Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärt

Beim Werfen eines Würfels kennst du die möglichen Ausgänge, aber nicht das Ergebnis des nächsten Wurfs. Ein solcher Vorgang heißt Zufallsexperiment. Ein Ereignis fasst die Ergebnisse zusammen, die zu einer Frage passen. Für das Ereignis E: „Es fällt eine ungerade Zahl“ gilt: E=\{1,3,5\} Ein einzelnes Ergebnis ist also nicht dasselbe wie ein Ereignis: Das Ergebnis 3 gehört zum Ereignis „ungerade Zahl“. Zwei Ereignisse können verbunden werden: Der Schnitt A\cap B enthält Ergebnisse, die zu beiden Ereignissen gehören. Die Vereinigung A\cup B enthält Ergebnisse, die zu mindestens einem der Ereignisse gehören. Das Gegenereignis \overline E enthält genau die Ergebnisse aus \Omega, die nicht zu E gehören. Zusammen bilden E und \overline E das sichere Ereignis. P(\overline E)=1-P(E) Aufgaben mit „mindestens einmal“ löst du oft leichter über das Gegenereignis „kein einziges Mal“.

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, liegt ein Laplace-Experiment vor. Dann vergleichst du günstige mit allen möglichen Ergebnissen: P(E)=\frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} Die Formel „günstige durch mögliche“ funktioniert nur, wenn die einzelnen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Bei einem fairen Würfel oder einer fairen Münze ist das Modell passend. Bei einem Reißnagel darfst du nicht ohne Prüfung annehmen, dass seine möglichen Lagen gleich wahrscheinlich sind.

Bei einem echten Versuch zählst du, wie oft ein Ereignis tatsächlich eingetreten ist. Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der Treffer. Die relative Häufigkeit ist der Anteil der Treffer an allen Versuchen. h_n(E)=\frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Versuche}} Bei einer fairen Münze beträgt die theoretische Wahrscheinlichkeit für Kopf 50\%. In einer Reihe von 50 Würfen können trotzdem 28-mal Kopf und 22-mal Zahl auftreten. Solche Abweichungen sind normal. Bei vielen Wiederholungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit gewöhnlich in der Nähe der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet nicht, dass sie jederzeit genau mit ihr übereinstimmt.

Ein Baumdiagramm ordnet die möglichen Verläufe eines mehrstufigen Zufallsexperiments. Ein vollständiger Weg vom Anfang bis zum Ende heißt Pfad. Für Baumdiagramme gelten zwei Regeln: Produktregel: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Summenregel: Addiere die Wahrscheinlichkeiten verschiedener passender Pfade. Bei drei Würfen einer fairen Münze hat der Pfad „Kopf, Zahl, Zahl“ die Wahrscheinlichkeit: \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8} Mit Zurücklegen bleiben die Anteile im Behälter gleich. Ohne Zurücklegen verändern sie sich nach jedem Zug. Deshalb musst du die Astwahrscheinlichkeiten an jeder Stufe neu prüfen.