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Vollständige Kurvendiskussion ganzrationale Funktion. Funktionsuntersuchung Polynom. Abitur Analysis
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 138 Zeilen
- hallo Leute in diesem Video wollen wir eine vollständige Kurvendiskussion durchführen mit einer ganz rationalen Funktion mit efunktion haben wir bereits
- eine vollständige Kurvendiskussion durchgeführt diesmal sind Polynomen dran die man auch ganz rationale Funktionen nennt und zwar werden wir Schritt für
- Schritt alle Punkte durchgehen definitions und Wertemenge werden wir uns anschauen dann gucken wir uns die standardsymetrinern dann die Grenzwerte
- dann kommen wir zum wichtigsten Punkt nämlich Nullstellen extremer und Wendepunkte und werden P den Grafen zeichnen und wir werden so vorgehen dass
- es erstmal ein Theorieteil gibt ein Schema von nach ihr vorgehen müsst und dann werden wir das anhand dieses Beispiels dann durchführen also es gibt
- eine Theorie und einen Praxisteil so dann fangen wir mal an mit der Definitionsmenge erst einmal was bedeutet Definitionsmenge was bedeutet
- Wertemenge Definitionsmenge sind alle Zahlen die man für X einsetzen darf und Wertemenge sind alle Zahlen die für Y herauskommen können also merkt euch das
- Gut Definitionsmenge steht für x und Wertemenge steht für Y in der Regel darf man für X auch jede Zahl einsetzen nur bei folgenden Funktionstypen müsst ihr
- aufpassen bei gebrochen rationalen Funktionen beispielsweise solchen Funktionen darf der Nenner nicht null werden das heißt man kann die Zahlen für
- die der Nenner Null wäre nicht einsetzen also in diesem Fall dürften wir für X jede Zahl einsetzen aber nicht die S also alle Zahlen außer s wären dann
- meine Definitionsmenge denn wenn wir für X 7 einsetzen dann wird der ner 0 was ein mathematischer Fehler ist bei Wurzelfunktion müsst ihr aufpassen dass
- unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die positiv sind oder ull das heißt hier darf man für X nur Zahlen einsetzen die größer oder gleich 1 sind
- bei Logarithmusfunktion darf in der klamme nur eine positive Zahl stehen hier ist auch null nicht erlaubt und auch keine
- negative Zahl das heißt hier darf man für X nur Zahlen einsetzen die größer sind als -3 aber in allen anderen Fällen bei e-Funktionen bei ganzraationalen
- Funktion bei Sinus oder cosinusfunktion darf man für X jede reelle Zahl tatsächlich einsetzen und das schreibt man so auf D steht für Definitionsmenge
- und R steht für alle reellen Zahlen also das bedeutet auf deutsch einfach man kann für X jede reelle
- Zahl einsetzen so die Wertemenge mache ich erst zum Schluss wenn ich die Grenzwerte und
- extreme behandelt habe und wir machen erstm weiter mit bei der Symmetrie gibt es zwei Formeln die wir uns gut merken müssen und zwar wenn F von-x = F vonx
- ist dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse und könnte beispielsweise so aussehen und wenn F von-x =- F vonx ist dann ist die
- Funktion punktsymetrisch zum Ursprung und könnte beispielsweise so aussehen wenn wieder die eine noch die andere Formel gilt dann hat die Funktion
- einfach keine standardsymmetrie bei ganz rationalen Funktionen also in dem Fall haben wir auch eine kann man auch diese Faustregel benutzen die hier steht und
- zwar wenn alle Hochzahlen gerade sind dann ist die Funktion Achsen symmetrisch zur yachse und wenn alle Hochzahlen ungerade sind dann ist sie Punkt
- symmetrisch zum Ursprung wenn die Hochzahlen gemischt sind also manchmal gerade manche ungerade sind dann hat die Funktion einfach keine ymmetrie und das
- gilt aber nur für ganz rationale Funktion bitte nicht bei efunktion oder so auf diese Fausregel zurückgreifen wir machen das mit der Formel weil wir sie
