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ALLE Ableitungsregeln mit Beispielen – Übersicht Ableitungen von Funktionen bilden
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 103 Zeilen
- hallo ihr lieben in dem heutigen video möchte ich euch alle ab leitungs regeln in einer übersicht mit vielen beispielen geben
- wir starten hier vorne beim ableiten von konstanten das ist eigentlich das schönste was passieren kann wenn ihr wirklich nur eine zahl da stehen habt
- ohne dass da nix noch irgendwie mit dabei ist wirklich nur eine zahl dann fällt sie einfach weg beim ableiten also da käme jetzt 0 raus auch hier
- unten in dem beispiel auch wenn die zahl super hässlich aussieht sowie wurzeln und man das beispiel sieht und erstmal schnappatmung bekommt weil man denkt um
- gottes willen was muss ich jetzt hier tun wir schauen uns das an wenn da kein iks mit drin steht also in irgendeiner form
- ob das nix ist oder mal hoch ex oder sonst irgendwas wenn dann wirklich nur - wurzel aus zwei steht irgendwas was man mit dem taschenrechner so ausrechnen
- kann dann fällt das beim ableiten weg und da kommt nun raus ist schon mal eine schöne regel oder das ist der anfang das
- einfachste was sein kann wir gehen über zur potenz regel das ist die die man eigentlich am häufigsten an wendet man möchte so was wie iks hoch
- drei ableiten und da ist folgendermaßen die drei also diese hoch zahl die wird vorne dran gezogen man macht so ein drei mal wenn
- man es ableitet und aus dem x3 wird jetzt folgendes nämlich ein ex hoch zwei also die alte hoch zahl wird um 1 verkleinert das ist die regel
- das bedeutet nochmal zusammengefasst die drei kommt hier nach vorne und die hoch zahl wird um 1 verringert in eurem herbst oder eurem buch habt ihr
- dann die regel folgendermaßen stehen wenn man nix hoch n ableiten möchte das ist ja hier noch hier ist n3 in dem fall dann kommt das n vorne dran als faktor
- und dann wird um 1 verkleinert also aus dem n wird ein n -1 und diese regel kann man bei sehr vielen fällen anwenden zum beispiel auch hier unten iks hoch 1000
- das ist genau das wir sehen das ist nix hoch irgendeine zahl und dann machen wir das noch mal noch mal mit der regel das heißt die 1000
- wird vorne dran geschrieben und aus dem ixs hoch 1000 wird ein iks hoch und die 1001 kleiner also 999 egal wie herzlich die zahlen aussehen
- das ist die regel auch im negativen iks hoch - 7 hat genau diese struktur hier wir ziehen also diese - 7 vorne dran immer als komplette hochtal gedacht und
- dann machen wenn ich's hoch und jetzt müssen wir die hoch zahl um 1 verringern also habt immer im kopf - 7 -1 rechnen das ist bei negativen zahlen dann halt
- eben -8 da muss man sich ein bisschen daran gewöhnen dass die sozusagen größer also außer 7 wir die acht aber das ist ja dann kleinere negative zahlen
- genau das ist die potenz regel also hoch zahlen nach vorne ziehen und hochsal um 1 kleiner machen was gibt es noch die faktoren
- das ist jetzt folgendes wenn also das hier kennen wir jetzt schon nex-5 wie wir das ableiten das haben wir gerade gesehen
- jetzt steht hier aber vor meinem x5 noch so ne 3 also dreimal steht da vorne dran das ist ein faktor alles was mit einem mal verbunden ist zählt als faktor und
- da ist es so diese teile bereiten gar keine probleme die werden eins zu eins so übernommen beim ableiten also die drei die mit einem mal verbunden ist
- bleibt beim ableiten einfach genauso da dreimal an der verändert sich gar nichts und nur dieses x5 muss ich dann ableiten was wir eben gesehen haben bedeutet die
- fünf kommt vorne dran und aus dem x5 wird ein ex hoch 41 kleiner die hohe zahl und dann kann man es noch ausrechnen
- dreimal 15 15 und die x4 dahinter auch wenn die dinge schlimmer aussehen wurzeln sind immer sein gutes ding um
