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Vollständige KURVENDISKUSSION ganzrationale Funktion – Polynom, Polynomfunktion
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 114 Zeilen
- hallo ihr lieben heute möchte ich eine vollständige kurvendiskussion mit euch durchgehend anhand von dieser ganz rationalen funktion hier
- das ist ein problem auch wenn es hier in so zwei klammern unterteilt ist und wir werden jetzt schritt für schritt alle diese elf punkte abarbeiten
- die zu einer vollständigen kurvendiskussion dazu gehören vielleicht gehören nicht alle punkte bei euch dazu aber bei dem ein oder anderen
- findet sich dann jeder punkt irgendwo deswegen habe ich einfach alles hineingepackt und geh mit euch alles durch also macht euch gemütlich
- erster punkt definitions menge wenn wir uns die definitions menge anschauen dann sind wir bei ganz rationale funktionen sehr schnell fertig
- denn man darf für iks einfach alle zahlen einsetzen die es gibt und das sind eben die reellen zahlen probleme würde das ganze nur machen von der
- definition menge wenn da wurzeln drin wären oder brüche bei denen das ixs unten steht das ist bei polonia aber nicht der fall
- deswegen ist wirklich wenn ihr eine ganz rationale funktion erstehen habt immer die ganzen reellen zahlen ist eure definitions mekka sehr gut dann haben
- wir den ersten punkt schon mal abgehakt wenn alle punkte so schnell gehen sind wir doch ein bisschen 0 stellen da geht es darum die schnittpunkte mit
- der x-achse um null stellen zu finden schnappen wir uns unsere funktion und setzten die gleich null also das komplett ding einmal abschreiben und
- gleich null setzen lasst die jetzt auf jeden fall in den klammern das ist extra schon für euch so vorbereitet damit ihr nicht ewig darum
- rechnet denn wir haben eine klammer x einer anderen klammer dann dürfen wir das so aufsplitten und sagen entweder die erste klammer ist gleich null
- oder die zweite klammer ist gleich null und jetzt haben wir nämlich einzelne gleichungen die wir als lösen können hier rechne - zwei dann ist unsere erste
- 0 stelle direkt schon mal bei -2 und hier müssen wir halt pq formel an okay da können wir das schnell durch sausen - zwei halbe sind -1 plusminus
- wurzel aus zwei halbe zum quadrate sind 1 zum 3 1 - -15 sind plus 15 wenn wir das ausrechnen hätten wir unter der wurzel 16 also die wurzel ziehen
- sind vier und wir haben zwei weitere 0 stellen nämlich - 1 plus 4 sind drei und minus 1 - 4 sind - fünf und damit haben wir 30 stellen gefunden also funktion
- einfach null setzen und nach links außen dann kommt der dritte punkt nicht nur die schnittpunkte mit der x-achse interessieren ein sondern auch die
- schnittpunkte mit der y achse und die sind aber leichter denn da muss man für das ixs einfach 0 1 sätzen und das teil aus rechnen also 0 2 x 0 + 0 - 15 also
- mit -15 multiplizieren dann kommt da - 30 raus das ist unser schnittpunkt mit der y achse okay die punkte bisher waren eigentlich
- ganz okay würde ich sagen kommen wir zur symmetrie und bei der symmetrie ist es jetzt so dass man das normalerweise wenn das poly nomen in seiner
- ausgeschriebenen form ist kann man die symmetrie sehr einfach an den hoch zahlen erkennen aber so wie das momentan hier steht ist
- es keine gute form deswegen müssen wir jetzt die klar man tatsächlich aus multiplizieren jedes mit jedem leider x-mal extras sind
- nix hoch drei x-mal 2x sind 2x quadrat x-mal -15 sind - 15x dann das ganze natürlich noch mit der 2 hier 2 x iks quadrat sind 2x quadrat zweimal sex 4x
- und der letzte schritt sind - 30 dann können das aber sortieren zuerst die teile mit hoch drei da gibt es nur eins dann zwei ex quadrat plus 2x quadrat 4x
- quadrat - 15x loos fähig sind 11x und die -30 noch hinten dran und jetzt können wir die symmetrie
- nämlich sehr schön untersuchen wir müssen uns nämlich nur die hoch zahlen anschauen die sind das ist eine ungerade zahl eine gerade zahl
- hier hätten wir eine ungerade zahl und hierbei der -30 steht eigentlich eine x0 fällt als gerade mal wenn jetzt alle hoch seien wirklich alle ungerade wären
- dann hätten wir nur punkt symmetrie wenn alle hoch zahlen gerade wären dann hätten wir eine achsen symmetrie wenn aber so ein mischmasch vorkommt so
