Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Erzeugendensystem und lineare Unabhängigkeit - Vektorräume
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 45 Zeilen
- Yeah, eine fette Produktion. Und kennt ihr das Ding, die amerikanische Unabhängigkeitserklärung. Beides hat absolut mal gar nichts mit
- Mathe zu tun, oder doch? [Musik] Heute geht's mal wieder um Vektorräume. Damit ihr hier versteht, von was wir
- labern, schaut euch auch die beiden Videos zu den Vektorräumen an. Heute gucken wir uns an, wie Vektoren gebaut werden. Wir wollen heute die erzeugenden
- Systeme von Vektorräumen angucken und wir wollen wissen, was lineare Unabhängigkeit heißt. Klar, dass da was erzeugt wird, ist ja logisch, aber was?
- Gucken wir uns mal den dreidimensionalen Vektorraum aus der Schule an, der mit reellen Elementen uns den Verknüpfungen plus und mal, wie ihr sie kennt. Zur
- Vereinfachung schreiben wir das Vektor Plus und die skalare Multiplikation hier mal ganz normal. Details zu dem Unterschied gibt's in den Vektorraumvos
- von uns, die wir gerade schon verlinkt haben. Wenn ihr z.B. den Vektor 324 anguckt, der ist ja das gleiche wie 3 x 1 00 + 2 x 0 1 0 + 4 x 001. Ihr habt
- also gerade aus den drei Vektoren 100, 010 und 001 und Körperelementen einen neuen Vektor gebastelt. Und egal, welchen Vektor ihr bauen wollt, aus den
- drei Vektoren kriegt ihr den zusammen mit den richtigen Elementen aus den reellen Zahlen immer gebaut. Also sind die drei Vektoren sowas wie ein Bausatz.
- Könnt ihr euch so wie die verschiedenen Zellen in eurem Körper vorstellen. Der Mensch hat davon nur paar hundert verschiedene Muskelzellen, anderem Hirn,
- Blut, Körperchen, Spermien und Eizellen. Weiß der Geier was noch. Aber mehrere Muskelzellen zusammen geben erst einen Muskel. Erst paar Hirnzellen zusammen
- machen ein Hirn. Euer Körper ist deshalb wie aus einem Bausatz aufgebaut aus den Zellen. Genauso ist es auch mit den Vektorräumen. Jeder Vektorraum lässt
- sich aus so bestimmten Bausatzveoren zusammenbauen und der Bausatz für einen Vektorraum hat einen Namen. Wenn man aus einem Bausatz E alle Vektoren im
- Vektorraum V bauen kann, dann wird der Bausatz erzeugenden System von V genannt. Wir haben ja den Vektor 324 vor und zu zusammengebaut. Genauso gut kann
- man den aber auch so zusammenbauen. Könnt gerne nachrechnen. Euer Bausatz ist also nicht eindeutig. Also, wenn ihr sagt: "Ey, ich baue meinen Körper nicht
- aus den Zellen auf, sondern die Zellen baue ich erstmal vorher aus den verschiedenen chemischen Elementen auf, dann wäre euer Körper jetzt zwar nach
- wie vor aus Zellen aufgebaut, aber die sind ja auch aus Elementen aufgebaut, also auch euer Körper." Was ist jetzt also die Definition von dem erzeugenden
- System? Na ja, es stimmt immer noch das, was vorhin war. Wenn ihr jeden Vektor draus bauen könnt, ist es ein erzeugendsystem. Nur gibt's mehrere
- Baukästen, die funktionieren. Und ihr könnt auch aus demselben Baukasten auf unterschiedliche Weise den Vektor bauen. Also ist auch nicht eindeutig, welche
- Zahlen ihr da vorne dran nehmt. Gut, Baukasten klingt nicht wahnsinnig mathematisch. Also, wie sieht das formal aus? Wir machen jetzt mal Vektorpfeile
- drüber und damit ihr den Unterschied zwischen Zahlen und Vektoren seht. Ihr nehmt einen beliebigen Vektor aus eurem Vektorraum. Wenn ihr jeden Vektor mit
- dem gleichen Set an Bauvektoren E aufbauen könnt, dann ist das Set ein erzeugendystem. Dabei gibt's für jeden Vektor mehrere Möglichkeiten, welche
