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Quadratische Funktionen - Alles, was du wissen musst!
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 28 Zeilen
- Was sind quadratische Funktionen und wie bestimmst du ihre Funktionsgleichung? Das erfährst du hier. Quadratische Funktionen erkennst du im Koordinatensystem an ihrer
- typischen Form. Sie bilden nämlich immer eine Parabel. In der Funktionsgleichung zeigt dir hingegen das x², dass es sich um eine quadratische Funktion handelt.
- Die einfachste quadratische Funktion besteht nur aus dem x². Du nennst sie auch Normalparabel. Eine Besonderheit der Normalparabel ist, dass sie sowohl positive als auch negative x-Werte hat,
- aber nur positive y-Werte. Das siehst du auch, wenn du eine Wertetabelle aufstellst. Hier fällt noch etwas auf: Die quadratische Funktion hat für jeden y-Wert zwei x-Werte,
- einen positiven und einen negativen. Zum Beispiel haben x=−2 und x=2 beide den y-Wert 4. Die Funktion ist also spiegelsymmetrisch zur y-Achse.
- Der Scheitelpunkt, also der tiefste Punkt einer Normalparabel, liegt bei (0∣0). Aber das muss Am einfachsten ist die Verschiebung in y-Richtung, das heißt nach oben
- oder nach unten. Dazu addierst du zu x² den Wert e. Für e=2 verschiebst du die Parabel beispielsweise um 2 nach oben. Der Scheitelpunkt liegt dadurch bei (0∣2).
- Du kannst die Parabel aber auch in x-Richtung verschieben, also nach rechts oder nach links. Dafür ziehst du in Klammern den Wert d von x ab. d=2 verschiebt die Parabel und somit
- auch den Scheitelpunkt zum Beispiel um 2 nach rechts und d=−2 verschiebt sie nach links. Pass dabei auf, dass du die Vorzeichen nicht durcheinanderbringst:
- Plus in der Klammer verschiebt nach links, Minus nach rechts. Du kannst die Parabel aber nicht nur hin- und herschieben, sondern auch strecken oder
- stauchen. Das heißt, du machst sie enger oder breiter. Was davon der Fall ist, erkennst du an dem Wert a, der vor dem Ausdruck x² in der Funktionsgleichung steht.
- Ist a größer als 1, wird die Parabel enger. Ist a zwischen 0 und 1, wird sie breiter. Je nachdem, ob a ein positives oder ein negatives Vorzeichen hat,
- ist die Parabel zudem nach oben oder nach unten geöffnet. Aber Vorsicht: Bei quadratischen Funktionen darf der Wert a nie 0 sein,
- sonst hast du keine Parabel mehr. Prima, schauen wir uns als Nächstes die Funktionsgleichung einer quadratischen
- Funktion etwas genauer an. Oft hast du die Gleichung einer Parabel nicht direkt gegeben, sondern musst sie selbst herausfinden.
- Eine Möglichkeit, eine quadratische Funktion darzustellen, ist die Scheitelpunktform. Sie sieht so aus:
- f(x)=a(x−d)²+e Besonders praktisch an ihr ist, dass wir hier die Werte d,
- e und a direkt ablesen können. d verrät dir die Verschiebung entlang der x-Achse, e die Verschiebung entlang der y-Achse und a die Streckung oder Stauchung.
- Du hast zum Beispiel folgende Parabel gegeben. Du kannst direkt den Scheitelpunkt (2∣3) ablesen. Das heißt, die Normalparabel wurde um zwei Einheiten
- nach rechts und drei Einheiten nach oben verschoben. d ist also 2 und e ist 3. a kannst du leider nicht direkt aus dem Graphen ablesen. Du musst
- ihn daher berechnen. Dafür nimmst du dir einen beliebigen Punkt auf der Parabel zur Hilfe. Der Graph läuft zum Beispiel durch den Punkt (1∣5).
- Diesen Punkt setzt du dann für x und y in die Scheitelpunktform ein. Danach löst du nach a auf. Zuerst lösen wir dafür die Klammer auf. 1−2=−1 und (−1)²=1.
- Weil a⋅1=a ist, kannst du die 1 auch streichen. Dann ziehen wir die 3 auf beiden Seiten ab und haben unsere Lösung:
- a=2 Jetzt setzen wir das a in unsere Scheitelpunktform ein und erhalten die gesuchte Funktionsgleichung:
- f(x)=2(x−2)²+3 Super. Eine weitere Darstellungsmöglichkeit
- der Funktionsgleichung ist die Normalform. Sie sieht so aus: f(x)=ax²+bx+c
- Wie du die Scheitelpunktform in die Normalform umwandelst und umgekehrt, zeigen wir dir hier im Video.
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