- immer brauchen und wenn ihr möchtet könnt ihr noch mal zur Kontrolle euch diese faustreel mit geraden und ungeraden Hochzahlen merken so und zwar
- haben wir die Funktion f vonx = -0,2x hoch 3 + 0,6x² + 0,8x wir brauchen f - x weil das in der
- Formel auftaucht F von-x bedeutet einfach nur dass man jedes x das man in der Funktion sieht einfach mit -x ersetzen muss das heißt wir machen
- -0,2 mal in Klammer - x hoch 3 + 0,6 x in k- x hoch 2 + 0,8 x in kl- X so was bedeutet das wir haben hier - x in Klammern hoch 3 das bedeutet dieses
- Minus taucht g=ich dreimal auf und hier vorne ist aber auch ein Minus das heißt wir haben vier Mal das Minuszeichen insgesamt ist das Ergebnis hier also
- positiv und wir haben 0,2 x hoch 3 und wir gehen nach diesem System weiter hier haben wir - x hoch 2 das heißt wir haben zweimal das Minus insgesamt das bedeutet
- das ergibt Plus und wir haben dann + 0,6 x hoch 2 und hier das ist hier relativ einfach weil wir keine hochzahne haben 0,8* -x ergibt einfach nur - 0,8 x so
- und schließlich brauchen wir auch - f von X - f vonx bedeutet dass man die Funktion f von X erstmal ganz normal
- aufschreibt und vor die ganze Funktion in Klammern vor die ganze Funktion ein Minus setzt das bedeutet - FX und jetzt muss man diese klammer auflösen damit
- wir ja die Funktion besser vergleichen können und mal -0,2x H 3 ergibt + 0,2x H 3 mal plus ergibt minus deshalb habe ich
- -0,6x² und wieder US mal plus ergibt minus das heißt ich habe - 0,8x so jetzt habe ich die Funktion f vonx hier ich habe f von-x
- hier und schließlich die Funktion - f von x und ich muss die jetzt miteinander vergleichen ich muss also schauen ob F vonx und F von-x gleich sind schauen wir
- uns das an und wir sehen die sind nicht gleich und zwar sehen wir hier steht -0,2 x hoch 3 aber hier 0,2x H 3 das ist natürlich ein Unterschied und damit gibt
- es keine Achsensymmetrie zur y-Achse wir sehen auch dass hier + 0,8x steht wäre das hier -0,80 steht die müssten aber eins zu ein identisch sein und weil sie
- es nicht sind ist es schon mal nicht achsensymmetrisch zu y AX für die Punktsymmetrie zum Ursprung müssen wir diese Formel überprüfen das heißt wir
- gucken uns F von-x an und - f von X die beiden Funktionen schauen wir uns an und gucken ob die gleich sind und wir sehen auch die beiden sind nicht gleich denn
- ich habe hier in der Mitte 0,6x² aber hier -0,6x² also sind auch die beiden Funktionen nicht identisch und daraus
- können wir folgende Schlussfolgerung ziehen F vonx hat keine standardsymmetrie so damit wäre Symmetrie fertig bei den Grenzwerten
- müssen wir auf folgendes achten und zwar haben wir es hier mit ganz rationalen Funktion zu tun und nehmen deshalb nur den Term mit der größten Hochzahl von
- von X alle anderen Terme spielen im Unendlichen überhaupt keine Rolle und folgende Sachen sollten wir uns auch merken unendlich hoch jede natürliche
- Zahl ist unendlich und minus unendlich hoch eine Gerade natürliche Zahl ist plus unendlich und minus unendlich Woch eine ungerade natürliche Zahl er gibt
- minus unendlich dann machen wir das mal anhand unses Beispiels wir schreiben auf limus für X gegen Unendlich von -0,2 x H 3 +
- 0,6x² + 0,8x = wir konzentrieren uns wie gesagt nur auf diesen dominanten term alle anderen Terme werden ignoriert die
- spielen im unentlichen überhaupt keine Rolle wir schreiben es natürlich trotzdem auf aber wir berücksichtigen das nicht und wir stellen uns jetzt hier
- bei dem dominanten term für X1 unendlich vor das heißt wir stellen uns vor dass da steht -0,2 mal unendlich hoch 3 und Rechnen
- unendlich hoch 3 ergibt wieder unendlich und -0,2 mal unendlich also min mal Plus ist minus ergibt min unendlich das ist unser Ergebnis für X gegen unentlichch
- die Funktion geht also runter ins Minus unentlichische dann machen wir das gleiche noch mal für X gegen minus
