Rekonstruktion von Beständen einfach erklärt
Von der Änderungsrate zurück zum Bestand: Du berechnest die Gesamtänderung mit Produktsumme oder Integral und nimmst den Anfangsbestand dazu.
Kurz gesagt
Bei der Rekonstruktion eines Bestandes schließt du von der Änderungsrate B' auf den Bestand B. Das Integral liefert nur die Gesamtänderung, erst mit dem Anfangsbestand erhältst du den Bestand: B(t)=B(t_0)+\int_{t_0}^{t}B'(u)\,du.
Bei der Rekonstruktion eines Bestandes gehst du von seiner momentanen Änderungsrate zurück zum Bestand. Das bestimmte Integral liefert zunächst die Gesamtänderung. Erst zusammen mit einem bekannten Anfangsbestand erhältst du den gesuchten Bestand.
Deine Lernziele
Ein Bestand gibt an, wie viel von einer Größe zu einem Zeitpunkt vorhanden ist: zum Beispiel 800 ml Wasser, 20 Liter Benzin oder eine Höhe von 15 Metern. Vom Bestand B kommst du durch Differenzieren zur Änderungsrate B', von der Änderungsrate zurück zum Bestand durch Integrieren. Das Vorzeichen zeigt die Richtung: Ist B'(t)>0, wächst der Bestand. Ist B'(t)<0, sinkt er. Bei B'(t)=0 ändert er sich in diesem Moment nicht. Ist die Rate in einem Zeitabschnitt konstant, gilt: Änderung = Änderungsrate · Zeitspanne. Die Einheiten passen: (l/min) · min = l. Bei mehreren Abschnitten addierst du die einzelnen Produkte zu einer Produktsumme.
Änderungsrate
Die Änderungsrate beschreibt, wie schnell der Bestand momentan zu- oder abnimmt. Ist B(t) der Bestand, dann ist B'(t) seine Änderungsrate.
Beispiel: Abschnittsweise konstante Rate, Anfangsbestand 0
- 1Von 0 bis 2: Rate 2, Änderung 2 · 2 = 4
- 2Von 2 bis 3: Rate 0, Änderung 0 · 1 = 0
- 3Von 3 bis 5: Rate −1,5, Änderung (−1,5) · 2 = −3
- 4Von 5 bis 6: Rate 1, Änderung 1 · 1 = 1
- 5B(6)=0+4+0-3+1=2
Merke: Eine Produktsumme addiert orientierte Änderungen. Negative Raten vermindern den Bestand.
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Bei einer veränderlichen Rate zerlegst du das Intervall in schmale Abschnitte. In jedem Abschnitt näherst du die Änderung durch ein Rechteck an: Rate mal Intervallbreite. Je schmaler die Abschnitte werden, desto genauer beschreibt die Produktsumme die wirkliche Gesamtänderung. Der Grenzwert dieser Summen ist das bestimmte Integral. Bei Messwerten hängt die Näherung davon ab, wie du die Rate zwischen den Messpunkten modellierst: Konstante Abschnitte führen zu Rechtecksummen, lineare Verbindungen zu Trapezsummen.
Merke: Das bestimmte Integral der Änderungsrate ist die Gesamtänderung: B(t_2)-B(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}B'(t)\,dt. Den Bestand selbst liefert es erst zusammen mit einem bekannten Wert.
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Für einen konkreten Bestand brauchst du zusätzlich einen bekannten Anfangswert. Die Rekonstruktionsformel lautet B(t)=B(t_0)+\int_{t_0}^{t}B'(u)\,du. Dabei ist B(t_0) der Anfangsbestand, das Integral die orientierte Gesamtänderung und B(t) der rekonstruierte Bestand. Gehe bei Sachaufgaben so vor: Bestimme Rate, Intervall und Einheiten. Deute das Vorzeichen der Rate. Berechne die Gesamtänderung mit Produkten, einer Näherungssumme oder einem Integral. Addiere den Anfangsbestand. Prüfe zum Schluss Einheit, Vorzeichen und Plausibilität.
Beispiel: Ein anfangs leerer Maßkrug wird befüllt
- 1Zuflussrate in ml/s: z(t)=-\frac{1}{3600}t^3+\frac{1}{40}t^2
- 2Stammfunktion: H(t)=-\frac{1}{14400}t^4+\frac{1}{120}t^3+C
- 3Krug anfangs leer: H(0)=0, also C=0
- 4H(60)=-\frac{1}{14400}\cdot 60^4+\frac{1}{120}\cdot 60^3=-900+1800=900
- 5Nach 60 Sekunden sind 900 ml im Krug. Weil der Anfangsbestand 0 ist, ist hier die Gesamtänderung zugleich der Bestand.
Beispiel: Behälter mit 10 Litern: erst Zufluss, dann Abfluss
- 1Zufluss: 3 l/min · 4 min = 12 l
- 2Abfluss: (−1) l/min · 2 min = −2 l
- 3Endbestand: 10 l + 12 l − 2 l = 20 l
- 4Plausibel: Insgesamt sind 10 Liter dazugekommen.
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Geometrisch ist das Integral eine orientierte Flächenbilanz zwischen dem Graphen der Änderungsrate und der Zeitachse. Flächen oberhalb der Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ. Das passt zum Bestand: Zufluss erhöht ihn, Abfluss vermindert ihn. Ein gewöhnlicher Flächeninhalt ist dagegen nie negativ. Für ihn addierst du die Beträge der Teilintegrale.
Beispiel: Ein Fahrzeug fährt 30 km vorwärts und dann 10 km zurück
- 1Ortsänderung: 30 km − 10 km = 20 km
- 2Zurückgelegter Weg: 30 km + 10 km = 40 km
- 3Die Ortsänderung ist die orientierte Flächenbilanz, der Weg die Summe der Flächenbeträge.
Merke: Frage immer: Wird eine Nettoänderung oder eine Gesamtmenge ohne Vorzeichen gesucht?
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Alles auf einen Blick
Rekonstruktion von Beständen
Änderungsrate, Intervall und Einheit; Anfangsbestand
Produktsumme bei konstanten Abschnitten; Integral bei veränderlichen Raten
oberhalb der Achse positiv; unterhalb der Achse negativ
Anfangsbestand plus Gesamtänderung; Einheit und Plausibilität prüfen
Wasser im Pool nach 15 Minuten
- 1Gegeben: B(0)=2000 Liter, Zuflussrate r(t)=40-4t in l/min
- 2Stammfunktion: R(t)=40t-2t^2
- 3Gesamtänderung: \int_0^{15}(40-4t)\,dt=40\cdot 15-2\cdot 15^2=600-450=150
- 4Endbestand: B(15)=2000+150=2150 Liter
- 5Ab t=10 ist die Rate negativ: Bis dahin fließen R(10)=200 Liter zu, danach 50 Liter ab.
Fehler finden
Fehler in Zeile 4Das Integral ist nur die Änderung von 5 Litern. Der Anfangsbestand fehlt: B(5)=50+5=55 Liter.
Lückentext
Das Integral der Änderungsrate liefert die im Intervall. Für den Endbestand addierst du den . Flächen unterhalb der Zeitachse zählen dabei .