Bogenmaß und Gradmaß einfach umrechnen
Gradmaß und Bogenmaß sind zwei Schreibweisen für denselben Winkel. Du lernst, sicher umzurechnen, wichtige Winkel herzuleiten und die Bogenlänge zu berechnen.
Kurz gesagt
Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge seines Bogens am Einheitskreis. Weil 180^\circ = \pi\,\mathrm{rad} gilt, multiplizierst du vom Grad- ins Bogenmaß mit \frac{\pi}{180^\circ} und zurück mit \frac{180^\circ}{\pi}. Beispiel: 60^\circ = \frac{\pi}{3}.
Gradmaß und Bogenmaß beschreiben denselben Winkel mit verschiedenen Zahlen. Der wichtigste Anker ist 180^\circ = \pi\,\mathrm{rad}. Deshalb multiplizierst du beim Wechsel ins Bogenmaß mit \frac{\pi}{180^\circ} und beim Wechsel ins Gradmaß mit \frac{180^\circ}{\pi}. Spätestens bei Sinus- und Kosinusfunktionen brauchst du beide.
Deine Lernziele
Beim Gradmaß wird ein Vollkreis in 360 gleich große Teile geteilt. Ein solcher Teil ist 1^\circ. Ein Vollwinkel hat also 360^\circ, ein gestreckter Winkel 180^\circ und ein rechter Winkel 90^\circ. Das Bogenmaß misst denselben Winkel über einen Kreisbogen. Ein Vollkreis hat am Einheitskreis den Umfang 2\pi. Deshalb entspricht 360^\circ dem Bogenmaß 2\pi. Für einen Halbkreis folgt 180^\circ = \pi\,\mathrm{rad} und für einen Viertelkreis 90^\circ = \frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}.
Bogenmaß
Das Bogenmaß eines Winkels ist die Maßzahl der zugehörigen Bogenlänge am Einheitskreis. Der Einheitskreis hat den Radius r = 1. Die Einheit heißt Radiant und wird mit \mathrm{rad} abgekürzt; häufig lässt man „rad“ weg.
Merke: Gradmaß und Bogenmaß sind keine zwei verschiedenen Winkel. Sie sind zwei Schreibweisen für dieselbe Winkelgröße, ähnlich wie zwei Einheiten für dieselbe Länge.
Teste dich
Aus 180^\circ = \pi\,\mathrm{rad} folgen beide Umrechnungen. Vom Gradmaß ins Bogenmaß rechnest du \text{Bogenmaß} = \text{Gradmaß} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}. Kürze den Zahlenbruch möglichst, bevor du einen Näherungswert berechnest. Vom Bogenmaß ins Gradmaß rechnest du \text{Gradmaß} = \text{Bogenmaß} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}. Ist das Bogenmaß kein Vielfaches von \pi, erhältst du meist einen Näherungswert. Für 1\,\mathrm{rad} gilt zum Beispiel 1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ.
Beispiel: 60^\circ ins Bogenmaß
- 160^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60}{180} \pi = \frac{\pi}{3}
- 2Das Gradzeichen kürzt sich weg.
- 3Exakt \frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}, gerundet 1{,}047\,\mathrm{rad}
Beispiel: \frac{7\pi}{6} ins Gradmaß
- 1\frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ
- 2Der Faktor \pi kürzt sich weg.
Teste dich
Du musst eine Wertetabelle nicht blind auswendig lernen. Beginne mit 180^\circ = \pi und halbiere, drittle oder verdopple beide Seiten gleich. Winkel können auch negativ oder größer als ein Vollwinkel sein. Das Vorzeichen beschreibt die Drehrichtung: Gegen den Uhrzeigersinn zählt positiv, im Uhrzeigersinn negativ. Die Umrechnungsformeln bleiben dabei gleich.
| Gradmaß | Bogenmaß | Anteil am Vollkreis |
|---|---|---|
| 0^\circ | 0 | 0 |
| 30^\circ | \frac{\pi}{6} | \frac{1}{12} |
| 60^\circ | \frac{\pi}{3} | \frac{1}{6} |
| 90^\circ | \frac{\pi}{2} | \frac{1}{4} |
| 180^\circ | \pi | \frac{1}{2} |
| 360^\circ | 2\pi | 1 |
Beispiel: 60^\circ und 30^\circ herleiten
- 1Start: 180^\circ = \pi
- 2Dritteln: 60^\circ = \frac{\pi}{3}
- 3Halbieren: 30^\circ = \frac{\pi}{6}
Teste dich
Das Bogenmaß gehört zum Winkel. Die Bogenlänge b gehört dagegen zu einem konkreten Kreis und hängt zusätzlich vom Radius r ab. Ist \alpha im Gradmaß angegeben, gilt b = \frac{\alpha \cdot \pi \cdot r}{180^\circ}. Ist der Winkel als Bogenmaß \varphi angegeben, gilt kurz b = r \cdot \varphi. Am Einheitskreis ist r = 1, dann gilt b = \varphi. Genau deshalb stellt die Bogenlänge dort die Maßzahl des Bogenmaßes dar. Bei Sinus, Kosinus und Tangens muss der Taschenrechner zum Winkelmaß passen: DEG oder D steht für Gradmaß, RAD oder R für Bogenmaß.
Beispiel: Bogenlänge zu 60^\circ bei r = 3 cm
- 1Winkel umwandeln: 60^\circ = \frac{\pi}{3}
- 2b = r \cdot \varphi = 3\,\mathrm{cm} \cdot \frac{\pi}{3} = \pi\,\mathrm{cm}
- 3Gerundet: b \approx 3{,}14\,\mathrm{cm}
Merke: Prüfe vor einer Sinus-, Kosinus- oder Tangensrechnung die Anzeige. Eine richtige Eingabe im falschen Modus liefert ein unpassendes Ergebnis.
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Alles auf einen Blick
Bogenmaß und Gradmaß
Vollkreis 360^\circ
Bogenlänge am Einheitskreis, Vollkreis 2\pi\,\mathrm{rad}
180^\circ = \pi\,\mathrm{rad}
mal \frac{\pi}{180^\circ} ins Bogenmaß, mal \frac{180^\circ}{\pi} ins Gradmaß
b = r \cdot \varphi mit \varphi im Bogenmaß
DEG oder RAD prüfen
Bogenlänge zu 150^\circ bei r = 4 cm
- 1Ins Bogenmaß: 150^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{150}{180} \pi = \frac{5\pi}{6}
- 2Bogenlänge: b = r \cdot \varphi = 4\,\mathrm{cm} \cdot \frac{5\pi}{6}
- 3b = \frac{10\pi}{3}\,\mathrm{cm} \approx 10{,}47\,\mathrm{cm}
- 4Kontrolle: 150^\circ ist weniger als ein Halbkreis, und 10{,}47 cm ist weniger als der halbe Umfang 4\pi\,\mathrm{cm} \approx 12{,}57\,\mathrm{cm}.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Der Faktor gehört zur Gegenrichtung. Von Grad zu Bogenmaß multiplizierst du mit \frac{\pi}{180^\circ}: 45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785.
Lückentext
Ein Vollkreis hat im Bogenmaß . Von Grad zu Bogenmaß multiplizierst du mit . Für \sin(30^\circ) stellst du den Taschenrechner auf .