Lineare Gleichungssysteme lösen: Additionsverfahren, Substitutionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren

01 Februar 2023

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Erklärung

Definition lineare Gleichungssysteme

Unter einem linearen Gleichungssystem versteht man 2 lineare Gleichungen mit zwei Variablen.
Eine Lösung des linearen Gleichungssystems sind alle Zahlenpaare, die beide Gleichungen erfüllen. Die Menge der Lösungen bezeichnet man als Lösungsmenge.
Das Ziel der verschiedenen Lösungsverfahren – Additions-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren – ist es aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit einer Unbekannten herzustellen.

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Das Ziel des Additionsverfahrens ist es die Gleichungen so umzuformen, dass bei der Addition der beiden Gleichungen eines der Variablen wegfällt.
Die beiden Gleichungen können auch voneinander subtrahiert werden.
Besonders sinnvoll ist das Additionsverfahren, wenn die Koeffizienten einer Variablen in den zwei Gleichungen zueinander entgegengesetzte Zahlen sind.

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Beim Einsetzungsverfahren löst man eine der Gleichungen nach einer Variablen auf (x oder y) und setzt diese Variable dann in die andere Gleichung ein.
Besonders sinnvoll ist das Einsetzungsverfahren, wenn bereits eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst ist.

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Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen und setzt diese dann gleich.
Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Sonderfall des Einsetzungsverfahrens, und zwar wenn bereits beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst sind.
Es eignet sich besonders, wenn beide Gleichungen nach der gleichen Variable aufgelöst vorliegen.

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Man kann ein lineares Gleichungssystem auch grafisch lösen, da beide Gleichungen eine Gerade bzw. eine lineare Funktion darstellen.
Bringe die beiden Gleichungen in die Geradenform: y=mx+c.
Wenn sich die Geraden in einem Punkt S (x|y) schneiden, dann ist das genau die eine Lösung des Gleichungssystems.
Schneiden sich die Geraden nicht, also sind sie parallel zueinander, dann gibt es keine Lösung.
Liegen beide Geraden übereinander, dann gibt es unendlich viele Lösungen, d. h. jedes beliebige Wertepaar x und y ist eine Lösung für das Gleichungssystem.