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Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkte)
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 36 Zeilen
- Das ist Jan. Jan hat überhaupt keine Ahnung von Kurvendiskussion. In den letzten Videos hat er gelernt, wofür er das Zeug überhaupt braucht. Wie man
- Schnittpunkte mit der Y-Achse bestimmt und wie man Nullstellen bestimmt. Diesmal lernt er, wie man Extrempunkte, also Hoch und Tiefpunkte einer Funktion
- bestimmt. [Musik] Aber zuerst einmal, bist du vertraut mit der Ableitung? Ja. Nein, vielleicht.
- Falls nein, schau dir erstmal das Video dazu an, denn ohne die Ableitung kommst du hier nicht weiter. Falls vielleicht und ja, bleib einfach da, wo du bist und
- schau dir das Video weiter an. Ah, mach keinen Scheiß. Das ist der Graf einer Funktion. Dieser Punkt ist sehr wichtig. Er ist ein
- sogenannter Hochpunkt. Ein Hochpunkt ist einfach ein Berg wie bei einer Achterbahn. Im Gegensatz dazu ist das dann ein sogenannter Tiefpunkt.
- Um bei der Achterbahnmapher zu bleiben, entspricht der Tiefpunkt einem Tal. Um jetzt herauszufinden, wie man solche hohen und Tiefpunkte mathematisch
- bestimmt, muss man überlegen, was für mathematische Eigenschaften diese haben. Wieder in Bezug auf die Achterbahn. Genau an der Extremstelle geht es weder
- nach oben noch nach unten. Beim Hochpunkt ist man nämlich schon ganz oben und beim Tiefpunkt schon ganz unten. Das heißt, an der exakten Stelle
- des Tiefpunkts bzw. Hochpunkts gibt es weder Steigung noch Gefälle. Mathematisch gesehen ist es wagrecht. Es geht also weder nach oben noch nach
- unten und das heißt, die Steigung an Extremstellen ist 0. Na, erinnert ihr euch? Genau. Die Steigung ist nichts anderes als die Ableitung. Die Steigung
- ist die Ableitung und das ist fx und das muss eben null sein. Die Bedingung für einen Extremppunkt einer Funktion ist also, dass die Ableitung null sein muss.
- Wir machen mal ein Beispiel. Wir haben die Funktion f(x) = x hoch 3 - 3x hoch 2. Wir verraten schon mal, wie diese aussieht. Eigentlich wissen wir
- das jetzt doch nicht normalerweise. Unser Ziel ist es, diesen Hochpunkt und diesen Tiefpunkt zu bestimmen. Also allgemein die Extremstellen von fonx.
- Wir erinnern uns, die Bedingung für eine Extremstelle war f(x) muss 0 sein. Also müssen wir erstmal die Ableitung von fon(x) bestimmen. Erinnert ihr euch? Die
- Regel war Hochzahl nach vorne und Hochzahl um 1 erniedrigen. Die Ableitung ist also f(x) = 3x hoch 2 - 6x und das muss dann 0 ergeben. Ach ja, als Tipp,
- wir bestimmen jetzt also die Nullstellen der Ableitungsfunktion. Und wie man Nullstellen bestimmt, hast du ja im vorigen Video gelernt.
- Hier bietet es sich an, ein x auszuklammern. Dann haben wir x* 3x - 6 = 0. Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Deshalb haben wir hier
- zwei Lösungen. X1 = 0 und für die Klammer x2 = 2, denn 3 x 2 - 6 ergibt 0. Damit erhalten wir einmal einen Extrempunkt an der Stelle x = 0 und eine
- an der Stelle x = 2. Da wir bisher aber nur die x-stellen haben, müssen wir noch die y Werte bestimmen, da wir ja am Ende einen
- extrem Punkt haben wollen. Und ein Punkt besteht eben immer aus zwei Werten. Um den y Wert zu bestimmen, setzen wir die X-Selle einfach in die Funktion f ein. f
- von 0 = 0 und damit ist der Punkt 0. Dasselbe machen wir noch für die andere Stelle. F von 2 = -4 und damit ist dieser Extrempunkt 2 -4. Da wir ja
- eigentlich nicht den Graf kennen, müssen wir mathematisch noch bestimmen, ob die erhaltenen Extrempunkte hoch oder Tiefpunkte sind. Wir wissen bisher nur,
- dass die erhaltenen Punkte entweder hoch oder Tiefpunkte sind, weil die Steigung bei beiden an der Stelle null ist. Wir stellen jetzt nur die Methode mit der
- zweiten Ableitung vor. Man kann alternativ auch den Punkt auf einen Vorzeichenwechsel überprüfen. Allgemein gilt, wenn die zweite Ableitung positiv
- ist, dann ist der Punkt ein Tiefpunkt. Außerdem gilt, ist die zweite Ableitung negativ, dann ist der Punkt ein Hochpunkt. Diese Regeln könnt ihr euch
- entweder einfach merken oder ihr denkt etwas darüber nach, warum es so ist. Kleiner Tipp: Zeichnet euch einfach mal eine Funktion FX und danach die
- zugehörige erste und zweite Ableitung auf. Nun schaut ihr, wie die drei Grafen an Extremstellen miteinander zusammenhängen. Wenn ihr es wisst,
- schreibt es uns in die Kommentare. Also machen wir das jetzt mal. Dafür müssen wir die zweite Ableitung erstmal bestimmen. Die ist 6x - 6. Dann setzen
- wir die erste Stelle in die zweite Ableitung ein. f von 0 -6, also ist an dieser Stelle ein Hochpunkt. Und f von 2= 6, also ist hier ein Tiefpunkt.
- Überprüfen wir jetzt unser mathematisches Ergebnis, also den Hochpunkt 00 und den Tiefpunkt 2 - 4. Mit dem Graf so sehen wir, dass wir es
- richtig gemacht haben. Eine Frage bleibt. Was ist aber, wenn die zweite Ableitung weder positiv noch negativ ist? Also null. Tja, scheiße war's. Das
- erfährst du im nächsten Video. So, das war's auch schon. Was musst du dir merken? Um eine Extremstelle zu bestimmen, setzt du die Ableitung der
- Funktion gleich 0. Dann musst du noch mit der zweiten Ableitung überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hoch oder Tiefpunkt ist. Ist die zweite Ableitung positiv,
- so ist in der Stelle ein Tiefpunkt. Ist sie negativ, dann weißt du, dass an der Stelle ein Hochpunkt ist. Auf unserer Website findest du jetzt noch eine
- Zusammenfassung und Übungsaufgaben zu diesem Video, um das Gelernte zu vertiefen.