Für f(x)=2x−4 und g(x)=−x+5 gilt f(3)=2 und g(3)=2. Was ist S(3 | 2) für die Graphen?

Ein Schnittpunkt, also ein gemeinsamer Punkt beider Graphen. Beide Funktionen liefern für x=3 denselben y-Wert 2. Deshalb gilt dort f(x)=g(x).

f(x)=2x−4 und g(x)=−x+5: Mit welcher Gleichung startet die Schnittpunktberechnung?

Mit dem Gleichsetzen: 2x−4=−x+5. Am Schnittpunkt sind die Funktionswerte beim selben x-Wert gleich.

Bei f(x)=x+4 und g(x)=−x+8 ergibt Gleichsetzen x=2. Ist der Schnittpunkt damit fertig?

Nein, ein Punkt braucht beide Koordinaten. Setze x=2 in eine Funktion ein: f(2)=2+4=6. Also S(2 | 6), zuerst x, dann y.

Du hast S(3 | 2) mit f(3)=2 gebildet. Wie prüfst du, ob es wirklich ein Schnittpunkt ist?

Mit der Probe in der anderen Funktion: g(3) muss ebenfalls 2 ergeben. Ein Schnittpunkt muss beide Funktionsgleichungen erfüllen.

f(x)=2x−4 und g(x)=−x+5: Wie viele Schnittpunkte haben die Geraden?

Genau einen. Die Steigungen 2 und −1 sind verschieden. Gleichsetzen liefert die eine Lösung x=3.

Beim Gleichsetzen von f(x)=2x+2 und g(x)=2x+5 entsteht 2=5. Was heißt das für die Geraden?

Ein Widerspruch, also keine Lösung. Gleiche Steigung 2, verschiedene Achsenabschnitte: Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt.

Beim Gleichsetzen zweier Geraden entsteht 0=0. Wie liegen die Geraden zueinander?

Die Geraden sind identisch. Die Aussage ist für jedes x wahr, also gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte.

f(x)=x und g(x)=x²−4x+4: Gleichsetzen führt zu (x−1)(x−4)=0. Wie viele Schnittpunkte gibt es?

Zwei, denn es gibt zwei reelle Lösungen x₁=1 und x₂=4. Einsetzen in f ergibt S₁(1 | 1) und S₂(4 | 4).

f(x)=g(x) hat die Lösungen x=−1 und x=1, und jeweils gilt f(x)=2. Welche Schnittpunkte folgen?

S₁(−1 | 2) und S₂(1 | 2). Jede x-Lösung wird mit ihrem eigenen Funktionswert zu einem Punkt kombiniert. Die 2 ist der y-Wert, nicht der x-Wert.

Rechnung: 3x−2=x+6, dann 4x−2=6. Welcher Fehler steckt im zweiten Schritt?

Ein Vorzeichenfehler: Das x wurde mit Plus statt mit Minus nach links gebracht. Richtig ist 2x−2=6, also x=4.

Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert 24. Sept. 2026

Schnittpunkte berechnen: Methode und Beispiele

Schnittpunkte zweier Graphen findest du durch Gleichsetzen. Du lernst den Rechenweg, die Probe und die Sonderfälle bei Geraden.

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Schnittpunkte berechnen: Methode und Beispiele

Kurz gesagt

Einen Schnittpunkt zweier Funktionen berechnest du, indem du die Terme gleichsetzt: f(x)=g(x). Die Lösungen sind die x-Koordinaten. Setzt du sie in eine der Funktionen ein, erhältst du die y-Koordinaten. Beispiel: 2x-4=-x+5 ergibt x=3 und S(3 \mid 2).

Ein Schnittpunkt gehört zu zwei Funktionsgraphen. Deshalb haben beide Funktionen dort beim selben x-Wert denselben y-Wert. Rechnerisch setzt du die Funktionsterme gleich, löst nach x auf und berechnest anschließend y.

Deine Lernziele

Ich kann erklären, warum an einem Schnittpunkt f(x)=g(x) gilt.
Ich kann Schnittpunkte zweier Funktionen schrittweise berechnen und prüfen.
Ich kann bei linearen Funktionen einen, keinen oder unendlich viele Schnittpunkte unterscheiden.
Ich kann mehrere Lösungen einer Gleichung den passenden Schnittpunkten zuordnen.

Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Termi das Ziel für dich ab.

4 Abschnitte

Ein Schnittpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen. Seine Koordinaten schreibst du als S(x \mid y): zuerst die x-Koordinate, dann die y-Koordinate. Liegt S(1 \mid 3) auf den Graphen von f(x)=2x+1 und g(x)=x+2, müssen beide Funktionen für x=1 den Wert 3 liefern: f(1)=2\cdot 1+1=3 und g(1)=1+2=3.

Definition

Schnittpunkt

Ein Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ist ein Punkt, dessen Koordinaten beide Funktionsgleichungen erfüllen. Daher gilt dort f(x)=g(x).

Merke: Gleicher Punkt bedeutet: gleicher x-Wert und gleicher Funktionswert.

Teste dich

LeichtWarum darfst du die Terme zweier Funktionen an einem Schnittpunkt gleichsetzen?

