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Wendepunkte berechnen - Kochrezept + Beispiel
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 58 Zeilen
- hallo in diesem Video möchte ich dir zeigen wie du Wendepunkte berechnen bzw rechnerisch bestimmen kannst doch zunächst schauen wir uns einmal an was
- ein Wendepunkt ist ein Wendepunkt ist der Punkt an dem der Graph einer Funktion von einer rechtskrümmung in eine linkskrümmung übergeht oder eben
- auch andersrum hier in dem Fall allerdings eine rechtskrümmung in eine links Krümmung an dieser Stelle ist das der Fall und an dieser Stelle hat der
- Graph eine maximale bzw minimale Steigung zumindest für den Bereich das bedeutet Wendepunkte sind nichts anderes als sie extremer der ersten Ableitung
- und deshalb können wir auch die Verfahren die wir zur Berechnung von extremen Punkten kennengelernt haben nahezu identisch auf eben die
- Wendepunkte anwenden nur dass wir eben nicht die ursprüngliche Funktion sondern die extrem war der Ableitung untersuchen möchten schauen wir uns das
- Ganze einmal in einem Kochrezept an wie wir vorgehen können zunächst einmal brauchen wir die erste Ableitung die zweite Ableitung und die dritte
- Ableitung wir müssen die bilden und dann gibt es eben die notwendige Bedingungen nicht bei den extremer dass wir die Nullstellen der ersten Ableitung
- bestimmen sondern die Nullstellen der zweiten Ableitung denn wir wollen ja die erste Ableitung auf extreme Punkte bzw Extremstellen untersuchen
- das bedeutet notwendige Bedingungen f- von x = 0 und dann gibt es auch die hinreichende Bedingung einfach entsprechend angepasst nämlich das f-
- von x = 0 ist und f- also die dritte Ableitung ungleich 0 ähm wir haben auch bei den extremen Punkten zwei Möglichkeiten entweder über diese
- hinreichende Bedingungen oder eben über die hinreichende Bedingung dass wir sagen die zweite Ableitung ist gleich Null und es liegt eben ein
- Vorzeichenwechsel an dieser Nullstelle der zweiten Ableitung vor auch diese beiden Möglichkeiten haben wir für die Wendepunkte
- wenn wir diese hinreichende Bedingung benutzen oder zunächst einmal überprüfen dann ist es wichtig dass wir wenn die in diesem hier nicht erfüllt ist dass wir
- dann trotzdem noch einmal auf Vorzeichen Wechsel prüfen denn es kann vorkommen dass wir auch in der dritten Ableitung die ja das auch die dritte Ableitung an
- der entsprechenden Stelle die wir in der notwendigen Bedingungen rausbekommen haben gleich null ist und wir trotzdem aber ein Wendepunkt vorliegen haben das
- Beispiel schauen wir uns gleich hier einmal an im vierten Schritt müssen wir dann die y-Koordinaten berechnen und den dann
- können wir endlich den Wendepunkt angeben wenn wir die y-Koordinaten nicht berechnen dann würde es einfach nur die Wendestelle sein das heißt wenn in der
- Aufgabenstellung gefragt ist bestimmen Sie die Wendestelle dann könnt ihr Schritt vier euch sparen wenn nach den Wendepunkten gefragt ist dann müsst ihr
- die auch die y-Koordinaten angeben gut schauen wir uns das Ganze an einem Beispiel an wir haben das Beispiel die Beispielfunktion FX = x^3 - 6 x Quadrat
- plus 17 Schritt 1 wir müssen die erste Ableitung und die dritte Ableitung bilden fangen wir an mit der ersten Ableitung von X =
- 3x² - 12 x und die 17 Feld weg dann werden wir die zweite Ableitung f- von X ist gleich 6 X - 12 und die dritte Ableitung
- f-3 von x = 6 gut machen wir weiter Schritt 2 wir haben die notwendige Bedingung f' von x
- = 0 in der Klausur oder in den Klausuren dir schreiben werde ist schreibt bitte dies ganze auch hin damit klar ist okay jetzt
- untersucht ihr auf eine notwendige Bedingung hier das ist aus Platzgründen einmal weg das bedeutet wir nehmen die zweite Ableitung und setzen die gleich
- null das heißt überall wo f- von X steht schreiben wir eine 0 dann das bedeutet 0 = 6x - 12 und das ganze können wir dann umformen berechnen + 12 dann haben wir
- hier stehen 12 = 6x und dann teilen wir das Ganze durch sechs damit das X alleine steht und dann haben wir hier zwei ist gleich x und
- schon haben wir einen potenziellen Kandidaten für unseren Wendepunkt bzw erstmal unsere Wendestelle gucken uns den dritten Schritt an wir
