint das Ereignis „Alle Ergebnisse, denen X den Wert 1 zuordnet“. Sie bedeutet nicht, dass die Funktion X immer gleich 1 ist. Um eine Zufallsvariable festzulegen, gehst du in drei Schritten vor: Bestimme den Ergebnisraum \Omega. Entscheide, welche Größe dich interessiert. Ordne jedem Ergebnis den passenden Wert zu.
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ist eine festgelegte Funktion, die jedem Ergebnis \omega aus dem Ergebnisraum \Omega genau einen Wert zuordnet: X:\Omega\to\mathbb{R} X bezeichnet die Zuordnung. Der konkrete Wert X(\omega)=x heißt Realisierung der Zufallsvariable.
Beispiel: Augensumme und erste Augenzahl bei zwei Würfeln
- 1Ein Ergebnis ist ein geordnetes Paar wie (2,5).
- 2Der Ergebnisraum enthält 36 Paare:
- 3\Omega=\{(1,1),(1,2),\ldots,(6,6)\}
- 4Interessiert dich die Augensumme, definierst du
- 5S(n_1,n_2)=n_1+n_2.
- 6Für das Ergebnis (2,5) gilt daher S(2,5)=7.
- 7Auf demselben Ergebnisraum kannst du eine andere Zufallsvariable festlegen, etwa die erste Augenzahl:
- 8X_1(n_1,n_2)=n_1.
- 9Dann ist X_1(2,5)=2. Dasselbe Zufallsexperiment kann also verschiedene Fragen beantworten.
Merke: Das Experiment liefert ein Ergebnis \omega. Erst die festgelegte Zuordnung macht daraus den Wert X(\omega).
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Mehrere Ergebnisse können zum selben Wert führen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung fasst zusammen, welche Werte möglich sind und wie wahrscheinlich sie sind. Für eine diskrete Zufallsvariable gilt: p(x)=P(X=x). Alle Einzelwahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und ergeben zusammen 1. Die Verteilungsfunktion sammelt die Wahrscheinlichkeiten bis zu einer Grenze: F_X(x)=P(X\le x). Im Münzbeispiel unten ist F_X(1)=P(X\le1)=1/4+1/2=3/4.
Beispiel: Anzahl Zahl beim zweimaligen Münzwurf
- 1K steht für Kopf, Z für Zahl. X zählt, wie oft Zahl erscheint.
- 2X(K,K)=0, X(K,Z)=1, X(Z,K)=1, X(Z,Z)=2
- 3Die vier Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Daraus folgt die Verteilung in der Tabelle.
- 4Kontrolle: \frac14+\frac12+\frac14=1
- 5„Mindestens einmal Zahl“ bedeutet X\ge 1:
- 6P(X\ge1)=P(X=1)+P(X=2)=\frac12+\frac14=\frac34
| Wert x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X = x) | \frac{1}{4} | \frac{1}{2} | \frac{1}{4} |
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Bei einer stetigen Zufallsvariable mit Dichte werden Wahrscheinlichkeiten als Flächen über Intervallen berechnet. Ein einzelner Dichtewert ist keine Wahrscheinlichkeit. Für solche Verteilungen gilt insbesondere: P(X=x)=0 für jeden einzelnen Wert x. Trotzdem nimmt die Variable bei einer Messung einen konkreten Wert an.
Diskrete Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn sie endlich oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann. Typische Beispiele sind Anzahlen: die Augensumme, die Zahl der Treffer oder die Zahl ankommender Kunden.
Stetige Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable wird in schulischen Modellen stetig genannt, wenn ihre möglichen Werte ein Intervall ausfüllen können. Typische Beispiele sind Messgrößen wie Zeit, Länge oder Temperatur.
| Frage | Diskret | Stetig |
|---|---|---|
| Typische Handlung | zählen | messen |
| Mögliche Werte | einzeln aufzählbar | Werte eines Intervalls |
| Wahrscheinlichkeit | Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten | Fläche über einem Intervall |
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Der Erwartungswert ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der möglichen Werte. Für eine diskrete Zufallsvariable gilt: E(X)=\sum_i x_i\cdot P(X=x_i). Beim zweimaligen Münzwurf mit X= Anzahl Zahl erhältst du: E(X)=0\cdot\frac14+1\cdot\frac12+2\cdot\frac14=1. Das bedeutet: Bei sehr vielen Wiederholungen liegt die mittlere Anzahl von Zahl pro Doppelwurf nahe bei 1. Es bedeutet nicht, dass in jedem Doppelwurf genau einmal Zahl erscheint. Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert: V(X)=\sum_i (x_i-E(X))^2\cdot P(X=x_i). Für das Münzbeispiel gilt: V(X)=(0-1)^2\cdot\frac14+(1-1)^2\cdot\frac12+(2-1)^2\cdot\frac14=\frac12. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz: \sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\frac12}\approx0{,}71. Sie besitzt dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable und beschreibt, wie stark die Werte typischerweise um den Erwartungswert streuen.
Beispiel: Zwei Zufallsvariablen mit Erwartungswert 1
- 1Auf demselben Doppelwurf legst du Y fest: Y=2, wenn der erste Wurf Zahl zeigt, sonst Y=0.
- 2P(Y=0)=P(Y=2)=\frac12
- 3E(Y)=0\cdot\frac12+2\cdot\frac12=1, also genauso groß wie E(X)=1
- 4V(Y)=(0-1)^2\cdot\frac12+(2-1)^2\cdot\frac12=1, also \sigma_Y=1
- 5Gleicher Erwartungswert, aber Y streut stärker als X mit \sigma\approx0{,}71.
Merke: Der Erwartungswert beschreibt die langfristige Mitte. Die Standardabweichung beschreibt die Streuung um diese Mitte. Gleiche Erwartungswerte bedeuten deshalb nicht automatisch gleiche Streuung.
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Alles auf einen Blick
Zufallsvariable
ordnet jedem Ergebnis eindeutig einen Wert zu
der Wert X(\omega) zum eingetretenen Ergebnis
mögliche Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten
diskret (zählen) oder stetig (messen)
Erwartungswert und Standardabweichung
übersetzt Sachfragen in ein mathematisches Modell
Verteilung der Anzahl Sechsen bei zwei Würfen
- 1X = Anzahl der Sechsen, mögliche Werte 0, 1 und 2
- 2P(X=0)=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}
- 3P(X=1)=2\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{10}{36}
- 4P(X=2)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}
- 5Kontrolle: \frac{25}{36}+\frac{10}{36}+\frac{1}{36}=1
- 6E(X)=0\cdot\frac{25}{36}+1\cdot\frac{10}{36}+2\cdot\frac{1}{36}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die 11 Summen sind nicht gleich wahrscheinlich, gleich wahrscheinlich sind die 36 Paare. Zu S=3 gehören (1,2) und (2,1), also P(S=3)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.
Lückentext
Jedem Ergebnis ordnet eine Zufallsvariable Wert zu. Die Anzahl der Tore in einem Spiel ist eine Zufallsvariable. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Verteilung ergeben zusammen .