- wie hier das wie eine ungerade zwar lerne gerade und so weiter und so fort dann gibt es einfach keine symmetrie also ihr schreibt hin keine einfache
- symmetrie oder keine symmetrie das war es dann schon und wir lassen jetzt dann auch die funktion so ausgeschrieben wie sie da jetzt steht
- denn das ist fürs krenz verhalten und alles was jetzt kommt leichter also diese klammer schreibweise war eigentlich nur für die null stellen so
- schön kompakt und einfach dann und für die sachen danach nehmen wir jetzt die ausgeschriebene schreibweise die wir schon gefunden haben
- das grants verhalten also das verhalten im unendlich der limes dass es bei pullin um schön einfach denn wir müssen uns nur den teil raussuchen der die
- größte hoch zahl hat alles andere interessiert uns beim grenz verhalten nicht das wäre x3 und wir müssen jetzt uns x3 einfach nur bildlich vorstellen
- das ist ja nun gerade hoch zahl und das sieht so aus xo 3 und da können wir jetzt die grenzwerte ablesen wir müssen ja einmal den grenzwert für iks gegen
- unendlich von unserer funktion berechnen und dann auch noch den grenzwert wenn nix gegen - unendlich läuft auch da müssen wir den grenzwert berechnen
- iks gegen unendlich bedeutet mai nix wird immer größer also mein ex geht nach rechts und dann schauen wir was passiert rechts auf der seite was was macht
- unsere funktion die wird immer größer die läuft gegen unendlich das ist der grenzwert deswegen wenn man sich das so visualisiert sind die grenze
- hätte eigentlich ganz angenehm und hier wenn mein iks immer kleiner wird also ich es gegen - und endlich läuft nach links dann wird meine funktion immer
- kleiner und die läuft gegen - unendlich dann können wir das hier einfach eintragen und fertig das waren die grenzwerte check und willkommen schon zu
- den extrempunkten dem herzstück der kurvendiskussion dazu müssen wir die funktion ableiten ableiten bedeutet die hoch zahl kommen nach vorne die drei und
- die neue hoch zahl wird ein kleiner also zu 12 hier werden die beiden zahlen miteinander multipliziert viermal 28 und auch die hochzeit wird ein kleiner dann
- wenn nix da steht felde six weg und nur die elf wird hingeschrieben hinten das feld bereiten komplett weg weil gar kein extremes wir brauchen auch noch die
- zweite ableitung für die extrem punkte deswegen das ganze noch mal drei mal 26 ticks und das eichsfeld weg also bleibt nur die acht die - 11 fällt komplett weg
- um die extrem punkte zu finden nehmen wir unsere erste ableitung und setzten die gleich null das ist jetzt das was auch der nächsten
- seite schon auf uns wartet da stets und hier nochmal die zweite ableitung die brauchen wir dann gleich auch noch aber erst mal hier
- das müssen wir jetzt nach iks auflösen und wir müssen schon wieder die pq formeln anwenden diesmal müssen wir aber noch durch drei
- teilen da die drei hier noch vor dem ixs quadratisch steht dann steht da ex quadrat +8 durch drei leider wird es eine pracht dritte 6 und hier hinten
- sieht es auch nicht gut aus elf drittel gleich neue iq formel trotzdem alles einfach reinhauen - p halbe also acht drittel durch zwei
- sind 86 das kürzt sind es vier dritte könnt ihr aber auch gerne mit dem taschenrechner aufrechnen dann wird diese vier drittel quartiert
- also zu 16 19 und - -11 drittel also plus ganz normale pico formel nur halt mit brüchen wenn ihr das hier aus rechnet kommt ihr unter der wurzel auf
- 49 9 und wenn ihr dann da schön die wurzeln zieht geht es gott sei dank sind das 7 drittel und jetzt haben wir also zwei
- stellen gefunden einmal -4 drittel + 7 drittel das wären dann 1 und das zweite wäre - vier drittel - 7 drittel das sind minus
- 11 drittel das sind unsere beiden kandidaten für unsere extrem punkte wir wissen jetzt noch nicht ob das hoch oder tief punkte
- sind oder vielleicht sattel punkte die gibt es ja auch noch deswegen müssen wir die beiden jetzt mit der zweite ableitung testen die ich hier
- schon auf uns wartet wir setzen da jetzt die 1 1 also berechnen die zweite ableitung von 16 mal 18 sind dann 14 auf jeden fall eine zahl die größer als null
