Lösungsmenge bestimmen und richtig angeben
Du lernst, was eine Lösungsmenge ist, wie die Definitionsmenge sie beeinflusst und wie du Lösungen richtig als Menge aufschreibst.
Kurz gesagt
Die Lösungsmenge L enthält alle Werte aus der Definitionsmenge D, die eine Gleichung beim Einsetzen wahr machen. Du schreibst sie in geschweiften Klammern, etwa L=\{4\} für 3+x=7. Gibt es keine Lösung, ist L=\emptyset, die leere Menge.
Die Lösungsmenge enthält genau die zulässigen Werte, die eine Gleichung beim Einsetzen wahr machen. Dabei zählt ein rechnerisch gefundener Wert nur, wenn er zur vorgegebenen Definitionsmenge gehört.
Deine Lernziele
Eine Gleichung wie 3+x=7 ist eine Aussage mit einer Variablen. Setzt du x=4 ein, entsteht 3+4=7. Diese Aussage ist wahr. Deshalb ist 4 eine Lösung. Enthält die Lösungsmenge genau einen Wert, schreibst du ihn in geschweifte Klammern. Für das Beispiel gilt L=\{4\}.
Lösungsmenge
Die Lösungsmenge L enthält alle Werte aus der Definitionsmenge D, die beim Einsetzen eine wahre Aussage ergeben. Es gilt also immer: Jeder Wert aus L muss auch zu D gehören.
Beispiel: x^2=1: die Werte -1, 0 und 1 prüfen
- 1x=-1: (-1)^2=1, wahr
- 2x=0: 0^2=0\ne1, falsch
- 3x=1: 1^2=1, wahr
- 4Bei D=\mathbb R gilt L=\{-1;1\}.
Teste dich
Die Definitionsmenge D legt fest, welche Zahlen überhaupt als Lösungen zugelassen sind. Häufig sind das die natürlichen Zahlen \mathbb N, die ganzen Zahlen \mathbb Z, die rationalen Zahlen \mathbb Q, also alle Brüche aus ganzen Zahlen, oder die reellen Zahlen \mathbb R. \emptyset bezeichnet die leere Menge: Innerhalb der Definitionsmenge gibt es keine Lösung.
Beispiel: 2x=-3 bei verschiedenen Definitionsmengen
- 1Durch 2 teilen: x=-\frac{3}{2}=-1{,}5
- 2Bei D=\mathbb N: -1{,}5 ist nicht zugelassen, also L=\emptyset
- 3Bei D=\mathbb Q oder D=\mathbb R: L=\left\{-\frac{3}{2}\right\}
Merke: Erst löst du die Gleichung. Danach prüfst du, ob der gefundene Wert in der Definitionsmenge liegt. Ein richtiger Rechenwert kann wegen D trotzdem ausgeschlossen sein.
Teste dich
Bei einer linearen Gleichung formst du beide Seiten mit derselben Rechenoperation um, bis die Variable allein steht. So bleibt die Gleichheit erhalten. Beachte dabei die Definitionsmenge, prüfe, ob der gefundene Wert in D liegt, mache die Probe durch Einsetzen und schreibe die Lösungsmenge mit geschweiften Klammern auf.
Beispiel: Lösungsmenge von 3+x=2+5
- 1Rechte Seite zusammenfassen: 3+x=7
- 2Auf beiden Seiten 3 abziehen: x=4
- 3Probe: 3+4=7 und 2+5=7
- 4L=\{4\}
Teste dich
Eine Gleichung kann keine, einige oder alle zugelassenen Werte als Lösungen haben. Danach heißt sie unlösbar, teilgültig oder allgemeingültig. Eine unendliche Lösungsmenge kann auch durch eine Bedingung beschrieben werden. Der Betrag |x| ist der Abstand von x zu 0 und nie negativ. Deshalb gilt für x=|x| bei D=\mathbb R: L=\{x\mid x\ge0\}. Lies: „die Menge aller x, für die x\ge0 gilt“. Achte auch auf die Schreibweise: x=4 ist das Rechenergebnis, L=\{4\} ist die Lösungsmenge.
| Art | Lösungsmenge | Beispiel |
|---|---|---|
| unlösbar | L=\emptyset | x+3=2 bei D=\mathbb N |
| teilgültig | \emptyset\ne L\ne D | x^2=1 bei D=\mathbb R: L=\{-1;1\} |
| allgemeingültig | L=D | 2x+x=3x bei D=\mathbb R: L=\mathbb R |
Merke: L=\emptyset ist nicht dasselbe wie L=\{0\}: Die leere Menge enthält gar keine Zahl, \{0\} enthält die Zahl 0.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Lösungsmenge
L enthält die Werte aus D, die die Gleichung wahr machen
Ein Rechenwert außerhalb von D ist keine Lösung
umformen, D prüfen, Probe machen, Menge notieren
L=\emptyset, die Gleichung ist unlösbar
zum Beispiel L=\{-1;1\}, teilgültig
L=D, allgemeingültig
L für 4x-5=2x+2 bei D=\mathbb Z und bei D=\mathbb Q
- 1Auf beiden Seiten 2x abziehen: 2x-5=2
- 2Auf beiden Seiten 5 addieren: 2x=7
- 3Durch 2 teilen: x=\frac{7}{2}=3{,}5
- 4Probe: 4\cdot3{,}5-5=9 und 2\cdot3{,}5+2=9
- 5Bei D=\mathbb Z: 3{,}5 ist keine ganze Zahl, also L=\emptyset
- 6Bei D=\mathbb Q: L=\{3{,}5\}
Fehler finden
Fehler in Zeile 4x=0 ist eine Lösung, also enthält L die Zahl 0. Richtig ist L=\{0\}.
Lückentext
Eine Lösung muss zur gehören. Gibt es keine Lösung, schreibst du . Ist jeder Wert aus D eine Lösung, ist die Gleichung .