Lineare Funktionen haben die Form f(x)=mx+b. Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Für zwei Geraden gibt es drei Fälle: Verschiedene Steigungen: Die Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt. Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte: Die Geraden sind parallel und besitzen keinen Schnittpunkt. Gleiche Steigung und gleicher Achsenabschnitt: Die Geraden sind identisch und besitzen unendlich viele gemeinsame Punkte. Beim Gleichsetzen erkennst du diese Fälle am Ergebnis: Eine Lösung wie x=3 führt zu genau einem Schnittpunkt. Eine falsche Aussage wie 2=5 bedeutet: keine Lösung. Eine immer wahre Aussage wie 0=0 bedeutet: unendlich viele Lösungen.

Beispiel: Gleichsetzen von f(x)=2x+2 und g(x)=2x+5

12x+2=2x+5 \quad \mid -2x
22=5, ein Widerspruch
3Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte: Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt.

Teste dich

MittelWas bedeutet das Ergebnis 0=0 nach dem Gleichsetzen zweier linearer Funktionen?

MittelWelche Aussage gilt für f(x)=-x+7 und g(x)=-x+5?

Bei nichtlinearen Funktionen kann die Gleichung f(x)=g(x) mehrere reelle Lösungen besitzen. Zu jeder Lösung berechnest du den zugehörigen y-Wert.

Beispiel: Schnittpunkte von f(x)=x und g(x)=x^2-4x+4

1Gleichsetzen: x=x^2-4x+4
2Auf eine Seite bringen: x^2-5x+4=0
3Faktorisieren: (x-1)(x-4)=0
4x_1=1 oder x_2=4
5y_1=f(1)=1 und y_2=f(4)=4
6S_1(1 \mid 1) und S_2(4 \mid 4)

Merke: Jede reelle Lösung der Gleichung f(x)=g(x) liefert eine x-Koordinate. Berechne für jede Lösung den passenden y-Wert.

Teste dich

MittelDie Gleichung f(x)=g(x) besitzt die Lösungen x=-1 und x=1. Für beide Werte gilt f(x)=2. Welche Schnittpunkte folgen daraus?

SchwerWoran erkennst du, dass ein berechneter Punkt wirklich ein Schnittpunkt ist?

Alles auf einen Blick

Schnittpunkte berechnen

Bedeutung
gemeinsamer Punkt beider Graphen
Start
Funktionsterme gleichsetzen
Rechnung
alle reellen x-Lösungen bestimmen
Ergänzung
zu jedem x den y-Wert berechnen
Kontrolle
beide Funktionsgleichungen prüfen
Sonderfälle
ein, kein oder unendlich viele Schnittpunkte

Musteraufgabe · Schritt für Schritt

Schnittpunkte von f(x)=x^2-2 und g(x)=-x+4

1Gleichsetzen: x^2-2=-x+4
2Alles auf eine Seite: x^2+x-6=0
3Faktorisieren: (x+3)(x-2)=0
4x_1=-3 oder x_2=2
5y_1=g(-3)=3+4=7 und y_2=g(2)=-2+4=2
6Probe mit f: f(-3)=9-2=7 und f(2)=4-2=2
7S_1(-3 \mid 7) und S_2(2 \mid 2)

Fehler finden

Schnittpunkt von f(x)=3x-2 und g(x)=x+6 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.

Lückentext

Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.

Am Schnittpunkt haben beide Funktionen für denselben x-Wert den y-Wert. Deshalb werden die Funktionsterme zuerst . Nach dem Lösen setzt du jeden gefundenen x-Wert in ein.

Karteikasten

Erst selbst überlegen, dann umdrehen.

Übung mit Feedback

Abschluss-Check: Schnittpunkte berechnen

LeichtWelche Gleichung ist der richtige Start zur Berechnung gemeinsamer Punkte von f und g?

MittelBeim Gleichsetzen zweier Geraden entsteht die Aussage 4=4. Was folgt daraus?

SchwerDu hast durch Gleichsetzen x=3 erhalten und mit f(3)=2 den Punkt S(3 \mid 2) gebildet. Welche Probe ist entscheidend?

Weiterlesen in Mathematik

Nullstellen berechnenKlasse 9–10 Lineare GleichungssystemeKlasse 8–9 Lineare FunktionenKlasse 8–9 Schnittwinkel berechnenKlasse 9–10 GleichsetzungsverfahrenKlasse 8–9 Schnittgerade zweier EbenenKlasse 12–13 Funktionsgleichung aufstellenKlasse 8–9 Lagebeziehungen von GeradenKlasse 12–13

Kurz gesagt

Deine Lernziele

1 Was bedeutet ein Schnittpunkt? 0/1

2 Wie berechnest du einen Schnittpunkt? 0/1

3 Welche Sonderfälle gibt es bei Geraden? 0/2

4 Wie entstehen mehrere Schnittpunkte? 0/2

Alles auf einen Blick

Schnittpunkte von f(x)=x^2-2 und g(x)=-x+4

Fehler finden

Lückentext

Karteikasten

Abschluss-Check: Schnittpunkte berechnen

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