- ausdrücke schlimmer zu machen hier habe ich jetzt noch was eingebaut nicht nur die wurzel hier sondern unsere variable heißt nicht mehr xviii hier
- oben sondern t es kann natürlich auch sein die variable muss ja nicht immer iks heißen aber das was hier drin steht das ist das wonach
- wir ableiten also genau mit den regeln die wir bisher hatten unsere unbekannte heiß hat ihm jetzt t was haben wir hier wenn wir das
- untersuchen steht eine mal zeichen vor diesem t hof 4 das heißt diese wurzel 2 ist ein faktor und wird einfach beim ableiten
- übernommen das heißt die wurzel 2 bleibt so hässlich sie auch ist sie wird einfach mitgenommen und nur das t hoch 4 wird
- ganz normal abgeleitet wie wir es hatten die vier kommen nach vorne und aus dem t hoch 4 wird ein t hoch drei das beispiel hier ist auch bezüglich der faktor regel
- abzuleiten das sieht nur ein bisschen eigenartiger aus ich würde euch immer raten last also schreibt niemals das ixs mit einem bruch mit drin sondern hier
- könnte man das ja eigentlich schreiben als ein fünftel x iks hoch drei also dass ihr das x3 nicht in den zähler schreibt sondern hinten dran und vorne
- eben diesen bruch hin schreibt und jetzt sieht man dass schon viel besser der 1 dass ein fünftel ist einfach nur ein faktor vorne dran mit
- einem mal das heißt es bleibt beim ableiten mit dabei und aus dem xo 3 das wissen wir jetzt schon wird ein 3x quadrat vielleicht sage ich noch eine
- sache der faktor muss natürlich nicht vorne nicht immer vorher dran stehen also so was wie ich so fünf mal sieben das ist ja auch ein faktor also es
- reicht mit mal muss es verbunden sein auch da bleibt die sieben beim ableiten einfach mit dabei die können nach vorne dran schreiben und dann wird er 65 eben
- als fünfmal so hoch vier abgeleitet gut das war de facto regel dann gibt es noch die summen regel das bedeutet wir kriegen jetzt mehrere teile die mit
- einem plus oder minus verbunden werden und da wissen wir noch gar nicht wie wir das ableiten dürfen aber es ist so einfach wie man sich wünscht wir dürfen
- jeden teil einzeln ableiten also das quadrat wird einzeln abgeleitet dann dem dieser - 53 teil und dann hinten die sie kümmern wir uns erst noch
- ein bis sechs grad das ist mit der potenz regel abzuleiten die zwei kommt vorne dran und aus dem ixs quadrat wird ein x1 oder einfach nur
- die einst kann man dann auch weglassen 2x dann kommt ein - die fünf ist mit einem mal verbunden das zählt auch wirklich nur für zahlen und faktor ist
- ja nur als zahl zu sehen die fünf bleibt also beim ableiten und aus dem x3 die drei kommt nach vorne und aus dem xo 3 wx quadrat und was passiert
- hier hinten auch das leiten wir einzeln ab da ist gar nix drin was haben wir gelernt das ist eine konstante die fällt beim ableiten einfach weg also ihr könnt
- ihr plus null schreiben oder einfach gar nichts und jetzt kann man das noch ein bisschen vereinfachen 2x lässt man so stehen
- das rechnet man zusammen - 15x quadrat also so einen regel so wie man sich wünscht bei plus und minus darf man jeden teil einzeln ableiten und die welt
- ist gut im gegensatz zu produkt regel bei mal wir haben jetzt hier das ist jetzt ein beispiel das könnte man auch anders
- lösen aber ich möchte euch nun mal die produkt regel jetzt klarmachen wie die funktioniert wir haben einen teil der einig es enthält multipliziert mit einem
- anderen teil der auch ein iks enthält und jetzt sag es euch direkt ihr könnt auch sagen ich rechne das einfach zusammen also das ist ja nix hoch acht
- ich darf die hochbahn er einfach zusammen rechnen und dann leite ich das ab ja klar geht würde ich empfehlen aber ich möchte euch jetzt die produkt
- regel zeigen weil die funktionen sind nicht immer so einfach wie sicher stehen es kann sein dass du so was kommt ex quadrat x xx x
