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Ebenen in Parameterform / Parametergleichung aufstellen
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 86 Zeilen
- in diesem Tutorial werden wir uns anschauen wie man Ebenen im Parameterform aufstellen kann bevor wir gleich die vier Situationen bzw vier
- Fälle betrachten macht es durchaus Sinn dass wir uns erst mal mit der parametergleichung bzw Parameterform ein bisschen anfreunden hier seht ihr die
- allgemeine Form einer parametergleichung die wir jetzt gleich auseinandernehmen werden und wir fangen natürlich von links nach rechts an also ganz links
- steht groß e das ist natürlich der Name dieser Ebene E dann folgt dieser Vektor x vector X ist der allgemeine Punkt oder ein allgemeiner Punkt in der Ebene und
- das ist einfach nur die Abkürzung für x1x2x3 also man will ja nicht ständig dieser hinschreiben deshalb ab mit Vektor x
- dann folgt der Vektor klein P der Vektor klein P ist das sogenannte stützvektor der Ebene welche Bedeutung erblich hat werden wir gleich sehen und dann gibt es
- noch die zwei Vektoren u und v das sind die sogenannten spannvektoren die Ebene weil sie die Ebene sozusagen aufspannen außerdem gibt es noch die zwei
- Buchstaben T und S hier das sind die sogenannten Parameter natürlich sind dieser Buchstaben nicht festgenagelt da kann alles Mögliche dafür rein und auf
- die Bedeutung dieser Parameter werde ich an dieser Stelle nicht weitergehen weil sie nicht von Bedeutung sind für diesen Tutorial allerdings wenn Bedarf ein
- Tutorial zu den Eigenschaften von Ebenen Parameter Form wo auch diese Parameter erklärt sind findet ihr ja am Ende dieses Videos im Abspann um eine Ebene
- Gleichung aufzustellen ist natürlich auch wichtig sich die Ebene bildlich vorzustellen und genau das werden wir jetzt anhand
- eine Planskizze also das kennen wir das ist die allgemeine Gleichung einer Parameterform oder eine Ebene Parameterform wenn man sich so eine
- Ebene im Raum vorstellen möchte da muss man dort anfangen wo alles anfängt in ein dreidimensionalen Raum und zwar im Koordinatenursprung hier
- unten links mit oder dargestellt über ganz Ohr steht für das englische Wort Origin und dann müssen wir uns in diesen dreidimensionalen Raum natürlich ein
- Punkt P vorstellen der verbindungsvektor zwischen o und P ist genau unser stützvektor klein P und das ist natürlich wie ihr sehen könnt
- oder kennen könnt ein Ortsvektor also ein verbindungsvektor zwischen Koordinatenursprung und irgendeinem Punkt in rau und auch wenn dieser
- kleinvektor P eigentlich ein Ortsvektor darstellt ist es trotzdem empfehlenswert sich den stützvektor immer als so eine Art Stützpunkt vorzustellen also als ein
- Punkt P was die Lage der Ebene in Raum festlegt also einfach so als in der Art Anker für die Ebene außerdem haben wir noch die zwei spannvektoren und V wie
- der Name schon sagt spannen sie sozusagen die Ebene auf also können wir uns die Ebene vereinfacht auch so vorstellen natürlich ist das nur eine
- abstrakte Darstellung eine Ebene ist im Wirklichkeit unendlich groß nachdem wir jetzt den Aufbau der parametergleichung angeschaut haben und
- uns dieser Gleichung auch bildlich vorstellen können seine Zeit mit dem ersten Fall oder erste Situation loszulegen das ist natürlich auch der
- Fall der am häufigsten bei dem Beispielaufgaben vertreten ist und zwar wenn drei Punkte gegeben sind damit ist das ganze nicht so trocken ist werden
- wir alle diese Fälle anhand vom Beispielaufgaben bearbeiten und das werde jetzt hier die passende Beispielaufgabe ich überfliege kurz die
- Aufgabenstellung gegeben sind die drei Punkte ab und C die nicht auf einer gerade liegen Stelle eine Ebenengleichung auf
- bevor wir jetzt mit Hilfe dieser drei Punkte eine Ebenengleichung aufstellen werden wir uns natürlich versuchen das Ganze bildlich vorzustellen also das
- sind drei Punkte in Raum A B und C die nicht auf einer Geraden liegen als erstes brauchen wir für unser Ebene einen stützvektor und da habt ihr die
- Qual der Wahl ihr könnt jeder dieser Punkte als stützvektor sozusagen wählen ich werde mich jetzt allerdings für Punkt A entscheiden deshalb wird jetzt