- ist wenn es größer als null ist wissen wir dass das ein tiefpunkt ist bei an der stelle 1 also bei ex gleich eins haben
- wir einen tiefpunkt jetzt überprüfen wir noch die zweite stelle also auch da die -11 drittel in die zweite ableitung einsetzen und ausrechnen
- da kommt dann was negatives raus wenn ihr das macht das sagt uns dass wir da einen hochpunkt haben also an der stelle haben wir ein hochpunkt und jetzt haben
- wir es fast geschafft in unseren extremen stellen wir haben hier allerdings bisher nur die iks werte von unseren tiefpunkt und hochpunkt wir
- müssen auch die y werte auf rechnen weil so ein punkt besteht ja immer aus einem mix und einem y wird das hier war also unser
- tiefpunkt das hier unser hochpunkt um den tiefpunkt anzugeben haben wir die iks koordinate wir frauen aber noch die y koordinaten
- dazu setzt ihr die einst einfach für jede six in der ursprungs gleichung ein in diesem elf von ex reinpacken ausrechnen
- da müsstet ihr auf -36 kommen und für unseren hochpunkt machen wir das selbe nur setzen wir dafür ist eben - 11 drittel ein in die ausgangs funktion
- rhein in jede six ausrechnen und da kommt man auf einem wunderschönen bruch von 407 und 487 okay nicht so schön damit den graf noch zeichnen müssen
- würde ich euch raten schreibt diese brüche noch im koma zahlen um dann hätten wir da minus 3,7 es lässt sich einfach besser zeichnen als elf drittel
- und 14,8 er würde damit jetzt nicht wirklich weiter rechnen aber zum zeichnen habt ihr dann schon mal die zahlen davon
- wir haben die extrem stellen gefunden das waren sie das war der sechste punkt und auch der umfangreichsten normalerweise dann kommen wir zu den
- wendepunkten da sieht die welt schon mal noch mal ein bisschen einfacher aus denn wir brauchen die zweite ableitung dafür und die zweite ableitung ist gottseidank
- ganz schön wir schnappen uns die zweite ableitung und setzten die gleich null wenn wir das jetzt nach eex auflösen
- können wir - 8 rechnen 6x gleich - 8 dann müssen wir nur noch durch sechs teilen und dann steht da es gleich - 86 man kürzt sind dass sie -
- vier drittel so eine zahl hat man heute schon mal da kann jetzt ein wendepunkt sein das müssen wir aber noch mit der dritten ableitung überprüfen ob das
- wirklich so ist die dritte ableitung haben wir aber noch gar nicht gemacht einmal noch ableiten ist aber gottseidank ganz einfach da bleibt nur
- die sechs übrig zu prüfen müssen wir diese -4 drittel aber noch in die dritte ableitung einsetzen wenn ihr das macht passiert da aber nichts weil er ist gar
- keine nix deswegen kommt da immer noch 6 raus wichtig für uns ist nur dass es ungleich 0 ist was da rauskommt und dann wissen wir dass es hier ein wendepunkt
- ist von dem wir bisher aber auch nur den iks wert ausgerechnet haben deswegen um den wendepunkt mit xy koordinate auszurechnen gehen wir genauso vor wie
- eben auch wir setzen diese nix wert in die ursprungsfunktionen ein und rechnen dass aus wenn ihr das macht kommt er auch wieder auf einem knöchelbruch und
- zwar - 286 7 uns ansicht auch hier schreibt das in die comma zahlen um -4 drittel sind minus 1,3 und der bruch ist minus 10,6 zum zeichnen im
- koordinatensystem absolut notwendig denn das waren die wendepunkte oder der wendepunkt gekommen jetzt nämlich dazu den grafen zu zeichnen und da benutzen
- wir jetzt alles was wir bisher gefunden haben als allererstes die null stellen die sind bei 3 bei minus zwei und minus 5 als immer schön markieren und im
- schnitt punkt mit der y-achse haben wir auch berechnet bei -30 okay das sind die ersten punkte dann gehen wir damit weiter und zeichnen
- unsere tiefpunkt ein bei 1 und minus 36 also 1 - 36 irgendwie hier so tiefpunkt kann man schon mal so als rundum mag ihren hochpunkt bei minus 3,7 und 14 8
- also ungefähr hier sollen hochpunkt sein also auch schon so eine rundung dransetzen und der wendepunkt theater interessiert und sagen ich gar nicht so
- sehr dann muss man jetzt nicht so markieren jetzt wird nämlich einfach alles verbunden hochpunkt heißt es muss hier
- runter gehen und die hierdurch genauso von hier muss es hier runter gehen dann suchen wir die nächsten punkte da unten müssen wir hinkommen okay da ist ne
