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Linearkombinationen und lineare Abhängigkeit einfach erklärt - Beispiele, Vektoren erklärt!
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 33 Zeilen
- um einen Vektor aus anderen Vektoren zu konstruieren nutzen wir Linearkombinationen diese schauen wir uns in diesem Video genauer an viel Spaß
- [Musik] eine linear Kombination beschreibt eine Summe von Vielfachen von Vektoren die
- Linearkombination ist selbst ein Vektor und kann in der Ebene mit der Form R mal Vektor a plus s mal Vektor B bezeichnet werden A und B sind dabei Vektoren die
- mit den Faktoren r und s multipliziert werden diese Form können wir durch das Hinzufügen weiterer Vektoren auf höhere Dimensionen anpassen im
- dreidimensionalen Raum hieße die Kombination dann also eher mal Vektor a plus s mal Vektor B + T x C wir schauen uns diese Formel zunächst in der
- zweidimensionalen Ebene am Beispiel der Vektoren a mit zwei drei vier und B mit 6 8 - 4 an eine Linearkombination entsteht nun dadurch dass wir die
- einzelnen Vektoren mit einem Faktor multiplizieren zum Beispiel den Vektor a mit dem Faktor 2 und den Vektor B mit dem Faktor 1 und anschließend die beiden
- resultierenden Vektoren auf addieren dies bedeutet für unseren Fall 2 mal Vektor zwei drei vier plus einmal Vektor 68 - 4 die Summe Vektor 10 14.4 der
- Vektor v = 10 14.4 ergibt sich also aus zwei Mal a plus einmal B und ist somit eine Linearkombination aus den Vektoren A und B ein spannender Fall im Raum sind
- die drei Einheitsvektoren V1 mit 1.00 V2 mit 010 und V3 mit 001 die wir durch die Gleichung Ehre mal 1.00 + S mal 010 plus t x001 = a bzw R mal V1 plus s mal V2 +
- T xv3 = a ausdrücken können diese linear Kombination ermöglicht uns die Darstellung jedes beliebigen Vektors im Raum da wir uns in xy und Z-Richtung
- bewegen können so bestimmt z.B der Faktor er die x-Koordinate des entstehenden Vektors nehmen wir als Beispiel den Vektor K mit
- 8312 wenn wir diesen als Linearkombination darstellen wollen können wir schreiben 8 mal 1 0 0 + 3 x 0 1 0 + 12 x 0 0 1 gleich 8312 also Vektor
- K das zeigt uns dass jeder beliebige Vektor unabhängig ob im Raum oder in der Ebene als Linearkombination der Einheitsvektoren der Koordinatenachsen
- geschrieben werden kann unser Wissen über die Linearkombination können wir nutzen um die lineare Abhängigkeit von Vektoren zu prüfen
- grundsätzlich können wir eine Linearkombination in der Ebene auch in folgender Form schreiben Ehre mal a plus s mal B = 0 in diesem Fall schreiben wir
- alle Vektoren mit ihren Faktoren auf die eine Seite der Gleichung und setzen die Summe mit dem Nullvektor gleich nun können wir untersuchen wie viele Werte
- es für die Faktoren R&S gibt damit die Gleichung erfüllt ist entspricht nur bei einer Lösung von r = 0 und = 0 die Summe der Vektoren dem Nullvektor so sind die
- Vektoren Linie unabhängig das heißt dass keine der Vektoren als Summe bzw Linearkombination des anderen dargestellt werden kann
- beispielhaft können wir das an eine Linearkombination in der Ebene mit den Vektoren A = 42 und B = - 28 sehen für die Gleichung R mal a plus s mal B =
- 0 bzw R mal 42 + S mal -28 = 0 ist 0 0 die einzig mögliche Lösung für R und S wir können zwar versuchen die erste Zeile auf Null zu bringen indem wir für
- er gleich 1 und S = 2 einsetzen jedoch entsteht dann in der zweiten Zeile ein Widerspruch da sich nach dem Einsetzen der Werte für R&S die Gleichung 18 = 0
- ergibt somit sehen wir dass es für diese Gleichung nur 0 als Lösung geben kann wodurch A und B linear unabhängig sein müssen
- anders sieht es hingegen aus wenn es für die Gleichung R mal a plus s mal B = 0 andere Lösung als r = S = 0 gibt dann sind die Vektoren der Linearkombination
- linear abhängig und es gibt unendlich viele Werte die wir für R&S einsetzen können um die Gleichung zu erfüllen in diesem Fall kann ein Vektor als
- Linearkombination des anderen dargestellt werden das heißt wir können ein Vektor aus dem vielfachen eines anderen Vektoren nachbilden schauen wir
- uns die Vektoren a mit 42 und B mit -2 -1 an erkennen wir dass der Vektor B ein Vielfaches des Vektors a ist als Linearkombination geschrieben sieht
- unser Beispiel folgendermaßen aus er mal a plus s mal B = 0 bzw R mal 42 + S mal -2 - 1 = 0 0 schnell sehen wir dass wir zum Beispiel eher gleich eins und S = 2
- oder auch eher gleich zwei und = 4 einsetzen können damit die Gleichung eine wahre Aussage ergibt es gibt damit unendlich viele Werte Kommentare für R&S
- welche die Gleichung erfüllen in der Ebene ist hier die Besonderheit dass zwei linear abhängige Vektoren auf einer Linie liegen und somit auch parallel und
- vielfache voneinander sind wir sagen dass die Vektoren kollinear sind drei Vektoren die im raumlinie abhängig sind nennen wir hingegen konplaner das heißt
- dass die drei Vektoren auf einer Ebene liegen wir hoffen euch hat das Video gefallen lasst uns gerne ein Like und Kommentar
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