Lineare Gleichungen lösen: Schritt für Schritt
Du rechnest auf beiden Seiten dasselbe, bis x allein steht. So löst du lineare Gleichungen, auch mit Klammern, und machst die Probe.
Kurz gesagt
Eine lineare Gleichung wie 3x − 1 = 8 löst du mit Äquivalenzumformungen: Du rechnest auf beiden Seiten dasselbe, bis x allein steht. Mit | +1 wird daraus 3x = 9, mit | :3 dann x = 3. Zur Probe setzt du ein: 3 · 3 − 1 = 8.
Stell dir eine Balkenwaage vor: Legst du nur auf eine Seite etwas drauf, kippt sie. Genauso ist es bei Gleichungen. Wenn du auf beiden Seiten immer dasselbe rechnest, bleibt alles im Gleichgewicht, bis x allein dasteht.
Deine Lernziele
Eine Gleichung sagt: Der Term links hat denselben Wert wie der Term rechts. Ein Term ist ein Rechenausdruck wie 3x − 1, die Variable x steht für eine unbekannte Zahl. In einer linearen Gleichung kommt x nur in der ersten Potenz vor, also nicht als x² oder x³. x darf dabei ruhig auf beiden Seiten stehen.
Lineare Gleichung
Eine Gleichung heißt linear, wenn sie sich in die Form a · x + b = 0 mit a ≠ 0 bringen lässt. Beispiele: 3x − 1 = 8 oder 5x = 10. Keine lineare Gleichung: 7x² = 5.
Teste dich
Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Machst du auf beiden Seiten dasselbe, bleibt sie im Gleichgewicht und die Lösung ändert sich nicht. So eine Umformung heißt Äquivalenzumformung.
Äquivalenzumformung
Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren und beide Seiten mit derselben Zahl ≠ 0 multiplizieren oder dividieren.
Merke: Was du links machst, machst du auch rechts. Durch 0 darfst du nie teilen.
Teste dich
Bring zuerst alle x-Terme auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere. Dann teilst du durch die Zahl vor dem x, den Koeffizienten. Zum Schluss setzt du deine Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Stimmen beide Seiten überein, hast du richtig gerechnet. Stimmt die Probe nicht, geh deinen Weg Schritt für Schritt rückwärts durch.
Beispiel: 2x + 4 = 4x − 2 lösen
- 1| −2x: 4 = 2x − 2
- 2| +2: 6 = 2x
- 3| :2: 3 = x
- 4Probe: links 2 · 3 + 4 = 10, rechts 4 · 3 − 2 = 10
Merke: Reihenfolge: x-Terme sammeln, Zahlen sammeln, durch den Koeffizienten teilen, Probe machen.
Teste dich
Steht eine Zahl vor einer Klammer, löst du die Klammer zuerst auf. Dabei multiplizierst du die Zahl mit jedem Term in der Klammer, auch mit dem Vorzeichen. Danach löst du die Gleichung wie gewohnt. Manchmal geht es schneller, wenn du zuerst durch den Faktor teilst: Aus 3(10x − 20) = 30 wird mit | :3 direkt 10x − 20 = 10.
Beispiel: 3(x − 2) = x + 8 lösen
- 1Klammer auflösen: 3x − 6 = x + 8
- 2| −x: 2x − 6 = 8
- 3| +6: 2x = 14
- 4| :2: x = 7
- 5Probe: links 3 · (7 − 2) = 15, rechts 7 + 8 = 15
Merke: Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Term in der Klammer multipliziert: 3 · (x − 2) = 3x − 6.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Lineare Gleichungen
x nur in erster Potenz
beide Seiten gleich behandeln
Klammern auflösen, zusammenfassen
x-Terme links, Zahlen rechts
durch den Koeffizienten teilen
Lösung in Ausgangsgleichung einsetzen
5(x + 1) = 2x + 17 lösen
- 1Klammer auflösen: 5x + 5 = 2x + 17
- 2| −2x: 3x + 5 = 17
- 3| −5: 3x = 12
- 4| :3: x = 4
- 5Probe: links 5 · (4 + 1) = 25, rechts 2 · 4 + 17 = 25
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die 7 wurde nur links abgezogen. Rechts musst du auch 7 abziehen: 2x = 15 − 7 = 8, also x = 4. Probe: 4 · 4 + 7 = 23 und 2 · 4 + 15 = 23.
Lückentext
Bei einer Äquivalenzumformung rechnest du auf beiden Seiten die Operation. Am Ende soll die Variable allein stehen. Für die Probe setzt du die Lösung in die ein.