- sinus iks also immer dann wenn ihr zwei funktionen miteinander multipliziert also in dem ein teil stecke nix und in dem anderen teil steckt nix dann braucht
- ihr die produkt regel und die möchte ich jetzt hier in dem einfachen beispiel demonstrieren weil die da wissen wir noch gar nicht wie man die ableitet wenn
- ihr so ein produkt von funktionen habt dann nennt ihr einen teil davon und in anderen teil v und dazwischen ist diesmal das heißt
- eine ist x3 und unser v ist x5 jetzt leiten wir jedes einmal ab für sich und strich abgeleitet das kennen wir xo 3 abgeleitet wird dreimal x2 und auch
- v abgeleitet kennen wir auch das sind 5 kommt nach vorne und dann wird er ein x4 draus und die produkt regel sagt jetzt folgendes wir dürfen so ein produkt
- ableiten und zwar mit folgender regel die muss man einfach auswendig lernen musste ich mal v plus x v strich das ist die produkt regel lernt die einfach
- auswendig und dann setzt jetzt die sachen ein die wir hier also hatten das wäre strich haben wir gesagt ist 3x quadrat das wird x dem v sowie das feld
- war das ist x5 dann kommt im plus dann kommt unser also das xo 3 was wir hier so schön in einer tabelle sozusagen aufgeschrieben haben und das wird noch
- mit dem v strich multipliziert also mit dem 5 x iks hoch vier schreibt euch das am anfang erstmal schön auf damit ihr eine übersicht habt und nicht
- durcheinander kommt und dann kann man die sachen eben noch zusammen rechnen also xf zweimal x5 sind x7 und hinten kommt auch ex 7 raus also fünf x7 und da
- kann man selbst in dem fall tatsächlich zu acht x7 zusammenrechnen das ist jetzt aber nur für das beispiel habe ich ja gesagt habe ich extra ein
- einfaches gewählt das wird die entfernte 10 da kaum schwierigere aufgaben auf euch zu das aber so viel zur produkt regeln
- und es gibt es natürlich nicht nur mit mal denn wir kennen auch durch und da kommt dann die kurz zinsen regel ins spiel prozenten regel gilt für brüche
- also oben steht was mit ex unten steht was mit ex da sollte man die patienten regel anwenden oder muss man dann tatsächlich auch die geht sehr ähnlich
- zur produkt träge auch hier nennen wir einen teil und den anderen teil v ist das was oben im zeller steht v das was unten erst also dass 2 x3 und x5 ist
- unterstrich leid mir das ding einmal ab was haben wir gelernt hier kommt jetzt noch was ins spiel was zur potenz regel zählt was wir aber noch nicht gesehen
- haben und zwar wenn da nur nix hoch 1 steht beim ableiten also eigentlich gar keine hoch zahl so wirklich nicht da steht die lassen wir eigentlich weg 2x
- leitet man einfach so ab da fällt das ixs einfach weg also die ableitung von iks ist 1 merkt euch das noch das brauchen wir sehr sehr häufig wenn ihr
- iks ableiten möchte kommt da einfach eins raus das heißt hier steht zweimal dass die zwei bleibt beim ableiten ja das haben
- wir gelernt und aus dem xvi 1 also zweimal 1 bis 2 und die drei als konstante fällt komplett weg sehr schöne ableitung auch hier v strich
- leiten wir ab das ist fünfmal iks hoch 4 und jetzt kommt die eigentliche quotienten regel ins spiel die folgendes sagt bruch mit hingeschrieben und da
- kommt folgendes reinen lauter curiel die man auch auswendig lernen muss steht da jetzt strich x v serie mit zur produkt regel von eben jetzt kommt aber ein
- minus um x v strich und unten wird das fahrwasser vorher stand einmal quadrat das ist die kurze und da setzen wir jetzt alles an
- wir haben ja schon viel vorarbeit geleistet strich ist 2 v ist x5 dann kommt ein - ist dass da immer wenn ihr summen habt schön eine klammer drum
- herum weil das er euer komplette ist und es wird x v strich das ist dieses ding bruch strichen v zum quadrat heißt der komplette nenner wird einmal quartiert
- so wie er ist also x5 wird kastriert und jetzt muss man das noch weiter vereinfachen kürzen wenn möglich also da werde ich jetzt nicht weitergehen das