- unendlich wir schreiben wieder die ganze Funktion auf undon eren aber wieder nur auf den dominanten term und stellen uns für X
- ein minus unendlich vor das heißt wir haben -0,2 mal minus unendlich hoch 3 so minus unendlich hoch 3 bedeutet minus unendlich mal minus unendlich mal
- minusendlich und das ergibt wieder minus unendlich und minusendlich mal 0,2 da haben wir minus mal minus also haben wir plus
- unendlich das wäre das Ergebnis so wir wollen den bezeichnen was bedeutet das was wir hier haben gehen wir mal zum Grafen das
- bedeutet wenn wir für X unendlich haben das heißt wenn wir unendlich weit nach rechts gehen dann geht die Funktion auch unendlich weit runter das heißt wir
- werden ungefähr hier enden und umgekehrt wenn die Funktion zum minus unendlichen geht also in die Richtung geht also wenn der xwert zum
- minus nlichen geht dann geht die Funktion zum plus undendlich das heißt dain das heißt die Funktion kommt ungefähr von hier und wird dann rechts
- unten Enden also die Funktion könnte beispielsweise so aussehen so wie das genau detailliert aussieht wissen wir nicht deswegen
- machen wir jetzt unsere Kurvendiskussion weiter und kommen zum nächsten Punkt nämlich zu den Nullstellen um die Nullstellen zu berechnen gibt es eine
- wichtige Formel nämlich F vonx = 0 setzen und das wollen wir jetzt machen wir setzen jetzt unsere Funktion = 0 und machen dann - 0,2 x H 3 + 0,6
- x² + 0,8x = 0 bei solchen Gleichungen solltet ihr immer dafür sorgen dass vor eurem größten x am besten keine Zahl steht das heißt wir teilen durch
- -0,2 und haben x H 3 - 3x² - 4x = 0 weil wir sehen dass jeder term ein X hat können wir x ausklammern und erhalten x mal in Klammern x² - 3x -
- 4 = 0 wenn ihr Schwierigkeiten habt solche Gleichungen zu lösen solltet ihr euch das Video zu Gleichungen anschauen dann seid ihr Experten bei allen
- gleichungsangelegenheiten im Abi so wir konnten x ausklammern das bedeutet automatisch dass unser x1= 0 ist wir haben also bei 0 schon mal eine
- Nullstelle für die restlichen Nullstellen müssen wir auch das was in der Klammer steht separat = 0 setzen und erhalten deshalb als weitere
- Gleichung x² - 3x - 4 = 0 diese Gleichung lösen wir mit der pq Formel das was vor dem X steht ist unser P die Lose Zahl ist
- unser Q und das alles setz wir in die pq Formel ein also X2 3 X1 ist ja vergeben deswegen schreibe ich X2 3 ist - P Hal also
- -3 Hal +- Wurzel aus -3/ zum quadrat--4 Achtung unser Q selbst ist auch negativ deswegen machen wir
- --4 unter der Wurzel so dann erhalten wir 1,5 +- aus 6,25 wir erhalten also 1,5 +-
- 2,5 und einmal machen wir Plus und erhalten für die zweite Lösung 4 und dann machen wir Minus und erhalten für die dritte Lösung -1 das wären dann
- unsere drei Nullstellen als extra dazu können wir auch gerne den yachsenabschnitt machen das ist die Stelle an der die Funktion der
- funktionsgraf die Y-Achse schneidet so y Achsenabschnitt den berechnet man immer
- wenn man für x0 einsetzt also F von 0 und wir wissen ja bereits dass wir bei 0 eine Nullstelle haben deswegen wird der y Wert 0 sein aber trotzdem zeige ich
- euch wie man den berechnet das ist dann - 0,2* 0 hoch 3 + 0,6* 0² + 0,8 x 0 also insgesamt 0 das heißt
- wir haben ein y-xen Abschnitt bei 0 0 die Nullstellen unter y Achsenabschnitt nennt man zusammen achsenabschnitte oder Schnittpunkte mit
- den Koordinatenachsen und wir wollen die Funktion ja zeichnen tragen wir diese Punkte also ein wir haben auf jeden Fall
- bei -1 eine Nullstelle das Markieren wir wir haben bei 0 eine Nullstelle das en wir auch und bei 4 haben wir auch eine Nullstelle das heißt die Funktion wird
- durch diese Nullstellen gehen den yachsenabschnitt brauchen wir nicht extra Markieren der ist nämlich hier so nachdem wir die Nullstellen
- gemacht haben kommen wir zu den Extrempunkten und zwar muss man für die Extrempunkte diese drei Schritte Anwenden der erste Schritt den nennt man
