Geraden: Grundlagen, Gleichungen und Lage
Geraden gibt es als Linie, als Graph mit y=mx+t und im Raum in Parameterform. Du lernst alle drei Darstellungen und die Lage zweier Geraden.
Kurz gesagt
Eine Gerade ist eine gerade Linie ohne Anfang und Ende. In der Ebene beschreibst du sie meist mit y=mx+t: m ist die Steigung, t der y-Achsenabschnitt, senkrechte Geraden haben die Form x=c. Im Raum nutzt du die Parameterform \vec x=\vec p+r\vec u.
Eine Gerade ist eine gerade Linie ohne Anfang und Ende. Je nach Aufgabe beschreibst du sie geometrisch, als Graph mit y=mx+t oder im Raum mit einer Parameterform. Hier bekommst du den Überblick: Du lernst die Darstellungen zu unterscheiden, Gleichungen aufzustellen, Punkte zu prüfen und die Lage zweier Geraden zu bestimmen.
Deine Lernziele
Eine Gerade enthält unendlich viele Punkte und verläuft in zwei Richtungen unbegrenzt weiter. Zwei verschiedene Punkte legen genau eine Gerade fest. Ähnliche Objekte unterscheiden sich durch ihre Begrenzung. Ein Punkt auf einer Geraden teilt sie in zwei entgegengesetzte Strahlen.
Gerade
Eine Gerade ist eine gerade, in beide Richtungen unbegrenzte Punktmenge. Sie hat weder Anfangs- noch Endpunkt.
| Objekt | Begrenzung | Beispiel |
|---|---|---|
| Strecke | zwei Endpunkte | Kante eines Lineals |
| Strahl | ein Anfangspunkt, auf einer Seite unbegrenzt | Lichtstrahl einer Taschenlampe |
| Gerade | in beide Richtungen unbegrenzt | Linie durch zwei Punkte, beidseitig verlängert |
Teste dich
In der Ebene ist der Graph einer linearen Funktion eine Gerade: y=mx+t. Dabei ist m die Steigung: Sie gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um eins wächst. t ist der y-Achsenabschnitt: Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0|t). Sonderfälle: Bei t=0 läuft die Gerade y=mx durch den Ursprung. Bei m=0 ist y=t waagerecht. Eine senkrechte Gerade hat die Form x=c und lässt sich nicht als y=mx+t schreiben: Zu dem einen x-Wert gehören unendlich viele y-Werte, sie ist also kein Funktionsgraph. Für sie und für Geraden im Raum nutzt du die Parameterform. Sind zwei Punkte A(x_A|y_A) und B(x_B|y_B) mit x_A\ne x_B gegeben, berechnest du zuerst m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} und setzt dann einen Punkt ein, um t zu finden.
Beispiel: Gerade durch A(-1|1) und B(1|5)
- 1Steigung: m=\frac{5-1}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2
- 2A einsetzen: 1=2\cdot(-1)+t
- 31=-2+t, also t=3
- 4Gleichung: y=2x+3
- 5Probe mit B: 2\cdot1+3=5
Merke: m beschreibt die Änderung, t den Startwert auf der y-Achse.
Teste dich
Im Raum gibt es keine Gleichung y=mx+t. Du beschreibst die Gerade mit einem Punkt und einer Richtung: g:\ \vec x=\vec p+r\vec u mit r\in\mathbb R. Für r=0 erhältst du den Stützpunkt, für r=1 den Stützpunkt plus einmal den Richtungsvektor, für r<0 Punkte in der Gegenrichtung. Sind zwei Punkte A und B gegeben, wählst du A als Stützpunkt und \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a als Richtung. Bei einer Punktprobe setzt du einen Punkt für \vec x ein. Er liegt nur dann auf der Geraden, wenn alle Koordinaten denselben Parameterwert ergeben.
Stütz- und Richtungsvektor
Der Stützvektor \vec p führt zu einem festen Punkt der Geraden. Der Richtungsvektor \vec u gibt an, in welche Richtung die Gerade verläuft. Er darf nicht der Nullvektor sein.
Beispiel: Gerade durch Q(2|5|1) und R(3|2|2), dann Punktprobe
- 1Richtung: \overrightarrow{QR}=(3-2|2-5|2-1)=(1|-3|1)
- 2h:\ \vec x=(2|5|1)+r(1|-3|1)
- 3S(5|-4|4): 2+r=5, 5-3r=-4, 1+r=4
- 4Jede Gleichung liefert r=3, also liegt S auf h.
- 5T(5|-3|4): Bei r=3 wäre die zweite Koordinate 5-3\cdot3=-4, nicht -3. T liegt nicht auf h.
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In der Ebene können zwei Geraden identisch, echt parallel oder schneidend sein. Im Raum kommt die Lage windschief hinzu. Für zwei Raumgeraden g:\ \vec x=\vec a+r\vec u und h:\ \vec x=\vec b+s\vec v gehst du so vor: Prüfe zuerst, ob \vec u und \vec v Vielfache voneinander sind. Wenn ja, machst du eine Punktprobe mit einem Aufpunkt: Liegt er auf der anderen Geraden, sind sie identisch, sonst echt parallel. Wenn nein, setzt du beide Gleichungen gleich: Gibt es eine gemeinsame Lösung für r und s, schneiden sie sich, sonst sind sie windschief. Gilt beim Schneiden zusätzlich \vec u\cdot\vec v=0, schneiden sie sich im rechten Winkel.
Windschiefe Geraden
Windschiefe Geraden sind nicht parallel und besitzen trotzdem keinen gemeinsamen Punkt. Diese Lage gibt es nur im Raum.
Beispiel: Lage von g:\ \vec x=(2|0|2)+r(1|2|1) und h:\ \vec x=(4|4|4)+s(-1|-2|-1)
- 1Richtungen: (1|2|1)=-1\cdot(-1|-2|-1), also Vielfache
- 2Aufpunkt (4|4|4) von h auf g prüfen: r=2
- 3(2|0|2)+2\cdot(1|2|1)=(4|4|4)
- 4Der Punkt liegt auf g. Die Geraden sind identisch.
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Alles auf einen Blick
Geraden
unbegrenzt in zwei Richtungen, anders als Strecke und Strahl
y=mx+t mit Steigung m und y-Achsenabschnitt t
x=c, nicht als y=mx+t darstellbar
\vec x=\vec p+r\vec u, Punktprobe mit einem gemeinsamen Parameterwert
identisch, parallel, schneidend oder windschief
Gerade durch A(2|1) und B(4|7) aufstellen
- 1Steigung: m=\frac{7-1}{4-2}=\frac{6}{2}=3
- 2A einsetzen: 1=3\cdot2+t
- 31=6+t, also t=-5
- 4Gleichung: y=3x-5
- 5Probe mit B: 3\cdot4-5=7
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Der y-Wert eines Punkts ist nur dann t, wenn der Punkt auf der y-Achse liegt, also x=0 hat. P hat aber x=3. Richtig: 4=2\cdot3+t, also t=-2 und y=2x-2. Probe: 2\cdot3-2=4.
Lückentext
Eine Gerade hat Endpunkt. In y=mx+t ist m die . Zwei Raumgeraden ohne gemeinsamen Punkt, die nicht parallel sind, heißen .