- auch mit rot hier an dieser Stelle so wie vorher markiert außerdem brauchen wir noch zwei spannvektoren an dieser Stelle müssen wir einfach die
- verbindungsvektoren einmal zwischen a und Bienen also dem Vektor a b und einmal zwischen a und c also der Vektor AC und damit hätten wir alles was wir
- brauchen um die Ebenengleichung aufzustellen und genau das machen wir jetzt auch schriftlich hier auf der linken Seite also ich fange so wie
- vorher an erstmal eben eh Vektor X ist gleich und als erstes brauchen wir einen spitzvektor dass der Ortsvektor zu a also kurz gesagt a - 00
- wir schreiben nur a als Vektor hin 2 - 3 und 1 dann nehmen wir irgendein Parameter zum Beispiel S und brauchen jetzt den ersten spannvektor da haben
- wir vorher gesagt wir nehmen na B also das bedeutet wir rechnen b-a minus 1 - 2 sind natürlich -3 dann 4-3 sind 7 und 2 - 1 ist 1 und zum Schluss noch unser
- zweiter spannvektor das wird dann der Vektor AC sein das bedeutet 10 - A 5 - 2 sind 3 2 - -3 sind 5 natürlich und -3 -1 ist -4 und das wäre dann die
- Ebenengleichung die zweite Situation entsteht wenn eine gerade und ein Punkt gegeben sind und auch hier eine kurze Aufgabenstellung
- gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A was nicht aufgelegt Stelle eine Ebenengleichung auf auch das versuchen wir uns erstmal bitte die vorzustellen
- hier ist die Gerade g als ein blaue Strich in der Landschaft und hier haben wir unser Punkt A vom Aufbau her müssen wir uns die gerade gehe ebenfalls
- vorstellen können also der erste Vektor zur Erinnerung ist wieder ein stützvektor für dieser Geraden das bezeichne ich jetzt als Punkt P und der
- Richtungsvektor der Geraden können wir uns auch hier auf der gerade mit Grün vorstellen als Richtungsvektor daraus möchten wir natürlich wieder eine
- Ebenengleichung aufstellen auch für die Ebene brauchen wir ein stützvektor und zwei spannvektoren naja bildlich hat man vielleicht ein bisschen Auswahl also man
- könnte entweder dem Punkt P als stützvektor nehmen oder den Punkt A aber im praktischen ist es besser wenn ihr immer diesen stützvektor der Geraden
- auch als stützvektor für die Ebene auswählt also wir starten P und den ersten Richtungsvektor für unser oder spannvektor für unser Ebene hätten wir
- schon durch diesen grünen Vektor u was wir noch brauchen ist ein zweiten spannvektor und ich denke mir dass jeder von euch erkennen kann dass nur der
- Vektor pa in diesem Fall Sinn machen würde also wir bilden an dieser Stelle diesen Vektor pa und damit hätten wir auch
- unser Ebene festgelegt und das mache ich jetzt natürlich auch rechnerisch auf der linken Seite also wir fangen wieder mit E Doppelpunkt Wechsel XS gleich wie
- bereits besprochen als stützvektor nehmen wir den stützvektor der Geraden dieser 1-2 und 0 also wir hatten als erstes dann 1 - 2 und 0 dann ebenfalls
- von der Geraden geklaut kommt auch noch der erste spannvektor also zwei fünf und 1 das wäre dieser grüne Vektor also 2 5 und 1 und zum Schluss müssen
- wir noch diesem Vektor pa bilden das bedeutet wir rechnen sozusagen a-p also nicht vergessen P ist hier dieser Vektor und dann können wir sie
- voneinander abziehen 2-1 ist natürlich 1 - 3 - -2 ist -1 und 1 - 0 ist ebenfalls 1 und damit hätten wir auch diese Ebenengleichung
- die dritte Situation entsteht wenn sich zwei Geraden schneiden und auch hier eine kurze Aufgabenstellung gegeben sind zwei Geraden g und h die sich schneiden
- Stelle eine ebenegleichung auf auch hier versuchen wir das ganze erstmal bildlich zu verstehen also wir haben hier zwei Geraden g&h die sich schneiden und
- natürlich werde das hier mit grau dargestellt deren Schnittpunkt vom Aufbau her müssen wir uns die geraden auch richtig vorstellen das heißt die
- Gerade g besitzt ein Stütz und ein Richtungsvektor hier mit Punkt P als Stützpunkt und Richtungsvektor u dargestellt und das gleiche hat auch
- Hitze weg davon habe ich jetzt als Kuh bezeichnet und Richtungsvektor von H als V aus diesen Überfluss an Informationen brauchen wir erstmal wieder ein Punkt
- mit dem wir einen stützvektor bilden und habt ihr die Qual der Wahl in erster Reihe könnte natürlich Essen nehmen also Schnittpunkt aber wenn ihr diesen
- Schnittpunkt noch nicht habt ist das nicht so empfehlenswert weil zur Erinnerung den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen bedeutet die gerade