- auch notwendige Bedingung bedeutet dass man die erste Ableitung g=ich 0 setzt und so erhält man die x-Werte von den Extrempunkten im zweiten Schritt will
- man von den x-werten auch die y Werte kennen deswegen setzt man das x in F von X ein und hat dann die y Werte den dritten Schritt nennt man hinreichende
- Bedingung man setzt das x in die zweite Ableitung ein und wenn die zweite Ableitung negativ ist haben wir einen Hochpunkt also könnte so ein Punkt dann
- sein wenn die zweite Ableitung positive ist haben wir einen Tiefpunkt das heißt es könnte sich um so einen Punkt handeln und wenn die zweite Ableitung Null ist
- könnte es sich um ein Sattelpunkt Handeln dafür müsste auch die dritte Ableitung ungleich Null sein und Sattelpunkt ist beispielsweise dieser
- Punkt ja dann wollen wir mal die Funktion auf Extrempunkte untersuchen wie wir sehen müssen wir die Funktion erstmal zweimal ableiten F von X kennen
- wir bereits schreiben wir die gerne noch mal auf die erste Ableitung bilden wir indem wir immer die Zahl vor dem X mit der
- Zahl über dem X multiplizieren und die Hochzahl um ein reduzieren und das machen wir weiter die zweite Ableitung brauche ich auch und
- erhalte -1,2x + 1,2 so dann wollen wir mal den ersten
- Schritt durchführen nämlich die erste Ableitung g=ich 0 setzen das mache ich mal hier der erste Schritt -0,6 x² + 1,2x + 0,8 setze ich = 0 wieder teile
- ich durch die Zahl vor dem größten x damit die Gleichung etwas angenehmer wird und erhalte x² - 2x - 43 = 0 wieder weiß ich dass
- ich die pq Formel machen werde -2 ist dabei mein P und -43 ist dabei mein Q und dann fangen wir mal an X1 2 ist dann - P Hal also
- -2/ +- wel aus P qurat also -2/ qur- Q also -4 auch hier noch mal aufpassen euer Q ist negativ das heißt wenn ihr Q macht
- macht ihr -43 und min ergt plus das kann man so schon in den Taschenrechner eingeben einmal mit plus einmal mit minus und wir
- erhalten für X1 etwa 2,53 ich schunde mal auf die zweite nachmalstelle und wir erhalten für X2 etwa
- -0,53 so das sind meine beiden x-Werte aber ein Punkt hat ja auch ein ywert deswegen wollen wir im zweiten Schritt uns die ywererte anschauen das machen
- wir jetzt und zwar machen wir äh setzen wir dann unsere x-Werte in die Ausgangsfunktion in F von X ein also ich mache f von
- 2,53 das bedeutet -0,2* 2,53 hoch 3 + 0,6 x 2,53 zum qur + 0,8 x 2,53 das ergibt in etwa ich habe es mit
- der exakten Lösung eingesetzt also nicht mit dem gerundeten Wert ich komme auf Y WT 2,63 das ist also mein Y1
- das Markieren wir mal jetzt wollen wir auch den anderen x-Wert einsetzen also F von
- -0,53 das ist dann -0,2 x in KL -0,53 hoch 3 + 0,6 x -0,53 Z quadr + 0,8 x
- -0,53 achtung wenn ihr für X eine negative Zahl einsetzt dann bitte in Klammern wir kommen insgesamt als Lösung auf etwa
- -0,23 das heißt mein zweiter y Wert ist -0,23 damit habe ich die kompletten Punkte herausgefunden ich weiß nur nicht ob es Hochpunkte sind oder Tiefpunkte
- und dafür nehmen wir den dritten Schritt also im dritten Schritt setzen wir unsere x-Werte in die zweite Ableitung ein die zweite Ableitung von
- 2,53 das ist dann -1,2* 2,53 + 1,2 das ist
- -1,84 das ist negativ das heißt insgesamt habe ich einen Hochpunkt der x-Wert davon ist 2,53 den y hatte ich ja schon
- 2,63 das hier ist mein endgültiger Hochpunkt und den markieren wir mal jetzt setzen wir in die zweite Ableitung auch -0,53 ein das ist
- -1,2* -0,53 + 1,2 und das ergibt etwa 1,84 achtung das ist positiv
- das bedeutet ihr habt einen Tiefpunkt x WT ist -0,53 und Y Wert ist -0,23 so damit hätten wir die hoch und
- tiefpunktberechnung erledigt wir wollen jetzt diese Werte in den Grafen einsetzen so die Nullstellen sind schon bereits eingesetzt dann kommen wir mal
