Amplitude berechnen und am Graphen erkennen
Du lernst, was die Amplitude einer Sinus- oder Kosinuskurve ist, wie du sie am Funktionsterm abliest und wie du sie aus Hoch- und Tiefpunkt berechnest.
Kurz gesagt
Die Amplitude ist der größte Abstand einer Sinus- oder Kosinuskurve von ihrer Ruhelage. Bei f(x) = a \sin(bx + c) + d ist sie A = |a|, also nie negativ. Am Graphen berechnest du sie als halben Abstand zwischen Maximum und Minimum: A = \frac{f_{\max} - f_{\min}}{2}.
Wie hoch schlägt eine Schaukel aus, wie laut ist ein Ton, wie hoch steigt das Wasser bei Flut? Solche Schwingungen beschreibst du mit Sinus- und Kosinusfunktionen, und die Amplitude sagt, wie stark sie ausschlagen. Hier lernst du, sie am Term und am Graphen zu bestimmen und von der Ruhelage zu unterscheiden.
Deine Lernziele
Stell dir eine Sinuskurve als Schwingung um eine mittlere Höhe vor. Diese mittlere Höhe heißt Ruhelage. Die Amplitude ist der größte senkrechte Abstand zwischen der Kurve und dieser Ruhelage. Für f(x) = \sin(x) liegt die Ruhelage bei y = 0. Der größte Funktionswert ist 1, der kleinste −1. Beide liegen genau eine Einheit von der Ruhelage entfernt, die Amplitude beträgt also 1. Dasselbe gilt für f(x) = \cos(x): Auch sie schwingt zwischen −1 und 1 um die Ruhelage y = 0.
Amplitude
Die Amplitude ist die größte Auslenkung einer Sinus- oder Kosinusfunktion von ihrer Ruhelage. Weil sie einen Abstand beschreibt, ist sie nie negativ.
Merke: Die gesamte Höhe zwischen dem tiefsten und dem höchsten Punkt umfasst zwei Amplituden.
Teste dich
Eine allgemeine Sinusfunktion kann so aussehen: f(x) = a \sin(bx + c) + d. Für die Amplitude zählt nur der äußere Faktor a: A = |a|. Die Betragsstriche bedeuten, dass du den Abstand von a zu 0 nimmst. Bei a = -1 ist die Amplitude also |-1| = 1 und nicht −1. Ist |a| > 1, wird der Graph senkrecht gestreckt. Ist 0 < |a| < 1, wird er senkrecht gestaucht. Ist a < 0, wird er zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. Die Spiegelung ändert die Richtung der Ausschläge, aber nicht ihre Größe. Für die Kosinusfunktion gilt dasselbe.
Beispiel: f(x) = 3 \sin(4x - 1) + 2
- 1Äußerer Faktor: a = 3
- 2Amplitude: A = |3| = 3
- 3Der Summand +2 verschiebt die Ruhelage auf y = 2, die Amplitude ändert er nicht.
- 4Die Kurve schwingt zwischen 2 - 3 = -1 und 2 + 3 = 5.
Teste dich
Kennst du den größten Funktionswert f_{\max} und den kleinsten Funktionswert f_{\min}, liegt die Ruhelage genau in deren Mitte: R = \frac{f_{\max} + f_{\min}}{2}. Die Amplitude ist die Hälfte ihres Abstands: A = \frac{f_{\max} - f_{\min}}{2}. Du liest also nur Hoch- und Tiefpunkt ab und rechnest.
Beispiel: Maximum 0, Minimum −10
- 1Ruhelage: R = \frac{0 + (-10)}{2} = -5
- 2Amplitude: A = \frac{0 - (-10)}{2} = \frac{10}{2} = 5
- 3Probe: Von −5 bis 0 sind es 5 Einheiten, von −5 bis −10 ebenfalls 5.
- 4Ergebnis: Ruhelage y = -5, Amplitude 5
Merke: Maximum plus Minimum, halbiert: Ruhelage. Maximum minus Minimum, halbiert: Amplitude.
Teste dich
Amplitude und Ruhelage sind nicht dasselbe. Bei f(x) = \sin(x) + 1 liegt die Ruhelage bei y = 1, die Amplitude bleibt 1. Die Verschiebung hebt den ganzen Graphen an, ohne die Ausschläge zu ändern. Faktor und Amplitude können verschiedene Vorzeichen haben: Ein negativer Faktor spiegelt den Graphen, die Amplitude bleibt als Betrag positiv. Nicht jede trigonometrische Funktion hat eine Amplitude. Die Tangensfunktion nimmt Werte mit beliebig großem Betrag an. Sie hat keinen größten Abstand von einer Ruhelage und damit keine Amplitude.
| Teil von a \sin(bx + c) + d | Wirkung | Amplitude |
|---|---|---|
| |a| | streckt oder staucht senkrecht | ist genau |a| |
| Vorzeichen von a | spiegelt an der x-Achse, wenn a < 0 | bleibt gleich |
| d | verschiebt die Ruhelage auf y = d | bleibt gleich |
| b und c | wirken im Inneren des Sinus, also in x-Richtung | bleibt gleich |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Amplitude von Sinus und Kosinus
größter Abstand von der Ruhelage
A = |a| bei a \sin(bx + c) + d
halber Abstand zwischen Maximum und Minimum
spiegelt, Amplitude bleibt positiv
neue Ruhelage, gleiche Amplitude
keine Amplitude, weil unbegrenzt
f(x) = -2 \cos(x) + 1 untersuchen
- 1Äußerer Faktor: a = -2, also A = |-2| = 2
- 2Ruhelage: y = 1
- 3Maximum: 1 + 2 = 3, Minimum: 1 - 2 = -1
- 4Probe: \frac{3 - (-1)}{2} = 2 und \frac{3 + (-1)}{2} = 1
- 5Das Minus spiegelt den Graphen: Bei x = 0 liegt ein Tiefpunkt, f(0) = -2 \cdot 1 + 1 = -1.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Minus eine negative Zahl ist plus: 3 - (-5) = 3 + 5 = 8. Also ist A = \frac{8}{2} = 4. Eine negative Amplitude ist immer ein Warnsignal. Probe: -1 + 4 = 3 und -1 - 4 = -5.
Lückentext
Die Amplitude ist der Abstand der Kurve von der Ruhelage. Bei f(x) = -3 \sin(x) beträgt sie . Am Graphen berechnest du sie als Abstand zwischen Maximum und Minimum.