- in gleichzusetzen und an kleines LGS zu lösen das Cloud zeigt stattdessen könnt ihr ein bisschen schlauer denken und eine dieser anderen zwei stützvektoren
- wählen also entweder P oder Q es ist völlig egal welche dieser beiden Vektoren ihr wählt und ich glaube die spannvektoren der Ebene sind eigentlich
- bildlich schon sehr gut erkennbar das sind natürlich die Richtungsvektoren der beiden Geraden o&v und dadurch hätten wir wieder schon unsere Ebene die ich
- jetzt aus schriftlich natürlich auf der linken Seite aufstellen werde also e Doppelpunkt Vektor x mal wieder als stützvektor entscheide ich mich
- jetzt für P also das ist der stützvektor der Geraden g entsprechend dann 1 - 2 und 0 und dann plus D mal unser erster Richtungsvektor
- das ist der Richtungsvektor der Geraden g also haben wir dann zwei fünf und 1 und dann plus s mal der Richtungsvektor von H das ist dann entsprechend 1 2 und
- -2 und das werde dann wieder die Ebenengleichung die letzte Situation entsteht wenn zwei Geraden parallel sind und auch hier eine kurze
- Aufgabenstellung gegeben sind zwei parallele Geraden g und h die nicht identisch sind Stelle eine Ebenengleichung auf auch diese zwei
- parallele geraten werden wir uns natürlich versuchen erstmal bitte vorzustellen nicht kompliziert also dass die Gerade g
- und h und natürlich auch hier der Aufbau mit Stütz und Richtungsvektor das heißt bei Geraden g wäre P unser Stützpunkt jetzt und der Richtungsvektor wäre
- dieser Vektor um und bei der Geraden h können wir uns den stützunterrichtungsvektor mit Q und erneut Vektor u vorstellen wieso erneut
- Vektor oh wenn ihr jetzt die Richtungsvektoren dieser beiden Geraden betrachtet weil die Geraden parallel sind sind diese Richtungsvektoren
- vielfache oder Koordinaten also wenn der eine 2-51 ist ist der andere minus vier zehn minus 2 also ihr merkt wenn ihr den ersten Richtungsvektor mal -2 nimmt dann
- kriegt ihr den zweite Richtung das heißt bildlich dass diese zwei Vektoren einfach in die gleiche Richtung zeigen so wie hier unten dargestellt
- okay für die Ebene brauchen wir wieder ein stützvektor in erster Reihe und da hat man wieder die Wahl man kann entweder sozusagen Punkt P oder Punkt Q
- als stützvektor oder Stützpunkt wählen ich habe mich jetzt für P entschieden also das ist der stützvektor oder OP werde die stützvektor der ersten geraten
- als erster spannvektor für unser Ebene können wir natürlich diesem Vektor u nehmen und ich beziehe mich jetzt wirklich auf den grünen
- und wir brauchen noch einen zweiten spannvektor Leben auch spannend und ich hoffe dass jeder auf die Idee kommt an dieser Stelle an diesem Vektor PQ zu
- bilden also bilden wir an dieser Stelle diesen Vektor BQ und damit können wir auch die Ebene aufspannen das ganze jetzt noch rechnerisch auf der linken
- Seite also Doppelpunkt Vektor x wir mitbekommen habt glauben wir eigentlich komplett die erste Geradengleichung mit stützunters
- Vektor das wäre dann unser P und Vektor u und das schreibe ich auch hier ab an dieser Stelle also 1 - 2 und 0 plus D mal
- und dann der erste Richtungsvektor 2-5 und 1 und dann müssen wir nur noch diesem Vektor Pack go bilden also puq das wäre so vereinfacht gesehen
- Punkt B oder der Ortsvektor zu P und das wäre der Ortsvektor zu Q wir rechnen jetzt einfach mal q-p1 minus 1 ist null drei minus minus 2
- sind entsprechend 5 und 5 - 0 sind wiederum 5 also das wäre dann die fertige Ebenengleichung zum Schluss noch ein paar Hinweise wenn
- ihr diese Ebenen vollständig verstehen wollt dann macht es durchaus Sinn dass ihr euch auch noch die Eigenschaften von Ebenen Parameterform anschaut könnt ihr
- auch die wirkliche Bedeutung dieser zwei Parameter verstehen außerdem gibt es natürlich auch noch Ebenen in andere Formen wie normale Form oder
- Koordinatenform deshalb ist es wichtig dass Sie auch die Umformungen oder Umwandlung von der einen anderen Form beherrscht einmal von Parameter in
- normalen und Koordinatenform aber natürlich auch die rückwärtssichtung von Koordinaten in normalen oder Parameter Form wenn Bedarf Tutorials zu alle diese
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