- Zahlen ihr nehmt und auch mehrere Möglichkeiten, mit welchem Bausatz ihr überhaupt anfangt. Ach ja, wenn ihr den Vektorraum nehmt und einfach alle
- Vektoren draus, dann ist das auch ein erzeugendes System, weil mit allen Vektoren könnt ihr ja auch wohl alle Vektoren zusammenbauen. Jetzt ist
- natürlich nur blöd, dass man den Vektor auf verschiedene Weisen aus dem Bausatz aufbauen kann. Die nichtutigkeit pisst noch bisschen an. Woran liegt das? wenn
- man einen von den Bauklötzen aus den anderen Bauklötzen aufbauen kann. Ihr habt z.B. die drei Bauklötze als erzeugenden System. Jetzt könnt ihr aber
- den dritten ja einfach aus den ersten beiden aufbauen. Die hängen also irgendwie zusammen und das kann auch bei erzeugenden Systemen mit Vektorräumen so
- sein. Erinnert sich noch jemand an unser Beispiel von vorhin? Die grünen Vektoren sind Teil des erzeugenden Systems. Jetzt merken wir aber irgendwann, hey, den
- letzten Vektor kann ich ja aus den drei anderen zusammenbasteln. Fachwort dafür: Der Vektor ist von den anderen dreien linear abhängig. Wenn
- eine Menge von Vektoren linear abhängig ist, gilt, ich kann mit einem bestimmten Rezept paar Vektoren aus der Menge zusammenrechnen und krieg dann andere
- Vektoren aus der Menge raus. Das war so wie bei den Bauklötzchen. Da konnte ich zwei zusammenpacken, um den dritten zu bekommen. Ein Spezialfall? Klar, wenn
- ich für alle Zahlen null einsetze, stimmt das immer. Deswegen nennt man es die triviale Lösung, wenn einfach überall null eingesetzt wird. Man kann
- die rechte Seite jetzt auch noch nach links bringen, dann steht rechts der Nullvektor. Immer wenn ihr paar Vektoren so zusammenbauen könnt, sind sie linear
- abhängig. Also, sobald ihr die Vektoren aus dem erzeugenden System so zusammenbasteln könnt, dass am Ende der Nullvektor rauskommt, sind sie linear
- abhängig. Nur dürft ihr nicht null einsetzen. Die Bedingung für das Gedöns in Matheddeutsch sieht so aus. Ihr müsst die Vektoren E halt irgendwie so
- verknüpfen können, dass ihr den Nullvektor bekommt. Dabei darf Lambda natürlich nicht 0 sein. Das war die triviale Lösung, die wir gerade hatten.
- Drückt einfach kurz Pause, um euch die Definition klar zu machen. Was könnte linear unabhängig dann bedeuten? Ihr müsst überall Null einsetzen, damit
- rechts der Nullvektor steht, weil klar, mit der Null geht's immer, aber eben mit keinen anderen Zahlen. Z.B. Die grünen Vektoren 100, 010 und 001 sind linear
- unabhängig. Ihr könnt keinen von denen dreien aus den beiden anderen aufbauen. Denkt kurz drüber nach, wenn das für euch logisch ist, habt ihr die lineare
- Unabhängigkeit verstanden. Also die Kurzform, ihr nehmt einen Baukasten an Vektoren. Wenn ihr da draus den kompletten Vektorraum bauen könnt, ist
- es ein erzeugenden System. Wenn ihr aus irgendwelchen Teilen im Baukasten andere Teile da drin bauen könnt, sind die linear abhängig. Also nur, wenn ihr paar
- Vektoren habt, von denen keiner aus den anderen gebastelt werden kann, dann sind sie linear unabhängig. Weil das Ganze wieder richtig trocken ist, kommt da
- bald auch wieder ein Beispielvideo dazu. Sobald es draußen ist, wird es hier rechts verlinkt. Und weil wir vorhin schon so von voll vielen assi mega
- geilen Zellen gelabert haben, guckt mal auf unserem Bio Channel vorbei und lasst unbedingt ein Abo. Da ist echt eine geile Abwechslung zu dem ganzen Mathte
- gelaber und versprochen auch nicht auf dem Niveau. Haut rein Freunde und macht's gut. Co?