- zum Hochpunkt wir haben einen bei 2,53 und Y ist 2,63 das heißt ungefähr hier müsst ihr euch vorstellen habt ihr einen Hochpunkt ihr könnt einen
- Hochpunkt beispielsweise so markieren dann wisst ihr dass ihr dort ein Hochpunkt habt und bei -0,53 und -0,23 das heißt in etwa hier
- habt ihr einen Tiefpunkt so jetzt fehlen uns noch die Wendepunkte für die Wendepunkte beachten wir folgendes und zwar der erste Schritt wieder die
- notwendige Bedingung diesmal besagt sie dass man die zweite Ableitung g=ich 0 setzen muss und so erhält man die xwerte dann muss man diese x-Werte in die
- Ausgangsfunktion F von X einsetzen und erhält die y Werte im dritten Schritt der hinreichenden Bedingung beachten wir folgendes unsere x-Werte setzen wir in
- die dritte Ableitung ein wenn sie nicht Null ist dann haben wir einen Wendepunkt das heißt die Funktion könnte von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergehen
- könnte allerdings auch von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergehen da unterscheiden wir jetzt nicht zwischen den beiden das brauchen wir
- nicht wichtig ist ist es nicht null haben wir ein Wendepunkt ist es null können wir erstmal keine Aussage treffen ja für die Wendepunkte brauchen
- wir die zweite und die dritte Ableitung das heißt zunächst einmal wollen wir sie bilden F vonx schreibe ich noch mal auf das ist -0,2x H 3 +
- 0,6x² +0 ,8x die zweite Ableitung hatten wir bereits das schreibe ich noch mal auf -1,2x + 1,2 und die dritte Ableitung
- bilden wir jetzt eine Zahl mal x abgeleitet er gibt immer die Zahl und lose Zahlen abgeleitet ergeben 0 so meine dritte Ableitung ist also
- -1,2 so um die Wendepunkte zu berechnen setze ich jetzt die zweite Ableitung g= 0 also -1
- 2x + 1,2 setz wir g=ich 0 ich mache jetzt + 1,2x und erhalte 1,2 = 1,2x dann teile ich durch 1,2 und erhalte für x =
- 1 so jetzt wähen wir die y Werte also der y WT von diesem x-Wert dafür setze ich die 1 in die Ausgangsfunktion ein also F von1 brauche ich das ist dann -
- 0,2 x 1 hoch 3 + 0,6 X 1² + 0,8 mal 1 und ich erhalte als y Wert 1,2 das bedeutet mein y ist
- 1,2 so dann kommen wir mal zum letzten Schritt zur hinreichenden Bedingung dafür setze ich die ein in die dritte Ableitung ein und die dritte Ableitung
- ist bei dieser Aufgabe nun mal immer -1, 2 man kann hier für X nichts einsetzen also hauptsache das hier ist nicht null darauf kommt es an das heißt insgesamt
- haben wir einen Wendepunkt mit dem x-Wert 1 und dem ywert 1,2 so auch diesen Wendepunkt markieren wir und tragen das
- hier ein also einen Wendepunkt könnt ihr beispielsweise mit einem Kringel markieren dann wisst ihr dass ihr dort die Krümmung ändern
- so jetzt wissen wir alles was wir die über die Funktion wissen müssen wir kommen von hier müssen an diesen Stellen die x-Achse schneiden bitte nicht an
- anderen Stellen hier müssen wir einen Tiefpunkt einbauen hier einen Hochpunkt und an dieser Stelle müssen wir unsere Krümmung wechseln das heißt wir können
- nur so etwas zeichnen so bis hierin habe ich eine Linkskurve ab hier gehe ich in eine Rechtskurve über und zeichne die
- Funktion das mache ich jetzt für euch so ist hier Linkskurve jetzt gehe ich eine Rechtskurve über und bin damit
- fertig also so in etwa sieht die Funktion f aus wir können über Monotonie folgendes sagen dass die Funktion bis
- -0,53 strengmoton fallest und von 0,53 bis 2,53 ist die Funktion strengmonoton steigend und danach wieder strengmonoton fallend wir haben bis x =
- 1 eine Linkskurve und ab x = 1 eine Rechtskurve und für die wertemäe sollten wir beachten dass auf der Y-Achse alle Werte tatsächlich getroffen werden für
- jedes y gibt es ein X es gibt kein y WT x das heißt unsere Wertemenge besteht aus allen reellen Zahl also wir kriegen für Y auch jede reelle Zahl raus ich
- hoffe dass ihr diese Kurvendiskussion gut verstanden habt und wir sehen uns dann im nächsten Video