Bestimmtes Integral berechnen und deuten
Ein bestimmtes Integral liefert eine Zahl. Du lernst die Schreibweise, rechnest mit einer Stammfunktion und trennst Flächenbilanz und Flächeninhalt.
Kurz gesagt
Das bestimmte Integral \int_a^b f(x)\,dx ist eine Zahl: Du nimmst eine Stammfunktion F von f und rechnest obere minus untere Grenze, F(b)-F(a). Geometrisch ist es eine Flächenbilanz, Flächen unter der x-Achse zählen negativ. Beispiel: \int_1^3 2x\,dx=3^2-1^2=8.
Ein bestimmtes Integral liefert eine Zahl. Du berechnest sie mit einer Stammfunktion nach dem Grundsatz obere Grenze minus untere Grenze. Geometrisch beschreibt das Ergebnis eine Flächenbilanz: Bereiche unterhalb der x-Achse zählen negativ.
Deine Lernziele
Ein bestimmtes Integral wird so geschrieben: \int_a^b f(x)\,dx Ohne Grenzen bezeichnet \int f(x)\,dx=F(x)+C alle Stammfunktionen, das ist das unbestimmte Integral. Mit Grenzen liefert \int_a^b f(x)\,dx dagegen einen konkreten Zahlenwert.
| Zeichen | Bedeutung |
|---|---|
| \int | Integralzeichen |
| a | untere Integrationsgrenze |
| b | obere Integrationsgrenze |
| f(x) | Integrand, also die Funktion, die integriert wird |
| x | Integrationsvariable |
| dx | zeigt, dass über die Variable x integriert wird |
Stammfunktion
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn F'(x)=f(x) gilt. Zum Beispiel ist F(x)=x^2 eine Stammfunktion von f(x)=2x.
Merke: Grenzen vorhanden: bestimmtes Integral, Ergebnis ist eine Zahl. Keine Grenzen: unbestimmtes Integral, Ergebnis ist eine Funktionenfamilie mit +C.
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Ist F eine Stammfunktion von f, gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) Du gehst in drei Schritten vor: Bestimme eine Stammfunktion F des Integranden. Schreibe [F(x)]_a^b auf. Berechne F(b)-F(a), also obere Grenze minus untere Grenze. Ein +C brauchst du hier nicht, denn es hebt sich auf: (F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a). Zur Kontrolle leitest du F ab. Dabei muss wieder f herauskommen.
Beispiel: \int_0^5 2x^2\,dx berechnen
- 1Stammfunktion: F(x)=\frac{2}{3}x^3, denn F'(x)=2x^2
- 2\int_0^5 2x^2\,dx=\left[\frac{2}{3}x^3\right]_0^5
- 3Obere minus untere Grenze: \frac{2}{3}\cdot 5^3-\frac{2}{3}\cdot 0^3=\frac{250}{3}
- 4Der Integralwert ist \frac{250}{3}\approx 83{,}33.
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Anschaulich kannst du die Fläche unter einem Graphen durch immer schmalere Rechtecke annähern. Das Integral fasst diese Summen zu einem genauen Wert zusammen. Dieser Wert ist ein orientierter Flächeninhalt: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ. Deshalb können sich Anteile gegenseitig aufheben. Der geometrische Flächeninhalt zählt dagegen jedes Flächenstück positiv. Wechselt f im Intervall das Vorzeichen, bestimmst du die Nullstellen im Intervall, teilst das Integral dort in Teilintegrale, berechnest jedes einzeln und addierst ihre Beträge.
Beispiel: f(x)=x von -1 bis 1
- 1Stammfunktion: F(x)=\frac{x^2}{2}
- 2Integralwert: \int_{-1}^{1} x\,dx=F(1)-F(-1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0
- 3Nullstelle bei x=0: \int_{-1}^{0} x\,dx=-\frac{1}{2} und \int_0^1 x\,dx=\frac{1}{2}
- 4Flächeninhalt: A=\left|-\frac{1}{2}\right|+\left|\frac{1}{2}\right|=1
- 5Integralwert 0, aber Flächeninhalt 1 Flächeneinheit
Merke: Ein Integralwert von 0 heißt nicht, dass keine Fläche da ist. Positive und negative Anteile können sich genau ausgleichen.
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Prüfe vor dem Rechnen zuerst die Grenzen und dann eine mögliche Symmetrie. Diese Regeln können die Rechnung deutlich verkürzen. Eine Funktion heißt ungerade, wenn ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, und gerade, wenn er achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
| Regel | Formel |
|---|---|
| Gleiche Grenzen | \int_a^a f(x)\,dx=0 |
| Vertauschte Grenzen | \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx |
| Teilintervalle | \int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx |
| Konstanter Faktor | \int_a^b c\,f(x)\,dx=c\int_a^b f(x)\,dx |
| Differenz | \int_a^b (f(x)-g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx |
| Ungerade Funktion | \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0 |
| Gerade Funktion | \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx |
Beispiel: Symmetrie nutzen
- 1x^3 ist ungerade: \int_{-2}^{2} x^3\,dx=0
- 2x^2 ist gerade: \int_{-1}^{1} x^2\,dx=2\int_0^1 x^2\,dx
- 32\int_0^1 x^2\,dx=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
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Alles auf einen Blick
Bestimmtes Integral
Integral mit unterer Grenze a und oberer Grenze b
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), obere minus untere Grenze
eine konkrete Zahl, kein +C
orientierte Flächenbilanz, Flächen unter der x-Achse zählen negativ
an Nullstellen teilen und die Beträge der Teilintegrale addieren
Intervallregeln und Symmetrie nutzen
\int_1^3 (x^2+1)\,dx berechnen
- 1Stammfunktion: F(x)=\frac{1}{3}x^3+x
- 2Kontrolle: F'(x)=x^2+1
- 3Obere Grenze: F(3)=\frac{1}{3}\cdot 27+3=12
- 4Untere Grenze: F(1)=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}
- 5\int_1^3 (x^2+1)\,dx=12-\frac{4}{3}=\frac{32}{3}\approx 10{,}67
- 6Der Graph liegt ganz über der x-Achse, also ist das auch der Flächeninhalt.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3f hat bei x=2 eine Nullstelle, zwischen 0 und 2 liegt der Graph unter der x-Achse. Teile dort: \int_0^2 (x^2-2x)\,dx=-\frac{4}{3} und \int_2^3 (x^2-2x)\,dx=\frac{4}{3}. Richtig ist A=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.
Lückentext
Bei gleichen Grenzen ist der Integralwert . Beim Vertauschen der Grenzen wechselt das . Für eine gerade Funktion auf einem symmetrischen Intervall von -a bis a berechnest du das Integral von 0 bis a und multiplizierst es mit .