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Graphen auf Krümmung untersuchen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 11 Zeilen
- In diesem Film lernst du, wie du den Graphen einer Funktion auf sein Krümmungsverhalten untersuchst. Untersuche die Funktion f mithilfe der 2. Ableitung auf ihr Krümmungsverhalten.
- Bestimme zunächst die ersten beiden Ableitungen. f'(x) ist gleich 3x²–6x. f''(x) ist gleich 6x–6.
- Zur Untersuchung der Krümmung benötigst du die Nullstellen der 2. Ableitung. Die einzige Nullstelle von f'' ist x=1.
- Die Nullstellen von f'' teilen den Definitionsbereich von f in Krümmungsintervalle. Es gibt immer ein Krümmungsintervall mehr als Nullstellen, bei einer Nullstelle also zwei Intervalle.
- Zum 1. Intervall gehören alle x-Werte kleiner als 1 und zum 2. Intervall gehören alle x-Werte größer als 1.
- Wähle aus dem ersten Intervall einen beliebigen Wert, zum Beispiel 0, denn 0 ist kleiner als 1. Setze ihn in f'' ein. f''(0) ist gleich 6·0–6, also –6.
- –6 ist kleiner als 0. Wenn der mit f'' berechnete Wert kleiner als 0 ist, dann ist der Graph von f im betrachteten Bereich rechtsgekrümmt.
- Der genaue Funktionswert hat übrigens keine Bedeutung. Nur das Vorzeichen ist wichtig. Merke: „kleiner als 0“ gleich „rechtsgekrümmt“. Betrachte das zweite Krümmungsintervall.
- Ein x-Wert aus diesem Intervall ist zum Beispiel die 4. Setze 4 in f'' ein. f''(4) ist gleich 6·4–6, also 18.
- 18 ist größer als 0. Wenn der mit f'' berechnete Wert größer als 0 ist, dann ist der Graph von f im betrachteten Bereich linksgekrümmt.
- Merke: „größer als 0“ gleich „linksgekrümmt“.