Normalenform, Koordinatenform/-gleichung, Ebenen, Übersicht, Vektorgeometrie | Mathe by Daniel Jung

Das Wichtigste aus dem Video

Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.

1. 0:18 Die Parameterform einer Ebene besteht aus dem Ortsvektor eines Ebenenpunkts und zwei mit Parametern multiplizierten Spann- beziehungsweise Richtungsvektoren.
2. 0:48 Die allgemeine Normalenform lautet \(\vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0\), wobei \(\vec n\) der Normalenvektor und \(\vec p\) der Ortsvektor eines beliebigen Punkts der Ebene ist. Durch Ausmultiplizieren entsteht die Koordinatenform.
3. 1:41 Aus drei Punkten \(A\), \(B\) und \(C\), die nicht auf einer Geraden liegen, erhältst du eine Parameterform: Nutze etwa \(A\) als Stützpunkt und bilde zwei Richtungsvektoren wie \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\).
4. 2:18 Der Normalenvektor \(\vec n\) steht senkrecht auf der Ebene und damit auch auf ihren Richtungsvektoren, etwa \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\).
5. 2:52 Für jeden Ebenenpunkt \(X\) liegt der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AX}=\vec x-\vec a\) in der Ebene und ist daher orthogonal zum Normalenvektor. Weil das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren null ist, folgt \(\vec n\cdot(\vec x-\vec a)=0\).
6. 4:30 Wenn der Normalenvektor bekannt ist, setzt du ihn zusammen mit einem Ebenenpunkt in die Normalenform ein und lässt \(\vec x=(x_1,x_2,x_3)\) allgemein. Das Ausmultiplizieren liefert anschließend die Koordinatenform.