- haben die hinreichende Bedingung nämlich das f-strich von x = 0 ist und die dritte Ableitung ungleich Null setzen wir einfach mal die zwei hier ein in die
- dritte Ableitung f- von 2 = 6 wir schreiben die einfach nur hier ab das heißt die dritte Ableitung da ist
- immer größer als 0 immer ungleich Null nämlich immer 6 egal welche Zahlen wir einsetzen das bedeutet wir können direkt hinschreiben die dritte Ableitung ist
- ungleich 0 und daraus folgt direkt dass wir eben hier eine Wendestelle haben und jetzt geht es im vierten Schritt noch darum was denn jetzt die
- Koordinaten eben dieser Wendestelle sind und dazu müssen wir die y-Koordinaten berechnen und können dann den Wendepunkt angeben wie machen wir das naja wir
- setzen die zwei unsere Wendestelle in unsere ursprüngliche Funktion ein also wie berechnen F von zwei und das ist dann 2 hoch 3 - 6 * 2 zum Quadrat plus
- 17 und da kommt raus zwei hoch drei ist acht minus 6 mal 2 hoch 2 2 4 x 6 sind 24 - 24
- + 17 und das sind dann eins das bedeutet unser Wendepunkt und dann schreibe ich jetzt mal hier oben hin nicht das mit der Wendepunkt aus dem Bild rutscht
- unser Wendepunkt hat die Koordinaten zwei und eins gut schauen wir uns jetzt ein weiteres Beispiel an wir haben die Funktion FX =
- x^5 gegeben im ersten Schritt müssen wir die erste zweite und dritte Ableitung bilden gut also FX gleich x hoch 5 abgeleitet ist
- 5x^4 und zweites Mal abgeleitet sind dann 20x^3 und das dritte Mal abgeleitet sind dann 60 x Quadrat gut schauen wir uns die notwendige Bedingungen an wir
- müssen also die zweite Ableitung gleich Null setzen also wir nehmen unsere zweite Ableitung 20x^3 und setzen die gleich null das heißt überall wo f- von
- xf-x steht schreiben wir 0 an der Stelle gemacht wenn wir uns das ganze jetzt anschauen stellen wir fest wir können nur die Null für das X einsetzen damit
- ihr eine wahre Aussage steht denn wir können uns das ganze auch herleiten wenn du durch 20 teilen dann steht hier 0 ist gleich x hoch 3 und
- dann die dritte Wurzel ziehen ist dann die dritte Wurzel aus 0 ist auch 0 deswegen können wir sagen Null ist gleich x damit haben wir ein
- potenziellen Kandidaten für unseren Wendepunkt schauen wir uns jetzt zunächst einmal diese hinreichende Bedingungen an f/x
- = 0 haben wir gegeben jetzt prüfen wir ob f- von X ungleich Null ist gut wenn wir das machen stellen wir fest okay wir setzen f- von X da setzen wir die Null
- ein und haben dann in der dritten Ableitung die Null eingesetzt 60 x 0 hoch 2 0 zum Quadrat ist 0 0 also können wir sagen hier kommt Null raus
- dementsprechend ist diese hinreichende Bedingung nicht erfüllt und deshalb müssen wir auf Vorzeichenwechsel prüfen gut wir gehen das noch mal naja wir
- haben die Null also unserem potenziellen Kandidaten und müssen dann in der näheren Umgebung links sowie rechts davon schauen wie die zweite Ableitung
- oder welche Werte die zweite Ableitung annimmt gut wenn wir jetzt die zweite Ableitung nehmen wissen wir an der Stelle 0 haben
- wir den F hat die zweite Ableitung den Wert 0 das haben wir hier rausbekommen und wir nehmen einfach mal den Wert -1 der liegt links davon und 31 der liegt
- rechts davon und wir jetzt die -1 in die zweite Ableitung einsetzen dann steht hier -1 hoch 3 das ist -1 -1 * 20 ist -20 wenn wir jetzt die 1 in die zweite
- Ableitung einsetzen also f- von 1 = 20 x 1 hoch 3 1 hoch 3 ist 1 * 20 also hier steht die 20 und dann stellen wir fest oh cool wir haben an dieser Stelle
- an der Stelle Null ein Vorzeichen und wir haben somit diese hinreichende Bedingungen erfüllt das bedeutet damit
- wir jetzt den Wendepunkt angeben können müssen wir nur noch die y Koordinaten berechnen und dann können wir endlich den Wendepunkt angeben gut das ist
- Schritt 4 wir setzen also in unsere Ursprungsfunktion setzen wir die Null ein Schreiben also von 0 = 0 hoch 5 0 0 dementsprechend haben wir die
- Koordinaten für den Wendepunkt 0 unser x-Wert hier und der Stelle und der y-Wert auch 0 ich hoffe ich konnte dir in diesem Video
- näher bringen wie du Wendepunkte berechnen kannst oder Wendepunkte rechnerisch bestimmen kannst wenn du Fragen hast schreib sie in die
- Kommentare ansonsten bis zum nächsten Video tschüss