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Grundformeln der Kombinatorik
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 33 Zeilen
- Moin Leute, heute soll es um die Grundformeln der Kombinatorik gehen. Weil es da so viele verschiedene Formeln gibt, wollen wir euch heute alles einmal
- ganz strukturiert zeigen. Also macht es euch bequem und viel Spaß. [Musik]
- Das erste, was wir uns anschauen wollen, sind Permutationen. Wann tritt eine Permutation auf? Eine Permutation tritt genau dann auf, wenn keine Auswahl
- getroffen werden muss. Das heißt, dass alle Objekte einer Menge auch verwendet werden. Das kann beispielsweise die Tabelle der Bundesliga sein. Angenommen,
- es wird gefragt, wie viele verschiedene Kombinationen der Anordnung der Tabelle gibt es? Es gibt 18 Vereine und jeder Verein kann theoretisch jeden Platz
- belegen. Praktisch natürlich nicht, da ja bekannt ist, dass Schalke nie Meister wird, aber egal. Zurück zum Beispiel. Die Anzahl der Kombinationen kann man
- ganz einfach mit der Fakultät berechnen. Man schreibt also einfach 18 Fakultät. Das ergibt dann eine verdammt lange Zahl, die kein Mensch aussprechen kann.
- Also gibt es sehr viele Möglichkeiten der Anordnung. Jetzt gibt es noch eine weitere Art der Permutation und zwar, wenn manche Elemente mehrfach auftreten.
- Auch das lässt sich am besten an einem Beispiel erklären. Angenommen, ihr habt das Wort Keller gegeben. Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen
- kann man mit diesem Wort durchführen? Es dürfen natürlich auch sinnlose Wörter entstehen. Das erste, was auffällt, ist, dass es die Buchstaben E und L zweimal
- gibt. Das heißt, wir müssen die zweite Formel der Permutation anwenden. Die sieht folgendermaßen aus. Das K steht hierbei für die Anzahl der Buchstaben.
- Bei Keller sind das sechs. Die Ms stehen für die jeweiligen Buchstaben und ihre Häufigkeit. Also eine E Fakultät für das K und das R und zwei Fakultät für E und
- L. Das muss man dann nur noch in die Formel einsetzen und schon ist man fertig. Da kommt dann 180 raus. Also gibt es 180 Möglichkeiten. Somit haben
- wir jetzt alles zur Permutation gehört. Als nächstes kommen wir zur Variation. Bei der Variation wird jetzt immer eine Auswahl getroffen. Das unterscheidet sie
- von der Permutation. Außerdem ist die Reihenfolge der ausgewählten Elemente wichtig. Bei der Variation gibt es wiederum zwei verschiedene Arten. Für
- die erste Art schauen wir uns ein Beispiel an. Angenommen, ihr habt nicht für eure Klausuren gelernt und wollt trotzdem gute Noten schreiben. Was tut
- ihr genau, ihr lernt mit Simple Club. Aber was würdet ihr tun, wenn es Simple Club nicht geben würde? Richtig, ihr würdet euch in den Laptop eures Profs
- einhacken, ihr Schlangen. Der Laptop ist mit einem vierstelligen PIN geschützt. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es jetzt für diesen Pin? Erstmal
- lässt sich sagen, dass es auch mehrere gleiche Zahlen in dem PIN geben kann. Also sind Wiederholungen möglich. Die Formel, die ihr für solche Fälle
- verwenden müsst, ist folgende: n ist dabei die Anzahl der möglichen Zahlen, also 10. Man kann ja alle Zahlen von 0 bis 9 verwenden. K ist die Länge der
- Kombination, also 4, da ihr ja einen vierstelligen PIN habt. Somit sieht die Formel so aus. Also müsst ihr, wenn es schlecht läuft, 10.000 Versuche ausüben.
- Vielleicht ist dann lernen doch effektiver. Okay, die zweite Möglichkeit bei der Variation ist, wenn es keine Wiederholungen geben kann. Angenommen,
- es rechnen sich sieben Vereine die Chancen auf die ersten drei Plätze aus. Wie viele verschiedene Anordnungen kann es geben? Die Formel dafür sieht
- folgendermaßen aus. N ist dabei die Anzahl der Vereine, also 7 und K, die Anzahl der ersten drei Plätze, also 3. Die Rechnung besagt also, es gibt 210
- verschiedene Möglichkeiten der Anordnung. Der passende Befehl im Taschenrechner ist NPR. Prima. Das war's dann auch zu der Variation. Als letztes
- kommen wir jetzt noch zur Kombination. Dabei gibt es keine Reihenfolge und keine Wiederholung. Wir schauen uns dazu auch mal wieder ein Beispiel an.
- Angenommen, ihr sitzt in der Uni in einem Seminar. Insgesamt seid ihr mit zehn Studenten. Drei Studenten müssen ihre Präsentation vorstellen. Wie viele
- Kombinationen gibt es, wenn man aus diesen zehn Studenten drei auswählen möchte? Die Formel dafür ist n über k. Man kann das Ganze einfach so schreiben.
- Noch einfacher ist es, wenn man das Ganze mit NCR im Taschenrechner ausrechnet. Das war auch schon das Wichtigste. Was
- müsst ihr euch nun merken? Genau, als erstes natürlich alle Formeln. Dann ist es ganz wichtig, dass ihr euch bewusst macht, wann ihr welche Formel anwenden
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