Äquivalenzumformung: Gleichungen sicher lösen
Du lernst, welche Umformungen die Lösung einer Gleichung nicht verändern, wie du damit Schritt für Schritt löst und welche Rechenschritte verboten sind.
Kurz gesagt
Eine Äquivalenzumformung verändert das Aussehen einer Gleichung, aber nicht ihre Lösungsmenge. Du rechnest auf beiden Seiten dasselbe: denselben Term addieren oder subtrahieren, mit derselben Zahl ungleich 0 multiplizieren oder durch sie teilen. So wird aus 3x + 2 = 11 mit -2 und :3 die Lösung x = 3.
Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Solange du auf beiden Seiten dasselbe machst, bleibt sie im Gleichgewicht. Hier lernst du, mit welchen Schritten du die Variable allein auf eine Seite bringst, woran du Sonderfälle erkennst und bei welchen Umformungen du aufpassen musst.
Deine Lernziele
Stell dir eine Gleichung wie eine Waage vor: Links und rechts liegt derselbe Wert. Nimmst du auf beiden Seiten dasselbe Gewicht weg, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Veränderst du nur eine Seite, geht die Gleichheit verloren. Zum Beispiel gilt x + 5 = 7 \Leftrightarrow x = 2. Das Zeichen \Leftrightarrow bedeutet „genau dann, wenn“: Beide Gleichungen werden für denselben Wert wahr. Erlaubt sind: auf beiden Seiten denselben Term addieren oder subtrahieren, beide Seiten mit derselben Zahl ungleich 0 multiplizieren oder durch dieselbe Zahl ungleich 0 teilen. Hinter einem senkrechten Strich notierst du, welche Operation du auf beiden Seiten ausführst, zum Beispiel „| −5“.
Äquivalenzumformung
Eine Äquivalenzumformung führt von einer Gleichung zu einer Gleichung mit genau derselben Lösungsmenge. Die beiden Gleichungen heißen äquivalent.
Merke: Was du auf der einen Seite rechnest, rechnest du auch auf der anderen Seite. Durch 0 darfst du niemals teilen.
Teste dich
Dein Ziel ist eine Gleichung der Form x = \text{Zahl}. Wähle dazu immer die Gegenoperation zu dem Rechenschritt, der die Variable noch bindet. Ein zuverlässiger Ablauf: Klammern auflösen und gleichartige Terme zusammenfassen, Variablenterme auf einer Seite sammeln, Zahlen auf der anderen Seite sammeln, durch den Koeffizienten vor der Variable teilen und zum Schluss die Probe machen. Oft gibt es mehrere richtige Rechenwege. Wichtig ist nur, dass du jede Operation auf beiden Seiten ausführst. Mehr Übungen dazu findest du bei den linearen Gleichungen.
Beispiel: 3x + 2 = 11 lösen
- 1| −2: 3x = 9
- 2| :3: x = 3
- 3Probe: 3 \cdot 3 + 2 = 11, die Aussage ist wahr.
- 4Lösungsmenge: L = \{3\}
Beispiel: 2(x + 5) = 5x - 8 lösen
- 1Klammer auflösen: 2x + 10 = 5x - 8
- 2| −2x: 10 = 3x - 8
- 3| +8: 18 = 3x
- 4| :3: x = 6
- 5Probe: links 2 \cdot (6 + 5) = 22, rechts 5 \cdot 6 - 8 = 22, also L = \{6\}
Teste dich
Beim Umformen kann die Variable erhalten bleiben oder ganz verschwinden. Bleibt am Ende x = 3, gibt es genau eine Lösung. Verschwindet x, bleibt links 0 \cdot x stehen, und das ist für jede Zahl 0. Steht rechts auch 0, ist die Aussage immer wahr: Jede Zahl löst die Gleichung. Steht rechts eine andere Zahl, ist die Aussage nie wahr: Es gibt keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer, L = \{\}.
| Gleichung | Nach dem Umformen | Lösungen |
|---|---|---|
| 3x + 2 = 11 | x = 3 | genau eine: L = \{3\} |
| 2(x + 3) = 2x + 6 | 0 \cdot x = 0, immer wahr | unendlich viele: jede Zahl |
| 2(x + 3) = 2x + 5 | 0 \cdot x = -1, nie wahr | keine: L = \{\} |
Merke: Verschwindet die Variable, prüfe die übrige Aussage: immer wahr heißt unendlich viele Lösungen, nie wahr heißt keine Lösung.
Teste dich
Nicht jede Rechnung auf beiden Seiten ist automatisch eine Äquivalenzumformung. Sie muss auch zulässig und umkehrbar sein. Willst du durch einen Term wie x - 1 teilen, beachte: Für x = 1 ist dieser Term 0. Ohne Fallprüfung kannst du dabei eine Lösung verlieren. Bei Bruchgleichungen gehören alle Werte, die einen Nenner 0 machen, nicht zur Definitionsmenge. Auch Quadrieren ist nicht umkehrbar, weil 2 und −2 dasselbe Quadrat haben. Und bei Ungleichungen musst du das Vergleichszeichen umdrehen, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch sie teilst.
Beispiel: Warum Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist
- 1Aus x = 2 folgt x^2 = 4.
- 2Aber x^2 = 4 hat zwei Lösungen: 2 und −2.
- 3Die Richtung zurück gilt also nicht, das Quadrieren hat die Lösung −2 hinzugefügt.
Beispiel: Ungleichung -2x < 14 lösen
- 1| :(−2): x > -7
- 2Beim Teilen durch die negative Zahl −2 dreht sich < zu > um.
- 3Probe mit x = 0: -2 \cdot 0 = 0, und 0 < 14 stimmt.
Merke: Teilst du durch einen Term mit Variable, prüfe den Fall Term gleich 0 getrennt. Ist das Vorzeichen eines Faktors bei einer Ungleichung unbekannt, brauchst du eine Fallunterscheidung.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Äquivalenzumformung
die Lösungsmenge bleibt gleich
dieselbe Operation auf beiden Seiten
durch 0 teilen oder mit 0 multiplizieren
Variable isolieren, dann Probe
immer wahr heißt unendlich viele, nie wahr keine Lösung
Quadrieren, Terme als Divisor, Ungleichungen
6(x - 1) = 2x + 10 lösen
- 1Klammer auflösen: 6x - 6 = 2x + 10
- 2| −2x: 4x - 6 = 10
- 3| +6: 4x = 16
- 4| :4: x = 4
- 5Probe: links 6 \cdot (4 - 1) = 18, rechts 2 \cdot 4 + 10 = 18
- 6Lösungsmenge: L = \{4\}
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Beim Teilen durch 2 wurde die 6 vergessen. Jeder Term wird geteilt: x + 3 = 5, also x = 2. Probe: 2 \cdot 2 + 6 = 10.
Lückentext
Bei einer Äquivalenzumformung führst du auf beiden Seiten Operation aus. Ein Faktor oder Divisor muss dabei sein. Beim Lösen willst du die Variable am Ende .