- runde und dann müssen wir da oben durch das ist unsere funktion nicht sonderlich schön deswegen habe ich das jetzt hier noch
- mal zeichnen lassen so wie ich die funktion aus und das ist normalerweise das ende der kurvendiskussion aber wenn man den
- gezeichnet hat kann man manche sachen auch einfacher berechnen oder bestimmen denn wir haben noch ein bisschen was ist hier war der graf neunter punkt ist die
- monotonie aber die kann man am grafen sehr schön sehen bei der monotonie geht es nämlich darum ich habe ja hochpunkt und tiefpunkt noch mal hin geschrieben
- monotonie fragt einfach in welchem bereich steigt meine funktion in welchem bereich fällt sie und steigt sie dann vielleicht wieder
- wir müssen also nur schauen die funktion steigt bis an bis zum hochpunkt der hochpunkt liegt bei minus elf dritteln dann fällt die funktion bis zum
- tiefpunkt der tiefpunkt liegt bei 1 und danach steigt sie wieder und das sind jetzt unsere intervalle von - unendlich ich mache mal eine runde klammer manche
- machen auch eine offene klammern eckige offene klammer von - unendlich bis zu unserem hochpunkt also den -11 dritteln steigt unsere funktion ist also streng
- monoton steigend kann man so abkürzen dann von diesen elf dritteln bis hier runter bis zu 1 fällt die funktion das ist sie streng motto fallend und
- dann kriegen wir noch ein drittes intervall von der einst bis zur unendlich wieder runde klammer ist die funktion wieder strenger von steigt das
- sind die monotonie intervalle die steigung ist intervalle wo steigt wo fällt meine funktion und das ist schon alles und das kann man am grafen halt
- sehr schön sehen nachdem man die hoch produktiv punkte hat ausgerechnet hat denn die hoch- und tiefpunkte trennen immer diese intervalle monotonie kommt
- aber eher selten vor dass man es möglich angeben muss schreibt mal ob ihr das in eurer kurvendiskussion machen müsst wir haben es jetzt mal gemacht genauso die
- krümmung intervalle die kommen auch eher selten vor da geht es um die wendepunkte die interessieren uns jetzt weil die trennen
- die krümmung intervalle dass selbst bei -4 drittel ist der wendepunkt also ungefähr an der stelle hierbei - wie drittel kommen bedeutet die funktion ist
- eine rechtskurve bis hierhin und dann haben wir eine linkskurve und das müssen wir einfach noch sammeln das bedeutet von - unendlich bis zu
- unserem wendepunkt bis zu den - vier titeln ist unsere funktion rechts gekrümmt also eine rechtskurve und ab den -4 dritteln bis unendlich haben wir
- dann eine linkskurve links gekrönt das ist alles auch das kann man sehr schön am grafen dann sehen und die wände punkte helfen uns dabei
- dann sind wir fast fertig ein teil fehlt noch die werte menge die kommt total selten dran aber wenn sie dran kommt kann man sie am grafen auch sehr schön
- ablesen die werte menge gibt nämlich an welche werte auf der y-achse angenommen werden vom grafen also wenn der graf hierdurch läuft dann wird die 20 vom
- grafen irgendwo angenommen wenn der graf hierdurch läuft dann wird der wert angenommen bei uns ist jetzt so da die funktion
- gegen - unendlich läuft ist er auf der y-achse alles abgedeckt und auch gehen bloß unendlich läuft die funktionäre auch hier dann ist auf der y-achse auch
- alles abgedeckt alles auf der y achse wird irgendwo mal von unserem grafen abgedeckt deswegen ist die werte menge hier jetzt bei uns die reellen zahlen
- also alles zahlen da gibt es keine ausnahme ein hinweis nur falls eure funktionen zum beispiel so aussehen würde so eine
- parabel bist ja auch ganz rationale funktion dann geht die nur bis zu fünf und über der 5 ist kein gras mehr dann wäre eure werte menge eben alles
- kleiner also könntet ihr dem aufschreiben alle reellen zahlen für die gilt y kleiner gleich müsste man genau gucken wo es ist kleiner gleich fünf das
- wäre dann die werte menge alle werte unterhalb werden vom grafen angenommen aber oben drüber eben nicht und das war es mehr haben wir nicht die werte mengen
- können auch abhaken sehr schön dass ihr mit dabei geblieben seit ich hoffe er ist einfach da hat alles verstanden so weit und falls ihr
- fragen habt meldet euch immer gerne in den kommentaren