Steigungsdreieck zeichnen und Steigung berechnen
Du lernst, ein Steigungsdreieck an einer Geraden zu zeichnen, daraus die Steigung zu berechnen und ihr Vorzeichen zu deuten.
Kurz gesagt
Ein Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck an einer Geraden: Die waagerechte Seite ist \Delta x, die senkrechte Seite \Delta y. Die Steigung ist m=\frac{\Delta y}{\Delta x}. Gehst du 5 Einheiten nach rechts und 2 nach oben, ist m=\frac{2}{5}.
Ein Steigungsdreieck zeigt, wie sich eine Gerade verändert: Wie weit gehst du waagerecht und wie weit dabei senkrecht? Die Steigung berechnest du mit senkrechte Änderung geteilt durch waagerechte Änderung.
Deine Lernziele
Ein Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck an einer Geraden. Seine waagerechte Seite zeigt die Änderung in x-Richtung. Seine senkrechte Seite zeigt die Änderung in y-Richtung. Das Verhältnis \frac{\Delta y}{\Delta x} ist bei einer Geraden überall gleich. Deshalb darfst du das Steigungsdreieck an verschiedenen Stellen zeichnen oder unterschiedlich groß wählen. Du erhältst immer dieselbe Steigung, wenn die Punkte korrekt auf der Geraden liegen. Das kennst du auch von Straßensteigungen: Eine Steigung von 7\,\% bedeutet einen Höhengewinn von 7\,\mathrm m je 100\,\mathrm m waagerechter Strecke. Das Verhältnis ist \frac{7}{100}=0{,}07=7\,\%.
Steigung
Die Steigung m ist das Verhältnis der senkrechten Änderung \Delta y zur waagerechten Änderung \Delta x: m=\frac{\Delta y}{\Delta x} In Worten: Steigung = Änderung nach oben oder unten ÷ Änderung nach rechts.
Teste dich
Wähle zwei gut ablesbare Punkte auf der Geraden, am besten Gitterpunkte. Nenne den linken Punkt P_1 und den rechten P_2. Gehe von P_1 waagerecht bis zum x-Wert von P_2 und von dort senkrecht zu P_2. Beschrifte die waagerechte Seite mit \Delta x und die senkrechte mit \Delta y.
Beispiel: Steigungsdreieck zwischen P_1(1|2) und P_2(6|4)
- 1Nach rechts: 6-1=5 Einheiten
- 2Nach oben: 4-2=2 Einheiten
- 3Das Dreieck hat \Delta x=5 und \Delta y=2.
Beispiel: Zeichne selbst: A(1|1) und B(5|3)
- 1Von A vier Einheiten nach rechts bis zum Hilfspunkt (5|1)
- 2Von dort zwei Einheiten nach oben zu B
- 3Also \Delta x=4 und \Delta y=2
Merke: Wähle gut ablesbare Gitterpunkte. Das verringert Ablesefehler.
Teste dich
Für zwei Punkte P_1(x_1|y_1) und P_2(x_2|y_2) gilt: \Delta x=x_2-x_1 \Delta y=y_2-y_1 Setze beide Änderungen in die Steigungsformel ein: m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} Du darfst auch in der umgekehrten Richtung rechnen. Dann ändern beide Differenzen ihr Vorzeichen, und der Quotient bleibt gleich. Wichtig ist, bei x und y dieselbe Punktreihenfolge zu verwenden.
Beispiel: Steigung zwischen P_1(2|6) und P_2(6|8)
- 1\Delta x=6-2=4
- 2\Delta y=8-6=2
- 3m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5
- 4Pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um 0,5.
Beispiel: Steigung zwischen P_1(2|1) und P_2(6|7)
- 1m=\frac{7-1}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5
- 2Pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um 1,5.
Teste dich
Das Vorzeichen beschreibt die Richtung der Geraden: Bei m>0 steigt sie von links nach rechts, bei m<0 fällt sie, bei m=0 verläuft sie waagerecht. Drei Fehler passieren oft: Zähler und Nenner werden vertauscht, dabei gehört \Delta y nach oben. Die Punktreihenfolge wird nur in einer Differenz gewechselt. Oder die Punkte liegen gar nicht auf der Geraden oder haben denselben x-Wert: Bei \Delta x=0 müsstest du durch null teilen.
Beispiel: Steigung zwischen P_1(-4|6) und P_2(4|2)
- 1\Delta x=4-(-4)=8
- 2\Delta y=2-6=-4
- 3m=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}=-0{,}5
- 4Das Minus passt: Nach rechts fällt die Gerade.
Merke: Schreibe zuerst \Delta x und \Delta y getrennt auf. Prüfe danach: Passt das Vorzeichen zum sichtbaren Verlauf der Geraden?
Teste dich
Alles auf einen Blick
Steigungsdreieck
zwei Gitterpunkte waagerecht und senkrecht verbinden
\Delta x=x_2-x_1
\Delta y=y_2-y_1
m=\frac{\Delta y}{\Delta x}
positives m steigt, negatives m fällt
gleiche Punktreihenfolge und keine Division durch null
Steigungsdreieck zwischen P_1(-1|-2) und P_2(3|4)
- 1Hilfspunkt: von P_1 waagerecht bis (3|-2)
- 2\Delta x=3-(-1)=4 nach rechts
- 3\Delta y=4-(-2)=6 nach oben
- 4m=\frac{6}{4}=1{,}5
- 5Ein halb so großes Dreieck mit \Delta x=2 und \Delta y=3 liefert auch m=\frac{3}{2}=1{,}5.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Zähler und Nenner sind vertauscht. \Delta y=6 gehört nach oben: m=\frac{6}{3}=2.
Lückentext
Die waagerechte Seite des Steigungsdreiecks ist . Für die Steigung teilst du . Ein größeres Dreieck an derselben Geraden liefert Steigung.