- kommt dann immer auf die aufgabe an was man da zu tun hat aber einfach dinge ausreichende in klammern auflösen und dann versuchen noch mal was
- auszuklammern um hier unten was weg zu kürzen das geht sehr häufig aber da müsste einfach schauen was die aufgabe eben hergibt das hier ist jetzt erstmal
- nur die kurzen regel an sich den schritt des abgleitens haben wir es gemacht jetzt geht es nur noch ums vereinfachen aber das kriegt ja hoffentlich auch
- selbst dann gibt's nicht nur die produkt regel und prozenten regel sondern auch die unglaublich beliebte ketten regel kettenring dieses ding nutzt man immer
- dann oder muss man dann nutzen wenn funktionen ineinander verschachtelt sind was bedeutet das ja wir haben hier in dieser klammer dieses x4 +5 stehen das
- ist eine innere weil er in der klammer steht funktion das nenne ich einfach mal alles und wir haben eine äußere funktionen nämlich
- dieses hoch 7 das wird meine funktion werden also funktionen die ineinander verschachtelt sind muss man mit der ketten regel
- ableiten das ist zum beispiel auch so was wie wurzel aus aix quadrat - 5 da braucht man die ketten regel weil man die wurzel funktion hat und in der
- wurzel funktion steckt noch eine andere funktion drin oder sinus von 2x auch da hat man die sinus funktion und innen drin steckt schon wieder was anderes
- oder 5x genau dasselbe die ehe funktion und innen drin hat man noch mal was immer in diesen fällen braucht man die ketten regel und die
- funktioniert folgendermaßen wir haben ja unser das ist die innere funktion die heißt x4 +5 und wir haben unser v das ist dieses ding da hoch 7
- also dieses ding das innere hoch 7 das haben wir als coo zeichnet deswegen können wir das als hoch 7 ausschreiben ja also die innere wird hoch 7 genau und
- jetzt leiten wir jedes einzelne mal ab warum ich jetzt komplett alles grün schreibt sich auch nicht sie das stelle ich brauche das hier ist rot jetzt
- leiten wir das ab x4 wird zu 4x hoch 3 und die 5 fällt weg und v strich das leiten wir jetzt mit also stelle ich froh hier wird eigentlich nichts stehen
- dass wir zu siebenmal so hoch 6 ganz normal abgeleitet und jetzt sagt die ketten regel folgendes wir leiten das ab indem wir die innere ableitung also
- strich einfach mit der äußeren ableitung multiplizieren das ist alles innere ableitung mal äußere ableitung also strich mal strich und da haben wir jetzt
- schon gute arbeit geleistet wir haben die ableitung ja schon strich ist das 4x hoch drei und das muss jetzt einfach nur multipliziert werden mit v strich
- jetzt schreiben wir hier aber nicht siebenmal hoch 6 hin das war ja total blöd wenn er plötzlich drin steckt sondern wir setzen unser uhr nochmal
- zurück also oder zurück substitution sozusagen zu dem was es mal war unser war ja die innere als das was in der klammer stand dieses x4 +5 das war
- unser und das müssen wir hoch 6 nehmen also mit der canon regel muss man erstmal zurechtkommen sich ein bisschen einarbeiten irgendwann macht man viele
- dinge im kopf aber am anfang würde ich euch sagen schreibt euch die innere und äußere immer dann hier einmal hin leitet die ab und dann müsst ihr die ableitung
- einfach nur noch miteinander multiplizieren gut das waren die einzelnen regeln wie man wurzeln ableitet die funktion ableitet sinus
- cosinus und tangens das sind dann nur noch spezialfälle von diesen regeln die wir gerade gelernt haben es gibt auch welche die man auswendig
- lernen muss zu den einzelnen hatte ich dann aber schon videos gemacht das hier ist jetzt nur so eine übersicht über alle wirklichen ab leitungs regeln die
- es geht ich hoffe dass ich euch einen überblick verschaffen konnte und dass sie jetzt wisst was ihr überhaupt anwenden könnt
- falls ihr fragen habt meldet euch wie immer gerne in den kommentaren